Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants

Stéphane Genouel

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Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 1/27 Systèmes linéaires continus et invariants 1) PRÉSENTATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. ................5 11) LIMITE D’ÉTUDE : LINÉAIRE CONTINU INVARIANT. .................................................................... 5 12) CRITÈRES QUANTIFIANT LES PERFORMANCES D’UN SLCI........................................................ 5 121) L’erreur statique (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est un échelon) ou l’erreur de poursuite (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est une rampe) quantifie la précision........................................................................................................................................... 5 122) Le temps de réponse (déterminé seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la rapidité.............................................................................................................................................. 5 123) La capacité à converger ou le nombre d’oscillations (déterminés seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la stabilité................................................................................................. 6 13) ANALYSE D'UN SLCI.............................................................................................................. 6 une phase d’observation des critères : erreur, temps de réponse et oscillations…........... 6 ase de conclusion ...

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Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants     Systèmes linéaires continus et invariants

 

1) PRÉSENTATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. ................5  11)   L IMITE D ’ ÉTUDE :   L INÉAIRE C ONTINU I NVARIANT . .................................................................... 5   12)   C RITÈRES QUANTIFIANT LES PERFORMANCES D ’ UN SLCI. ....................................................... 5   121) L’erreur statique (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est un échelon) ou l’erreur de poursuite (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est une rampe) quantifie la précision...........................................................................................................................................5   122) Le temps de réponse (déterminé seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la rapidité..............................................................................................................................................5   123) La capacité à converger ou le nombre d’oscillations (déterminés seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la stabilité. ................................................................................................ 6   13)   A NALYSE D ' UN  6SLCI. .............................................................................................................   une phase d’observation des critères : erreur, temps de réponse et oscillations… ........... 6   une phase de conclusion sur les performances : précision, rapidité et stabilité. ............... 6  

2) MODÉLISATION DES SLCI............................................................................................6  21)   M ODÉLISATION DES SLCI PAR ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ...................................................... 6   211) Cas général.............................................................................................................................. 6   212) Exemples pour les systèmes électriques................................................................................. 6   22)   R ÉSOLUTION DE L ’ ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE : LA TRANSFORMÉE DE L APLACE  7. ......................   221) Techniques de résolution de l’équation différentielle............................................................... 7   222) Définition mathématique de la transformée de Laplace. ......................................................... 7   223) Fonctions causales. ................................................................................................................. 7   224) Transformées usuelles de fonctions causales......................................................................... 7   225) Propriétés de la transformée de Laplace................................................................................. 7   Dérivation 1 ère ..................................................................................................................... 7   Dérivation 2 nd ...................................................................................................................... 7   Intégration...........................................................................................................................7   Retard ................................................................................................................................. 7   Multiplication d’une fonction par un scalaire ....................................................................... 7   Multiplication d’une fonction par une fonction..................................................................... 7   Théorème de la valeur initiale............................................................................................. 7   Théorème de la valeur finale .............................................................................................. 7   226) Détermination de la Transformée de Laplace inverse. ............................................................ 8   1) Mettre l’ordre du polynôme du numérateur inférieur à celui du dénominateur. ............. 8   2) Rechercher les racines du dénominateur....................................................................... 8   3) Factoriser le dénominateur............................................................................................. 8   4) Décomposer S(p) en éléments simples. ........................................................................ 8   5) Identifier des transformées usuelles............................................................................... 8   23)   R EPRÉSENTATION DES SLCI PAR FONCTION DE TRANSFERT . .................................................. 9   231) Existence de la fonction de transfert si les conditions initiales sont nulles.............................. 9   232) Notion de forme canonique, gain statique, ordre et classe, pôles et zéros. ............................ 9   24)   R EPRÉSENTATION DES SLCI PAR SCHÉMA - BLOC  9. ...................................................................

