COURS 0405

Stephane Stephane

Description

CH. 7 : TRIANGLES ISOMETRIQUES TRIANGLES SEMBLABLES 1. QUATRE ISOMETRIES DU PLAN : ACTIVITE 1 A. DEFINITIONS : NOM DEFINITION REPRESENTATION uLa translation La translation de vecteur u est la transformation du plan qui à tout point M associe le point M’ tel que MM ' = u . M · La symétrie orthogonale d’axe d est la transformation du plan La symétrie qui à tout point M associe le point M’ tel que la droite d soit la orthogonale médiatrice de [MM’] M · d (ou réflexion) La symétrie centrale de centre O est la transformation du plan La symétrie qui à tout point M associe le point M’ tel que O soit le milieu O · M · centrale de [MM’]. La rotation de centre O et d’angle a est la transformation du plan qui à tout point M associe le point M’ tel queOM = OM’ et La rotation l’angle orienté ,MOM’ = aa. aa O · M · B. PROPRIETES : NOM DEFINITION PROPRIETE 1. Les translations ……………………………………………………….. POINTS INVARIANTS Un point invariant par une 2. La rotation de centre O admet …………………………………………….. transformation est un point qui est sa propre image. 3.La symétrie centrale de centre O admet ………………………………….. 4. Pour la symétrie orthogonale d’axe d, l’ensemble des points invariants est…………………………………………………………………….. Une isométrie du plan est 1. Une isométrie conserve les angles et les aires. une transformation qui 2. Les quatre transformations citées ci-dessus ………………………. ...

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• Langue: Français

Extrait

CH. 7 : TRIANGLES ISOMETRIQUES

TRIANGLES SEMBLABLES

1. QUATRE ISOMETRIES DU PLAN : ACTIVITE 1

A. DEFINITIONS :

NOM

DEFINITION

REPRESENTATION

La translation

La translation de vecteur

u

est la transformation du plan qui

à tout point

M

associe le point

M’

tel que

u

MM

=

'

.

La symétrie

orthogonale

(ou réflexion)

La symétrie orthogonale d’axe

d

est la transformation du plan

qui à tout point

M

associe le point

M’

tel que

la droite

d

soit la

médiatrice de

[MM’]

La symétrie

centrale

La symétrie centrale de centre

O

est la transformation du plan

qui à tout point

M

associe le point

M’

tel que

O

soit le milieu

de

[MM’].

La rotation

La rotation de centre

O

et d’angle

α

est la transformation

du

plan qui à tout point

M

associe le point

M’

tel que

OM = OM’

et

l’angle orienté

,

MOM’

=

α

.

B. PROPRIETES :

NOM

DEFINITION

PROPRIETE

POINTS

INVARIANTS

Un point

invariant

par une

transformation est

un point

qui est sa propre image.

1.

Les translations ………………………………………………………..

2.

La rotation de centre

O

admet

…………………………………………….

.

3.

La symétrie centrale de centre

O

admet

…………………………………..

4.

Pour la symétrie orthogonale d’axe

d

, l’ensemble des points invariants

est……………………………………………………………………..

CONSERVATION

DES

LONGUEURS,

DES ANGLES ET

DES AIRES.

Une

isométrie du plan

est

une transformation qui

conserve les longueurs :

si

A’

est l’image de

A

et si

B’

est l’image de

B

alors

AB = A’B’

.

1.

Une isométrie conserve les angles et les aires.

2.

Les quatre transformations citées ci-dessus ……………………….

…………………………………………………………………………..

En particulier elles

conservent les ……………………..…………..et

……………………………………………………………………….

IMAGE DES

DROITES et

CERCLES :

1. L’image d’une droite par une isométrie est ……………………………………………………….

2.

L’image d’un cercle de centre

Ω

par une isométrie est ……………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

3.

Si deux droites sont sécantes en A alors leurs images par une isométrie sont …………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

4.

En particulier l’image du triangle ABC est …………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

CONSERVATION

DU

PARALLELISME

1.

Si deux droites sont parallèles alors …………………………………………………………………..

2.

En particulier l’image d’un parallélogramme …………………………………………………………..

u

M

×

M

×

d

M

×

O

×

O

×

M

×

2. TRIANGLES ISOMETRIQUES :

DEFINITION

Deux triangles sont

isométriques

si

l’un est l’image de l’autre par une isométrie

du plan

ou par une succession d’isométries du plan.

PROPRIETE

Si Deux triangles sont isométriques alors leurs

trois angles sont égaux deux à deux

.

CARACTERISATIONS

REPRESENTATION

1.

Deux triangles sont isométriques si

leurs côtés

sont deux à deux de même longueur

(on dira par abus de langage : « …côtés égaux deux à deux »).

2.

Deux triangles sont isométriques s’ils ont

un côté

égal adjacent à deux angles égaux deux à deux.

3.

Deux triangles sont isométriques s’ils ont

un angle

égal compris entre deux côtés égaux deux à deux.

EXERCICE 1 :

ABC est un triangle isocèle en A, I est le milieu de [BC] et

M un point de [AI]. (CM) coupe [AB] en K et (BM) coupe [AC] en H.

