cours 2

Jean-Marie

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• Publié par: Chaet
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Catalan

Extrait

2 – Permutations d’un ensemble fini. Factorielle d’un entier naturel  Introduction: Les exercices de probabilité se réduisent très souvent aux calculs de cardinaux d’ensemble finis.  L’exercicede probabilité se transforme alors en exercice de dénombrement.  Pourdénombrer, on est amené à se poser les deux questions suivantes : Dans mon problème, doisje tenir compte de l’ordre ? Dans mon problème, estil possible de répéter le même élément ?  Sil’on répondOUIà la première question alors un arbre de probabilité (ou un diagramme à cases si les  nombresen jeu sont trop importants) doit permettre d’obtenir le résultat.  Sil’on répondNONà la première question alors l’arbre n’est plus très efficace.  Dansle cas où l’on répond aussiNONà la deuxième question, on va être amené à définir une nouvelle notion :  lanotion decombinaisons.  Exemples: Quelle réponse apporteton aux deux questions cidessus dans les cas suivants. On ne demande pas  derépondre à la question posée.  On tire simultanément trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________  On lance successivement 4 fois un dé à 6 faces.Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________  On tire successivement une carte dans un jeu de32 cartes, puis on lance un dé à 6 faces, puis on lance une  piècede monnaie. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________  On obtient un jeu de 96 cartes en mélangeant 3 jeux de 32 cartes. On tire simultanément 4 cartes dans ce jeu  de96 cartes. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________  Définition6.2.1 : Permutations d’un ensemble fini  Onappelle permutation d’un ensemble fini E ànéléments toute listeordonnéedenéléments de Edeux  àdeux distincts.  Exemple: Soit E un ensemble à deux éléments. Posons par exempleE=a;b.  Ilexiste deux permutations de l’ensemble E notées ( a;b ) et ( b;a ) .  Activité: Soit E un ensemble à trois éléments. On poseE=a;b;c.  En vous aidant d’un arbre, écrire toutes les permutations de l’ensemble E.  ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________  Combien existetil de permutations d’un ensembleà 3 éléments ?__________________________________  Sans les écrire toutes, déterminer le nombre de permutations d’un ensemble à 5 éléments. _________________________________________________________________________________________

 Propriété6.2.2 : Le nombre de permutations d’un ensemble ànéléments est égal à : ......................................................................................................  Cenombre s’appelle .................................................. et se note ........  Remarque: Par convention : 0 ! = ....  Exemple: 3 ! = ..................................................  Ilexiste donc 6 permutations d’un ensemble à 3 éléments (Voir exemple cidessus).  Calculatrice: Casio Graph 25 et sup :3 OPTN PROBx.! EXE  Texas TI 80 et sup :3 MATH PRB 4: !ENTER .  Calculeravec des factorielles : Simplifier sans calculatrice les écritures des nombres suivants. 6×4! A= =..................................................................................................................................................... 5! 7!×5! B.....................................................................................................................................................= = 10! 9! C= =..................................................................................................................................................... 5!×4! 6!−5! D.....................................................................................................................................................= = 4! ( n+1 ) ! E= =..................................................................................................................................................... n! ( n+1 ) ! F== ..................................................................................................................................................... ( n−1 ) !

1 1 G=− n! ( n+1 ) !

= ..............................................................................................................................................

( n−1 ) ! n! H=− n! ( n+1 ) !

= .......................................................................................................................................

Activité : Parties d’un ensemble fini – Combinaisons – Un sac contient5jetons numérotés 1, 2, 3, 4 et 5.  Ontire simultanément2jetons dans ce sac. On veut connaître le nombre de résultats différents possibles. Combien existeraittil de résultats possibles dans le cas de tirages successifs et sans remise ? _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ té ?de fois le tirage {1 ; 2} atil été comp Combien _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________

le cas qui nous intéresse.déduire le nombre de résultats possibles dans En _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________  Vérifier le résultat obtenu en écrivant toutesles possibilités. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ – Un sac contient10jetons numérotés de 1 à 10.  Ontire simultanément dans ce sac3jetons.  Reprendreles questions de l’exempleen adaptant au cas présent. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ – On tire, toujours dans ce sac de10jetons,pjetons (1≤p≤10), simultanément.  Déterminerle nombre de résultats possibles en fonction depen utilisant la méthode de l’exemple. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ – On tire simultanémentpjetons toujours dans un sac contenantnjetons numérotés de 1 àn. (1≤p≤n),  Déterminerle nombre de résultats possibles en fonction depetnen utilisant la méthode de l’exemple. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Ecrire le résultat final à l’aide de factorielles :___________________________________________________

 Définition6.2.3 : Soitnun entier naturel etpun entier tel que0≤p≤n.  SiE est un ensemble fini ànéléments, alors on appelle combinaison depéléments de E toute liste non  ordonnéedepéléments de E deux à deux distincts.  Ondit encore partie de E àpéléments à la place de combinaison depéléments de E.  Exemple: Soit E un ensemble à 4 éléments. Posons E = {a;b;c;d}.  La partie {a;b} est une combinaison de 2 éléments de E.  La partie {b;a} est égale à la partie {a;b} car on ne tient pas compte de l’ordre.  La partie∅est la seule combinaison de 0 élément de E.  Propriété6.2.4 : Si E est un ensemble ànéléments, alors le nombre de combinaisons depéléments de E est  noté............... et est tel que : .......................................................  ....................se lit «pparmin».  CASIO Graph 25 :Calculatrice :n OPTNPROBnCrp EXE  Texas TI 80 est audessus : :n MATHPRB 3:nCrp ENTER  Synthèsesur le dénombrement : On peut résumer dans le tableau cidessous les différents cas possibles de  dénombrement.  Ordre OUI NON Répétition Arbre ou OUI diagramme à ? cases Arbre ou NON diagramme à Combinaisons cases  Exemple: On tire simultanément 4 cartes dans un jeu de 32 cartes.  Calculerle nombre de résultats différents que l’on peut obtenir ? _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________