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• Publié par: Ostlue
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• Langue: Français

Extrait

Université d'Angers
DEUG STU2 Module ST41
Année 2001 2002

S. Chaussedent
Bureau Db 203
Tél. : [phone]









&RXUVGH
3K\VLTXH2QGXODWRLUH
SRXUOHV
SRXUOHV
6FLHQFHVGHOD7HUUH H

3ODQ GX FRXUV

PROPAGATION DES ONDES ELASTISQUES DANS LES FLUIDES ET
LES SOLIDES

I - Introduction : la notion d’onde

II - Propagation dans les fluides (liquides ou gaz)
II-1 Généralités
II 2 Equation de propagation
II 3 Cas d'un gaz parfait
II 4 Densité volumique d'énergie
II 5 Intensité acoustique - Impédance acoustique
II 6 Niveau en décibels
II 7 Effet Doppler

III Propagation dans les solides
III 1 Propagation dans un solide illimité isotrope
III 2 Propagation dans un solide de dimensions finies

IV Réflexions et transmissions d'ondes planes à l'interface de 2 milieux
IV 1 Fluides
IV 2Interface solide/fluide
IV 3Interface solide/solide
IV 3 Application à l'étude des séismes














-2- ×
[
\
[
w
-
w
w
\
w
p
-
3DUWLH , 3URSDJDWLRQ GHV RQGHV pODVWLTXHV GDQV OHV
IOXLGHV HW OHV VROLGHV



, ,QWURGXFWLRQ QRWLRQ G RQGH

Une onde est la transmission de proche en proche (propagation) d’une
perturbation. Cette transmission est fonction des caractéristiques physiques du
milieu.
Ex. lumière, son, rayons X, rayons UV, ondes radio…

L'onde est alors une vibration qui est propagée grâce au mouvement local des
particules constituant le milieu de propagation. Ces particules sont donc mises en
mouvement par le passage de l'onde, mais restent globalement en place : elles
vibrent seulement, ou oscillent, autour d'une position d'équilibre fixe.

Pour un fluide, la vibration correspond à un petit déplacement des particules ;
pour un solide, il s'agit d'une déformation de la structure cristalline. Si la vibration a
lieu parallèlement à la direction de propagation, l'onde est dite ORQJLWXGLQDOH ; en
revanche, si la vibration est perpendiculaire à la direction de propagation, il s'agit
d'une onde WUDQVYHUVDOH.

y
Considérons ces deux cas dans un espace à deux
&
edimensions repéré par les axes Ox et Oy : y
&
ex
2QGH ORQJLWXGLQDOH O x

Si l'onde se propage dans la direction de l'axe Ox, on dit qu'elle est
longitudinale quand les particules du milieu vibrent également selon la direction Ox.
Une telle onde, si elle est sinusoïdale, a pour expression : 8 ([,W) =8 cos( W N[) . 0
U est donc la vibration longitudinale, appelée aussi polarisation de l'onde. U est x 0x
l'amplitude de la vibration (de l'élongation). est la pulsation de l'onde ( = 2 f , f
&
étant la fréquence). k est le vecteur d'onde qui définit la direction de propagation de
&
l'onde. Ici, l'onde se propage suivant x, donc on a k(k = k, k = 0,k = 0). Enfin, x y z
&
r(x, y, z) définit la position où l'on fait le
mouvement d’une
&
& direction de propagation
particule calcul. Ici, on a donc k r =kx. L'onde de l’onde
longitudinale est donc polarisée &
& &
&
k = kexparalèlement à la direction de propagation U = U ex x
&
&
( k // e ). x

2QGH WUDQVYHUVDOH

direction de propagation L'onde transversale est au contraire mouvement d’une
de l’onde particule polarisée perpendiculairement à la
&
&
&
& &
&k = kedirection de propagation ( k // e ). Une xy U = U ey y
telle onde a pour expression :
8 ([,W) =8 cos( W N[) , où U est l'amplitude de déformation transversale. 0 0y
-3-
”
c
c
-
-
c
c
-
-
q
c
r
m
-
q
-
r
c

,, 3URSDJDWLRQ GDQV OHV IOXLGHV OLTXLGHV RX JD]

