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Description

Universite Claude Bernard Lyon 1Annee universitaire 2010-2011Preparation au CAPES de MathematiquesProbabilitesF. Bienvenue-DuheilleChapitre 1Probabilite, probabilite conditionnelle1 Probabilite1.1 De nitionsOn se place sur un ensemble appele espace de probabilite ou univers.Dans le vocabulaire probabiliste,{ Un element ! de est appele une experience{ Un sous-ensemble A de est un evenement.{ Un evenement elementaire est un singleton de .{ L’evenement certain est .{ L’evenement impossible est l’ensemble vide.{ Deux evenements disjoints sont dits incompatibles.+De nition 1.1. Une mesure de probabilite P est une fonction de nie sur P( ) et a valeurs dans Rveri ant les proprietes suivantes :1. P( ) = 1 .2. Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de , on a P(A[B) = P(A) + P(B).3. Si (A ) est une famille denombrables de sous-ensembles de deux a deux disjoints, on an n1[ XP A = P(A ):n nn1 nOn deduit la proposition suivante de la de nition d’une mesure de probabilite :Proposition 1.2. 1. P(;) = 0,2. Si A est un evenement, P( nA) = 1 P(A),3. Si AB sont deux evenements, P(A) P(B),4. Si A et B sont deux ev P(A[B) = P(A) + P(B) P(A\B).Remarque : Le troisieme point de la de nition signie qu’une probabilite est une fonction croissante : c’estune faco n de calculer la « taille»des evenements.On montre facilement par recurrence le resultat suivant appele formule de Poincare ou ...

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Extrait

Universit´eClaudeBernardLyon1 Anne´euniversitaire2010-2011

Pre´paration

au CAPES

de

Mathe´matiques

Probabilit´es

F.Bienvenu ¨ e-Duheille

Chapitre 1

Probabilit´e,probabilite´conditionnelle

1Probabilite´ 1.1De´finitions OnseplacesurunensembleΩappele´psedecaorpeibablit´eou univers. Dans le vocabulaire probabiliste, –Une´lementωtseΩedl´euappeneeeicnp´erex ´ – Un sous-ensembleAde Ω est unte´env´enem. – Unev´tairee´´lmenee´enemtnest un singleton de Ω. – L’intaertcenemne´ve´est Ω. – L’esiblmposneitnemee´´vest l’ensemble vide. –Deuxe´ve´nementsdisjointssontditsincompatibles. De´finition1.1.UnePmesueredrpbobalitie´steefunctonndionfie´useirP(Ω)adsnuesrvala`teR + v´erifiantlesproprie´te´ssuivantes: 1.P(Ω) = 1 . 2. SiAetBsont deux sous-ensemblesdisjointsdeΩ, on aP(A∪B) =P(A) +P(B). 3. Si(A n ) n≥1 enseous-sdemblerbmone´dsedselbaunsteleilamefΩa`ededxuxudisjoints, on a P  [ A n  = X P(A n ). n≥1 n

Onde´duitlapropositionsuivantedelade´finitiond’unemesuredeprobabilite: ´

Proposition 1.2.1.P(∅) = 0, 2. SiAestutnem,ve´nene´P(Ω\A) = 1−P(A), 3. SiA⊂Bements,xue´´vneostnedP(A)≤P(B), 4. SiAetBsontdeuemtn,s´xvee´enP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

Remarque :ointemepisi`etronoisinit´dfieedalbaroepunu’eqifignnofenutsee´tilibtcoicnorsiastn:ec’estL ¸ une facon de calculer la«taille».sdeevs´ne´entme Onmontrefacilementparr´ecurrencelere´sultatsuivantappele´formuledePoincar´eouformuledu crible :

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Proposition 1.3.Soit(A k ) 1≤i≤n nemtnqseu´vee´enseuqnocledΩ. On a [ A k (A i ) P
i= n 1 ! = i= n X 1 P − X P(A i ∩A j ) + 1≤i<j≤n + X P(A i ∩A j ∩A k ) 1≤i<j<k≤n +∙ ∙ ∙+ (−1) n+1 P
i= n \ 1 A i ! .

Remarque :unsea3vLecz,slueiivuieusancbaosursdeprobabiliiSto´vetalroe´hdeireceitairtmenesunt lamesure,etvousavezdˆuycroiserdestribus.Lanotiondetribuestinutiledanslecadredesprobabilit´es dontvousavezbesoinpourleCAPES:laplupartdutemps,vousaurezaffairea`desuniversΩfinisou de´nombrables,etlatribuutilis´eeseraP(L.)Ωtonadnoiirtebuestutilepourlepsorabibil´tseidste«`a densit´e»disnare´nereocenbarolibiquntapel´tepropparrasemala`teLeburede,maesgueptusinoapss’sne d’un intervalle. Pour la suite de ce cours, on se placera sur un espaceΩmudepeserunumein’d.t´ePbiliroba

