Cours

Description

Cours DEA 2006, 2007 (Résumé)Marie-France VignérasInstitut de Mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7-Denis DiderotFebruary 5, 2007Un caractère de Dirichlet modulo N est un homomorphisme ε :∗ ∗(Z/NZ) → C vu comme une application de Z dans C nulle surles entiers non premiers à N et égale à ε(n +NZ) sinon. Le coursde Colmez a défini les fonctions Lp-adiques des caractères de Dirich-let. Le but de ce cours est de définir les fonctions L p-adiques desformes modulaires. Passer de la dimension 1 à la dimension 2. Lecadre général (toute dimension n ≥ 1) serait fourni par les formesautomorphes. Application de la théorie analytique des caractères deDirichlet à la théorie des nombres:- Théorème des nombres premiers- Théorème de la progression arithmétique(et plus savant: la formule analytique du nombre de classes d’uncorps de nombres, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer d’unecourbe elliptique définie sur Q).OnexposelepremierchapitredutextedeMazur-Tate-Teitelbaum.Maisauparavant,ilfautsavoircequ’estuneformemodulaireclassiquepour laquelle on construira une fonction L p-adique.Formes modulaires au sens classique.1. Formes holomorphes paraboliques modulaires pour Γ (N) deocaractère ε et de poids k≥ 22. Equation fonctionnelle de la fonction L(f,s)3. Opérateur de Hecke T(p) pour un nombre premier p4. Formes primitives5. Les opérateurs| wk Q6. Torsion par un caractère de Dirichlet χ2 Marie-France Vignéras7. Rationalité, intégralité (admis).Livre ...

Informations

• Publié par: Machug
• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français

Extrait

Cours DEA 2006, 2007 (Résumé) Marie-France Vignéras Institut de Mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7-Denis Diderot

February 5, 2007

Un caractère de Dirichlet moduloNest un homomorphismeε: (ZNZ) ∗ →C ∗ vu comme une application deZdansCnulle sur les entiers non premiers àNet égale àε(n+NZ)sinon. Le cours de Colmez a défini les fonctionsL p-adiques des caractères de Dirich- let. Le but de ce cours est de définir les fonctionsL p-adiques des formes modulaires. Passer de la dimension1à la dimension2. Le cadre général (toute dimensionn≥1) serait fourni par les formes automorphes. Application de la théorie analytique des caractères de Dirichlet à la théorie des nombres: - Théorème des nombres premiers - Théorème de la progression arithmétique (et plus savant: la formule analytique du nombre de classes d’un corps de nombres, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer d’une courbe elliptique définie surQ). On expose le premier chapitre du texte de Mazur-Tate-Teitelbaum. Mais auparavant, il faut savoir ce qu’est une forme modulaire classique pour laquelle on construira une fonctionL p-adique. Formes modulaires au sens classique. 1. Formes holomorphes paraboliques modulaires pourΓ o (N)de caractèreεet de poidsk≥2 2. Equation fonctionnelle de la fonctionL(f s) 3. Opérateur de HeckeT(p)pour un nombre premierp 4. Formes primitives 5. Les opérateurs| k w Q 6. Torsion par un caractère de Dirichletχ

2

Marie-France Vignéras

7. Rationalité, intégralité (admis). Livre conseillé: Miyake. On a besoin de la théorie des fonctions anaytiques surC, pour laquelle on conseille de livre de Vogel. Articles originaux : Atkin, A., Lehner, J. : Hecke operators onΓ o (m). Math. Ann. 185, 134-160 (1970). Li W. Newforms and functional equations. Math. Ann. 212, 285- 315 (1975). Atkin A. and Lie W. Twists of Newforms and Pseudo-Eigenvalues ofW-operators. Inv. math. 48. 221-243 (1978). Autres références: Lang S. Introduction to modular forms. Grundlehren 222. Springer- Verlag 1976 (qui a l’avantage de contenir des symboles modulaires). Serre J.-P. Cours d’arithmétique. PUF 1970.(excellent pourSL(2Z) et pour les exemples). Shimura G. Introduction to the arithmetic of automorphic func- tions. Iwanami Shoten et Princeton Univ. Press (1971) (la bible). Diamond F., Shurman F. A first course in modular forms. GTM 228.

1. Formes holomorphes paraboliques modulaires pour Γ o (N)de caractèreεet de poidsk≥2 Proposition 1.Le demi-plan de PoincaréHest isomorphe analy- tiquement au disque unité ouvertDparz→w= z z + −i i d’inverse w+1 w→i −w+1 . On utilise qu’une fonction holomorphe bijective entre deux ouverts deCa une inverse holomorphe. PourA∈GL(2R) + etz∈ Hon définit l’homographie az Az = +b cz+ d  On a(A 1 A 2 )z=A 1 (A 2 z)et detA ImAz= |cz+d| 2 Imz On pose