,, *pQpUD OLWpV

Un fluide est un milieu isotrope, c’est-à dire que toutes ses propriétés
physiques sont identiques dans toutes les directions (toutes les directions sont donc
équivalentes).
Nous allons ici considérer des IOXLGHV SDUIDLWV , c'est à dire QRQ YLVTXHX[ : il
n'existe aucune contrainte de cisaillement (module de cisaillement =0). L'absence
de cisaillement fait que dans un fluide parfait on ne peut propager que des ondes
longitudinales, et aucune onde transversale.
Nous allons étudier la
propagation d'une onde suivant
une direction donnée, par
exemple Ox, autrement dit l'onde
x
sera considérée comme plane
(dans le cas où la propagation
s'effectue dans toutes les
directions à la fois, il s'agit d'une onde sphérique). L'onde plane est une bonne
approximation d'une onde sphérique quand on est assez éloigné de la source.
dm
On caractérise un fluide par sa masse volumique = , et par son
dV
coefficient de compressibilité . Par exemple, pour l'eau, on a :
3 3 10 1= 10 kg.m et = 5.10 Pa . eau eau
D'autre part, dans un fluide, l'une des variables essentielles est la pression
acoustique p. On la nomme également surpression car il s'agit de l'excès (ou défaut)
de pression du fluide par rapport à la pression P existant dans le fluide au repos. Le 0
plus souvent, P est la pression atmosphérique : 0
P = P + p. 0
Cette pression acoustique conditionne donc les écarts de pression avec P et 0
dépend à la fois du temps et de la position : p p(x,t). Rappelons que la pression
-1 -2
s'exprime en pascal (Pa kg.m .s ).
Les variations de pression induisent des variations relatives de volume dV et
l'on relie les deux grandeurs grâce au coefficient de compressibilité du fluide :
1 dV 1 dV
= et donc p = dP = .
V dP V
Notons qu'ici, est le coefficient de compressibilité adiabatique car les compressions
se font très rapidement sans échange de chaleur.
On peut alors étudier les petites variations locales de pression qui résultent de
la propagation de l'onde. Ces petites variations locales de pression correspondent à
des déformations du milieu, c'est à dire aux petits déplacements des molécules du
fluide. Le fait qu'il n'y ait pas de cisaillement implique qu'il n'y a pas de déformation
hors de l'axe de propagation. Les déformations sont donc uniquement des dilatations
ou des compressions se produisant selon l'axe de propagation de l'onde plane.
dV
On associe alors la dilatation = , c à d la variation relative de volume, à la
V
pression acoustique de la façon suivante : p = .
-4-
¶
Ø
-
-
ß
¶
¶
¶
¶
¶
Œ
¶
-
¶
¶
q
¶
¶
¶
¶
-
c
º
-
ø
c
œ
q
¶
-
Soit un cylindre horizontal, d’axe Ox, de section S constante, rempli d’un fluide non-
visqueux et compressible. La tranche de fluide située à l'abscisse x subit une petite
déformation U(x,t) sous l'action de l'onde (on considérera la déformation petite
devant les dimensions du cylindre).
V
U(x,t) U(x+dx,t)
S
x x+dx
V+dV

Pour la tranche située à l'abscisse x+dx, le champ de déformation (ou champ de
déplacement) est U(x + dx, t) pour ce même instant t. On peut alors écrire :
U
U(x + dx, t) = U(x, t) + dU = U(x, t) + dx .
x

Au repos, le volume entre x et x+dx vaut V =Sdx. Au passage de l'onde, il y a
déformation de ce volume qui devient : V + dV = S[]x + dx + U(x + dx, t) x U(x, t) ,
dV étant l'excès ou le défaut de volume par rapport au volume initial après
compression ou dilatation. En simplifiant :
U
V + dV = S[]dx + U(x + dx, t) U(x, t) = S dx + U(x, t) + dx U(x, t)
x
U
V + dV = Sdx + Sdx
x
d'où l'on tire simplement :
U
dV = V
x
ce qui permet de définir la variation relative de volume, ou dilatation :
dV U
= =
V x
ou encore, la pression acoustique :
1 U
p = =
x

Considérons à présent une particule se trouvant à l'abscisse x. Dû au champ de
déformation U(x,t), elle est soumise à un déplacement, et donc à une certaine
vitesse, dite YLWHVVH SDUWLFXODLUH . Cette vitesse particulaire correspond simplement à
la variation du déplacement par rapport au temps, soit :
U
v = p