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3) SLCI ASSERVIS. ..........................................................................................................10  31)   I NSUFFISANCE DES SYSTÈMES EN BOUCLE OUVERTE (BO). ................................................... 10   32)   L ES SLCI ASSERVIS OU EN BOUCLE FERMÉE (BF)   -   G ÉNÉRALITÉS . ....................................... 10   321) Différentes fonctions réalisées par un système asservi. ....................................................... 10   Traduire la consigne en un signal utilisable 10 ...................Utilisation de transducteurs.   Observer l’état du systèmeUtilisation de capteurs...................................................... 10   Comparer l'image de la consigne à l'image de la sortieUtilisation de comparateurs. 10   Corriger la commande pour améliorer précision-rapidité-stabilitéUtilisation de correcteurs. ....................................................................................................................... 10   322) Représentation par schéma-bloc d’un système asservi élémentaire. ................................... 10   Notions de chaîne directe, chaîne de retour, comparateur, écart et erreur...................... 10   323) Définition : suivre les variations de la consigne quels que soient les effets perturbateurs extérieurs........................................................................................................................................10   Système régulé : Cas où l’entrée est fixe dans le temps.................................................. 10   Système suiveur : Cas où l’entrée varie dans le temps.................................................... 10   33)   S IMPLIFICATIONS DE SCHÉMAS - BLOCS ÉLÉMENTAIRES . ......................................................... 11   331) Fonction de Transfert de systèmes en série.......................................................................... 11   332) Fonction de Transfert de systèmes en parallèle.................................................................... 11   333) Fonction de Transfert de systèmes en Boucle Fermée : FTBF et formule de Black............. 11   334) Fonctions de Transfert de systèmes à n entrées, principe de superposition. ....................... 12   34)   S IMPLIFICATIONS DE SCHÉMAS - BLOCS AVEC BOUCLES IMBRIQUÉES . ..................................... 12   35)   C ALCUL DE L ’ ÉCART ( STATIQUE OU DE POURSUITE ) EN RÉGIME PERMANENT .......................... 13   351) Fonction de Transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBO............................................ 13   352) Expression de l'écart statique. ............................................................................................... 13  

4) COMPORTEMENT TEMPOREL DE SLCI PARTICULIERS (ÉTUDE DU RÉGIME TRANSITOIRE). ................................................................................................................13   41)   S OLLICITATIONS ( OU ENTRÉES ) TYPES . ................................................................................ 13   Impulsion de Dirac(t) ................................................................................................................... 13   Échelon a.u(t).................................................................................................................................13   Rampe a.t.u(t) ................................................................................................................................ 13   Remarque : "réponse indicielle = réponse à un échelon lorsque l'amplitude a vaut 1 . ................ 13   " 42)   C OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES PROPORTIONNELS ( OU DE GAIN PUR ) :    14K. ..........   421) Définition. ............................................................................................................................... 14   K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ......................... 14   422) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 14   43)   C OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DÉRIVATEURS :   K. P . ......................................... 14   431) Définition. ............................................................................................................................... 14   K : gain statique du système (en s 1 et s(t) de même nature).............................. 14si e(t)   432) Réponse à une rampe a.t.u(t). ............................................................................................... 14   44)   C OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES INTÉGRATEURS :   K/ P . ....................................... 14   441) Définition. ............................................................................................................................... 14   K : gain statique du système (en s si e(t) et s(t) de même nature)................................... 14   442) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 14   MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/10/2010

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45)   C OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DU 1 ER ORDRE :   ........................ K ....15........   1 .p 451) Définition. ............................................................................................................................... 15   K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ......................... 15   : constante de temps (en s)............................................................................................ 15   452) Réponse à une impulsion a.(t). ............................................................................................ 15   Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ..................... 15   453) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 16   Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ..................... 16   Temps de réponse à 5% (défini toujours pour une entrée en échelon) ........................... 16   Bilan..................................................................................................................................16   454) Réponse à une rampe a.t.u(t). ............................................................................................... 17   Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, asymptote en +). ................... 17

