èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 13PropriétésToujours avec la restriction a > 0, on a:1a = aet pout tout x, y:yx xy x + y x ya = a ; a = a ⋅ a( )Les démonstrations sont laissées en exercice.xEn profitant des propriétés de la fonction y = e , on démontre aussi:xa > 0 , quel que soit xx ′ xa = ln(a)⋅ a( )xx a a est croissante et convexe pour a > 1 xx a a est décroissante et pour 0 < a < 1 Les démonstrations sont laissées en exercice.Fonction réciproquexLa notation habituelle pour la fonction réciproque de a est log (x) .ayL’équivalence réciproque: y = log (x) ⇔ a = x donne également l’expression de log (x) en termes de a aln( x)y y ln(a) yln(a)ln: x = a = e et donc on a: x = e ⇔ ln(x) = y ln(a) ⇔ = y .ln a( )C’est la formule de changement de base vue en deuxième année: ln(x) 1log (x) = = ⋅ ln(x)a ln a ln a( ) ( ) Base 10Les notations précédentes s’appliquent notamment à la base 10:x xln(10 )Pour tout nombre réel x, on définit: f(x) = 10 = e .ln x 1 r Sa réciproque est la fonction: f (x) = log x = = ⋅ ln x . ln10 ln10 èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 144. Fonctions puissancesetcroissances comparéesLes fonctions puissancesαx a x , x > 0, α réel La même fonction exponentielle permet de définir, pour tout exposant réel α, la fonction puissance α:αPour tout nombre réel α , on définit la fonction f(x) = x par:α α lnxx = eLa dérivée d’une fonction composée permet d’établir que:αPour tout réel α , la ...