On appelle s la réflexion d’axe (AI).

1.

En justifiant brièvement, déterminer s(A), s(M), s(B) et s(C).

2.

Qu’en déduire pour les triangles BHC et CKB ?

EXERCICE 2 :

ABCD est un parallélogramme de centre O,

d est une droite passant par D et d’ sa parallèle passant par B.

d coupe (AC) en M et d’ coupe (AC) en N.

1.

Quelle est l’image de d par la symétrie de centre O ?

2.

Qu’en déduire pour les triangles OMD et ONB ?

Y a-t-il d’autres triangles dans ce cas ?

EXERCICE 3 :

ABCD est un carré de centre O. AODE est un carré.

M est un point de [AE] et N un point de [OC] tels que

,

MDN

= 90

°.

En utilisant une rotation bien choisie, démontrer que EMD et OND sont

isométriques.

EXERCICE 4 :

ABCD est un quadrilatère quelconque.

ABDM et BCND sont des parallélogrammes.

En utilisant une translation bien choisie,

démontrer que ABC et MDN sont isométriques.

EXERCICE 5 :

ABC est un triangle équilatéral. AM = BN = CP.

En comparant AMP, BMN et CNP, démontrer que MNP est équilatéral.

EXERCICE 6 :

ABC est un triangle. AD = DB = AB et AE = AC = CE.

En comparant DAC et BAE, démontrer que DC = BE.

3. TRIANGLES SEMBLABLES :

DEFINITION

Deux triangles sont semblables si les angles de l’un

sont égaux aux angles de l’autre.

CARACTERISATIONS

1.

Si deux triangles ont

deux angles égaux

alors ils sont semblables.

2.

Deux triangles sont semblables si et seulement si

les côtés de l’un sont proportionnels aux côtés de l’autre

.

(Le coefficient de proportionnalité des longueurs est appelé

rapport de similitude

des deux triangles.)

3.

Deux triangles sont semblables si

un angle de l’un est égal à un angle de l’autre, les côtés adjacents à cet

angle étant proportionnels aux côtés adjacents de l’autre.

PROPRIETE

Si deux triangles

ABC

et

A’B’C’

sont semblables avec un rapport de similitude

k

, alors :

Aire(ABC) = k

2

×

Aire (A’B’C’)

EXERCICE 7 :

ABC est un triangle, (AD) est la bissectrice de l’angle

,BAC .

AM = AB et AN = AC. En déterminant deux triangles

EXERCICE 8 :

A et B sont deux points d’un cercle de centre O tels que AB = CD.

(AD) et (CB) se coupent en I.

1.

Comparer

,DCB et

,DAB , puis

,CDA et

,CBA.

EXERCICE 9 :

ABCD est un parallélogramme de centre O.

A’ est le projeté orthogonal de A sur (BD).

B’ est le projeté orthogonal de B sur (AC).

C’ est le projeté orthogonal de C sur (BD).

D’ est le projeté orthogonal de D sur (AC)

1.

Comparer les triangles DOD’ et BOB’ .

2.

De même pour les triangles AOA’ et COC’ .

3.

Quelle est la nature de A’B’C’D’ ?

EXERCICE 10 :

ABCD est un carré, P le milieu de [BC], N un point de [AB].

(ND) coupe (BC) en M et (AP) en I.

Parmi tous les triangles tracés sur la figure ci-contre, trouver ceux qui sont semblables.

EXERCICE 11 :

ABC est un triangle isocèle en A tel que

,BAC = 36°.

I est l’intersection de (AC) avec la bissectrice de l’angle

,B.

Démontrer que ABC et BCI sont semblables

EXERCICE 12 :

A, B,C et D sont quatre points d’un cercle de centre O.

(AC) et (BD) se coupent en I.

Démontrer que ABI et CID sont semblables.

EXERCICE 14 :

ABC est un triangle,

[AA’] et [BB’] deux de ses hauteurs et H son orthocentre.

Démontrer que BA’H et AA’C sont semblables.

EXERCICE 13 :

ABCD est un rectangle. (AE) est perpendiculaire à (BD)

Démontrer que ADE et AHB sont semblables.

EXERCICE 15 :

ABCD est un parallélogramme, AD = 2, AB = 3 et DN = 1.

1.

Démontrer que ADN et MBA sont semblables.

2.

Déduisez-en le rapport de leurs aires.

EXERCICE 16 :

ABCD est un rectangle tel que AB = 15 et BC = 9. M est le point de

[AD] tel que AM = 4.

(DE) est perpendiculaire à (MC) et la coupe en H.

1.

Démontrer que DMC et AED sont semblables.

2.

En déduire la longueur AE.

3.

Démontrer que (MC) est la médiatrice de [DE]

EXERCICE 17 :

ABC sont trois points tels que B est le milieu de [AC].

AFB est isocèle en F, BE = BC, FE = FB.

D est l’intersection de (FE) et (AB).

1.

Démontrer que AFB et BFE sont isométriques.

2.

Démontrer que AFB et CBE sont semblables.

3.

Démontrer que DCE et DBF sont semblables.

4.

Si AB = 3 et AF = 5, calculer EC et ED.