ÈME K   1 46)   C OMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DU 2 ORDRE :  1 2  z p.   2 .p 2 .................. 18   0 0 461) Définition. ............................................................................................................................... 18   K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ......................... 18    0 (notée parfois n amortie >0 pulsation du système s’il n’était) : pulsation propre non pas amortie (en rad/s)....................................................................................................... 18   z (noté parfois m ou) : facteur d’amortissement >0 (sans unité) ................................... 18   462) Réponse à une impulsion(t). ............................................................................................... 18   Détermination de l’allure de la réponse. ........................................................................... 18   463) Réponse à une rampe a.t.u(t). ............................................................................................... 18   464) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 19   Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ..................... 19   Détermination de l’allure de la réponse. ........................................................................... 19   Temps de réponse. ........................................................................................................... 20   Temps de réponse réduit tr 5% . 0 . ..................................................................................... 20   Dépassement absolu D k et dépassement relatif D k% (cas z<1)........................................ 20   Notions de pulsation amortie a et de pseudo-période T a  22(cas z<1). ...............................   Temps t j lorsque s(t j )=K.Ec (cas z<1). 22 ..............................................................................   Temps t k lorsque les dépassements s’effectuent : s'(t k )=0 (cas z<1). .............................. 22   Expression des dépassements relatifs D k% si l’abaque n’est pas donné (cas z<1). ........ 22   i ue : K . 23   465) Autre forme de la fonction de transfert d’un 2 ème ordre apériod q (1  1 .p)(1  2 .p) ........ Réponse à un échelon dans le cas général. .................................................................... 23   Réponse à un échelon dans le cas où une constante de temps est négligeable devant l’autre (c'est-à-dire qu’une racine est négligeable devant l’autre). ................................... 23

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47)   S YSTÈMES DU 1 ER ET 2 ÈME ORDRE BOUCLÉS PAR UN RETOUR UNITAIRE . ................................. 24   471) Petit rappel sur l’erreur statique d’un système du 1 er ou 2 ème  24ordre en BO. ..........................   472) Paramètres de la fonction de transfert en boucle fermée FTBF............................................ 24   FTBF d’un système du 1 er  24 ........................................ordre placé dans la chaîne directe.   FTBF d’un système du 2 ème ordre placé dans la chaîne directe. ..................................... 24   473) Avantages et inconvénients de la boucle de retour UNITAIRE. ............................................ 24

48)   I DENTIFICATION À UN MODÈLE ( À L ’ AIDE D ’ UN GRAPHIQUE TEMPOREL ). .................................. 25   481) Modéliser pour prévoir le comportement. .............................................................................. 25   482) Expérimenter pour pouvoir identifier. ..................................................................................... 25   483) Choix du modèle : 1 er ou 2 ème ordre ?.................................................................................... 25   484) Identification à un modèle du 1 er ordre : SpK .... 25  . ................................ E  p  1 .p ................ ..   Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale.................................. 25   La constante de temps  est obtenue à partir du relevé du temps mis pour atteindre 0,63.K.Ec (t=  ) .................................................................................................................. 25   485) Identification à un modèle du 2 ème ordre apériodique (z>1) : E S p p   (1  1 K )1p(.  2 .p) ... 26   Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale.................................. 26   Les 2 constantes de temps sont obtenues en utilisant une méthode approchée à partir du tracé de la tangente au point d’inflexion. .......................................................................... 26   486) Identification à un modèle du 2 ème ordre oscillant (0<z<1) : E S  p   K p2z 2 ......... 26   p 1 0 p 2   0 Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale.................................. 26   Le facteur d’amortissement est obtenu à partir du relevé du 1 er dépassement. .............. 26   La pulsation propre est obtenue à partir du relevé de la pseudo-période ou du temps de réponse.............................................................................................................................26   487) Identification à une somme de fonctions de transfert connues. ............................................ 27    