1.2Probabilit´esdiscre`tes Lamesuredeprobabilite´Pest ditesidete`rc`douleusplfitinuo´dnemorbbaesquel’espaceΩes ge´n´eralement,de`squ’ilexisteunsous-ensembleΩ 0 equletteelbarbmone´ioudeΩfindP(Ω 0 ) = 1. Une probabilite´surunensembled´enombrableseratoujoursdiscr`ete. Onseplaceradanslasuitedeceparagraphedanslecaso`uΩtfiniesnemouo´del.rbba Proposition 1.4.´imrete´dtnemetesrlpaeeunensembled´enomrbbaelsectmolpe`Unorpeibab´tilruse n P({ω})pour toutω∈Ω. En effet, pourA⊂Ω, on a P(A) = X P(ω). ω∈A NB:lecadreleplusfr´equentdesle¸eCAPES(hormisleslke¸consdestat)estlecasou`l’ensemble cons d Ω est fini. Remarques : –Lespoidsd’uneprobabilit´ediscre`tePfiine´vret P ω∈Ω P(ω) = 1. –Unemesuredeprobabilite´nepermetd’e´valueraprioriquelatailledesous-ensemblesdeΩ. Des exemples •i`ecunepuilie´eqre’daLcnee´rbiseld´moesr´leerno:etiahuoscean’urdtaulultdsnascirtipenece`herie. Pour cela, on choisit Ω 1 ={pile,face}, et donccardΩ 1 = 2. L’ensemble des parties de Ω 1 comporte quatree´l´ementsetond´efinitlamesuredeprobabilit´ePparP{pile}=P{face}= 1/2 puisque les deux evenementssont´equiprobables(c’est-`a-diredemeˆmeprobabilit´e).. ´ ´ Remarque :Ωrsioichpuenbiesr`iattanruO 1 ={pile,face,rouge,vert}itil´eedrpbobaememuser,etcom P{pile}=P{face}= 1/2 etP{rouge}=P{vert}..lempsi.siohcno,sulpeltintquistaaire’`af,0am= •Lancer dekp`icese,k≥2 : on prend cette fois-ci Ω k = (Ω 1 ) k  des l’ensemble, c’est ` dik-uplets de -a- re pile ou face. On acardΩ k = 2 k etcardP(Ω k ) = 2 2 k snte´erdsffi.eLksdoncssetttonpl-uborpelba´suoiuqe P(ω) = 2 −k , pour toutω∈Ω k .

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•abobPretescr`e´nulitiemidfiro: sur un ensemblefiniΩ ={ω 1 , . . . , ω n }on,efid´tlnipaorabibil´te uniforme parP(ω i ) = 1/npour toutientre 1 etn. Dans ce cas, tous lesω i edeseil´tabibpeormˆemntlao produire (i.e. sontaborselbe´piuq), et pour une partieAde Ω, on a P(A) = car n dA se saafovarn = cb spossibl bles nbca . Parexemple,lorsdulancerd’unde´re´guliera`sixfaces,chaquefaceestobtenueaveclamˆemeprobabilit´e 1/6. Remarque :voyadeiriulofonisemrruIlnpeuebteisnuˆprsaN. •exEelpmsuredemeobabdepre´uslitirN ∗ ´endeuncon¸cfade´te´pe´r’uqsujeenOal.6nurte,boa`inet onnotelenum´erodutiragedupremier6.Ona´evidemmentP(1) = 1/6. Onae´galement P(2) =Pdeux6;aueudeapasno’nga,etrrimeeiprau(6nuu)emi`irete,agaeon 5 = 36 carsurles36tiragespossiblese´quiprobables,seuls5permettentd’obtenirlepremier6audeuxi`emetirage. Demeˆme,pourtoutk≥2, P(k) =P(k−spuichec1´e 5 =)etissue´renus 6 k k−1 =  6 5  k−1 6 1 . Celaconstituebienunemesuredeprobabilite´discre`tesurN ∗ puisque P k≥1 P(k) = 1. Attention :t´edetirerun6exatcmeneptraimelsapcseNdnernoofroepttcet´libibapalcevaeilibabork premiers lancers.

1.3Probabilite´`adensite ´ On se place surRet on notedxitugseoS.ederubeLeamesndelatio´egri’tnnedt´lme’le´f:R→R unefonctionpositiveetd’int´egralesurRe´ueqgaaOn1.`aleerosppsufest continue par morceaux. Il est faciledeve´rifierquel’onde´finitunemesureµen posant, pour toutI⊂R: µ(I) = Z R 1 I (x)f(x)dx. Unetellemesureestdite`adensit´e(parrapport`alamesuredeLebesguesurRquementO.dn)ageltie´ c’estuneprobabilite´continue. Remarque :sesucnut-icnssedfin´eioitresuad,leiedalemalhte´rolienavecrfaireleouPrdesulierticaspa mesuresa`densite´parrapporta`lamesuredeLebesguesurRalofcnitno.snaDacele´gsern´,ialuffilsuetq fsiobtor´elienne,etonp´rletuobeeidnisnoctuealrere´dilabobprtode´eitR. Des exemples •La mesure uniforme sur l’intervalle [a, b,]o`ua < bnd´efinit:O µ(A) = Z R 1 A∩[a,b] (x) b d −a . x •La mesure de Gauss surR. On utilise ici la fonction 1 f(x) = √ 2π exp  − (x 2 − σ 2 m) 2  , σ ou`m∈Retσ∈R +∗ ntdeso.es`marapxu´xfiserte

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