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Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 5/27   1) Présentation des Systèmes Linéaires Continus Invariants. 11) Limite d étude : Linéaire Continu Invariant.  Dans cette étude, nous nous limiterons aux Systèmes Linéaires Continus Invariants : Invariant :   le système ne vieillit pas : son comportement dans le temps reste inchangé (si on reproduit la même expérience à 2 dates différentes, on obtiendra les mêmes résultats). Continu : valeur du temps et sur l’ensemble de leur les grandeurs étudiées sont définies pour toute plage de variation. Linéaire : les systèmes étudiés respectent le principe de superposition : Si à une entrée e 1 (t) correspond une sortie s 1 (t) et si à une entrée e 2 (t) correspond une sortie s 2 (t), alors à une entrée k 1 .e 1 (t) + k 2 .e 2 (t) correspond une sortie k 1 .s 1 (t) + k 2 .s 2 (t), avec k 1 et k 2 constantes.    Dans la réalité les phénomènes sont linéaires dans un certain domaine de variation. A l extérieur de ce domaine, des phénomènes non linéaires, comme des saturations apparaissent.   Quelques SLCI du laboratoire :  (voir cours 3)  de sortie GrandeursGrandeurs d entrée Angle de cap souhaité  Angle de cap réel Un pilote automatique de bateau  consigne    Position et vitesse souhaitées  Position et vitesse réelles Un chariot filoguidé (x consigne , v consigne )   (x, v)   Une cordeuse de raquette  Tension d T c   noisnge T   neison de l al eor c sdehaouéeit T a corde réelle          12) Critères quantifiant les performances d un SLCI. Afin d’analyser les performances (précision, rapidité et stabilité) d’un système, on le sollicite à une variation de l’entrée et on étudie la réponse (ou sortie) du système. Plusieurs critères (ou caractéristiques dynamiques) permettent de quantifier ces performances.     121) L erreur statique (déterminé en régime permanent lorsque lentrée est un échelon)    erreurou l de poursuite régime permanent lorsque l entrée est une rampe)(déterminé en   quantifie la précision.    erreur statique e(t) s(t)  e(t)  de poursuite erreur ou de traîna t s(t)  ge t   avec e(t) et s(t) de même nature

  Erreur : Er(t)e(t)s(t) à l’instant t Erreur statique est l’erreur en régime permanent Er()e()s() avec en entrée un échelon Erreur de poursuite ou de traînage est l’erreur en régime permanent Er()e()s() avec en entrée une rampe     122) Le temps de réponse seulement lorsque lentrée est un échelon)(déterminé   quantifie la rapidité. s(t)   L m e o   i t n e s m  d p e s     5 m % is     S p A ar V l A a L r E ép U o R n   s F e I   N p A o L ur E  a s tt ( e  in  d )   est  àr e s( ) 1,05.s()   retenu comme critère de rapidité : t 5%   0,95.s()      Attention !!! Ce n est pas le temps mis pour in r l v l r h i . t 5%  t   MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/10/2010

Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 6/27    123) La   oscillationscapacité à converger ou le nombre d (déterminés seulement lorsque l entrée est un échelon) quantifie la stabilité.   s(t)   s(t)   e t s(t)  t Système s table non oscillant

t t Système instable  Système stable mais oscill ant         13) Analyse d'un SLCI. Une analyse comportera 2 étapes :  une phase d observation des critères : erreur, temps de réponse et oscillations une phase de conclusion sur les performances : précision, rapidité et stabilité. NB : On ne dira jamais que le temps de réponse est rapide, ou que l’erreur est précise… Les critères s’évaluent par des chiffres qui peuvent être plus faibles, plus grands… que d’autres…   Etudier les SLCI, c est essayer d améliorer ces différentes caractéristiques.           2) Modélisation des SLCI. 21) Modélisation des SLCI par équation différentielle. 211) Cas général. Après modélisation, la relation entre les grandeurs d’entrée et de sortie s’exprime sous la forme d’une équation différentielle à coefficients constants.    e(t)   Systè   me   s(t)       n1 m1 m a n d n s td n (t) a n 1 d d t n s 1 (t)     a 1 ds t )t( d a 0 s(t)b 0 e(t)b 1 ed(t) td     b m 1 td d m e 1 (t) b m edt( t ) d    m   Les systèmes réels étudiés impliquent mn .    n est l ordre du système .   La résolution de cette équation différentielle donnera la réponse (ou sortie s(t)) théorique du système à une entrée fixée e(t). Attention ce n’est qu’un modèle !     212) Exemples pour les systèmes électriques. Résistance Bobine Condensateur

      u(t)R.i(t)   u(t) t ) d (tid L.   u(t). C 1  i(t).dt   u(t) : tension i(t) : intensité R : résistance L : inductance C : capacité    Il faut noter que ces relations simplifiées ne reflètent le comportement qu en première approximation.  MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/10/2010

Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 7/27    22) Résolution de l équation différentielle : la transformée de Laplace.  221) Techniques de résolution de l équation différentielle.    Technique utilisée par les automaticiens : Technique de résolution classique. elle repose sur les transformées de Laplace.      : rép Equation s1(t)   onse libre  DomaineDomaine temporel en t de Laplace en p différentielle   sans caractérisation du second membre  régime transitoire Équation différentielle Transformée Équation polynomiale avec second membre de La   place S p(vace  n pe )  E(p) et avec s(t) et e(t) Equation différentielle  s(t)=s1(t)+s2(t) avec second membre      Transformée   Equation s2(t) : répo   nse forcée   particulière  c é ar i a m ct e é   r p is er at m io a n n   e d n u t     Solution s(t) Inverse Solution S(p) r g   L’objectif est de résoudre un polynôme plutôt qu’une équa.dif.   222) Définition mathématique de la transformée de Laplace. La transformée de Laplace F(p) de la fonction f(t)  ( t ) , est :  f L  L  f ( t )  F(p )    f ( t ).e p. .dt où p est une t variable   Cette transformation ermet de asser du domaine tem orel en t au domaine de La lace en .  com lexe   223) Fonctions causales. La cause précède l’effet. L’ingénieur a pour pratique d’étudier l’effet d’une cause qu’il situe à la date t=0.   En automatique, on utilisera donc la transformée de Laplace restreinte  F(p )  f ( t ).e p.t .dt qui ne 0 s’applique qu’auxfonctions causales (c'est-à-dire aux fonctions f(t) telles que f(t) = 0 pour t<0).    Pour rendre   une fonction mathématique f(t) (qui nest pas nulle quand t<0) causale, on la multiplie par  la fonction d Heaviside u(t) : u(t) = 0 si t < 0  u(t) = 1 si t≥0   224) Transformées usuelles de fonctions causales. Nous ne chercherons pas à déterminer F(p) par la définition (car résoudre l’intégrale est aussi difficile que de résoudre l’équation différentielle du départ). Nous nous servirons de tableaux qu’il faudra connaître :   (t)   upmIoisl  acirD  n (   t d ) e K   t   e a   t.e a   e a.t .sin(t)   e a.t .cos(t)   f .t .t K 1  1 1pa   F(p)   1   p   p 2   pa   (pa) 2   (pa) 2   2   (pa) 2   2   225) Propriétés de la transformée de Laplace.  Dérivation 1 ère  Dérivation 2 nd  fnectonn ioudgrationRetard  nIétoitcnof  nune on  d uMtl M  ultiplication iplicati par un scalaire par une fonction f(t)   f  (t)   f  (t)    0 t f(x).dx   f(tx)   K.f(t)   f(t).g(t)   F(p)   p.F(p)f(0  )   p 2 .F(p)p.f(0  )f  (0  ) p F(p)   e p.x .F(p)   K.F(p)   F(p).G(p)     Théorème de la valeur initiale f(0)lim f(t)lim p. L  f(t)   lim p.F(p)   t0p p   Théorème de la valeur finale f()lim f(t)lim p. L  f(t)   lim p.F(p)   tp0p0

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