ρ(A) =  (d c e z tA + ) d 12 

Cours DEA 2006, 2007 (Résumé) 3 Proposition 2.a) Tout automorphisme deHest une homographie. b) Le groupe des automorphismes deHest isomorphe àGL(2R) + R ∗ ≃ SL(2R)±id. La démonstration de a) utilise le lemme de Schwarz (Vogel 89), après s’être ramené àD. La métrique (hyperbolique) et la mesure ds 2 = dx 2 + 2 dy 2  dv(z) = y xd 2 dy y sont invariantes parGL(2R) + (agissant par homographie). Proposition 3.1) Les géodésiques du demi-plan de Poincaré sont les demi-cercles centrés surRet les droites perpendiculaires àR. 2) Entre deux points deH ∪R∪ ∞passe une unique géodésique. 3) SoitDl’intérieur d’un triangle surH ∪ ∞ ∪Rdont les cotés sont des géodésiques d’angleθ 1  θ 2  θ 3 . Alors l’aire deDpour la mesure hyperboliquey −2 dx dyestπ−(θ 1 +θ 2 +θ 3 ). On renvoie a Miyake (page 13) pour la démonstration. Soitk≥2un entier. Pourf:H →C A=  a b  dans c d GL(2R) + etz∈ H, on pose f| k A(z) =ρ(A) k f(Az) = (ad−bc) k2 (cz+d) −k f((az+b)(cz+d)) Sifest holomorphe, alorsf| k Aest homolomorphe. On a f| k (A 1 A 2 ) = (f| k A 1 )| k A 2  c’est pourquoiAest à droite def. Proposition 4.SoitN >1un entier. La réduction moduloNdéfinit un morphisme surjectifSL(2Z)→SL(2ZNZ). La démonstration utilise que que si(c d N) = 1, il existec ′ ≡ c d ′ ≡dmoduloNpremiers entre eux. On définitΓ(N) Γ o (N) Γ 1 (N)comme le noyau de la réduction moduloNet les images inverses des groupes triangulaires supérieurs, strictement triangulaires supérieurs dansSL(2ZNZ). PourN= 1, on poseΓ o (1) =Γ 1 (1) =SL(2Z). L’application A=  cd ab  →a

4 Marie-France Vignéras induit un homomorphisme surjectif deΓ o (N)sur(ZNZ) ∗ de noyau Γ 1 (N). Tout caractère de Dirichlet moduloN, disonsε: (ZNZ) ∗ → C ∗ , définit un caractère ε(A) =ε(a) deΓ o (N)trivial surΓ 1 (N). On aε(A) −1 =ε(d). Définition 1.SoientNun entier≥1,εun caractère de Dirichlet moduloN, etkun entier≥2. Une forme modulaire parabolique holo- morphe de poidsk≥2et de caractèreεpour le groupeΓ o (N)est une fonctionf:H →C - holomorphe, - parabolique:f(z) Im(z) k 1 2 esénusbtror tuA∈ H, Γ o (N - modulaire :f| k A=ε(A) − fpour to). On dit queNest le niveau def. On noteC(N ε k)l’espace vectoriel surCformé par ces formes. Remarque 1.Le groupeGL(2R) + opère à droite sur l’espaceCdes formes holomorphes paraboliquesf:H →Cde poidsk. Pour toute matriceA∈GL(2R) + , l’holomorphie est respectée par| k A. De même la parabolicité car f| k A(z)(Imz) k2 =f(Az)(ImAz) k2  Poour tout caractère de DirichletεmoduloN, le groupeΓ o (N) agit à droite surCpar f| εk A=ε(A)f| k A Noter queε −1 (?) =ε(?). L’espace des fonctions deCinvariantes par Γ o (N)estC(N ε k). Remarque 2.La modularité impliqueε(−1) = (−1) k sif =0. Elle im- plique aussi f(z+ 1) =f(z) carA=  10 11  ∈Γ o (N). Posons q=e 2iπz L’applicationz→qest holomorphe, l’image deHest le disque unité ouvert privé de l’origineD ∗ . Il existe une unique fonction holomorphe g:D ∗ →Ctelle queg(q) =f(z)(Vogel). Son développement de Laurent enq= 0estg(q) = P n∈Z a n q n pour des constantesa n ∈C. La fonctiongse prolonge en0sia n = 0pourn <0. Alorsg(0) =a o etgest holomorphe surD. La parabolicité impliquea o = 0. Donc f(q) = X a n q  n n≥1

Cours DEA 2006, 2007 (Résumé)

5

(q)lorsqueq→0. Coq= e L − or 2 s π q y l,i uef ea o t b t a n ru oc qi s l nue , e e nixts epastf e ( C q) = >0 O telle que  mme| | |f(x+iy)| ≤e −2πy C lorsqueyest assez grand. Proposition 5.Soitf= P n≥1 a n q n ∈ C(N ε k). Alors il existe une constanteM >0telle que|a n | ≤M n k2 pour tout entiern≥1. La démonstration utilise la parabolicité et et la formule a n = Z z o +1 f(z)e −2πnz dz z o pourImz o = 1n. Ce n’est pas la meilleure majoration possible. Par Eichler sik= 2 et Deligne sik >2, on peut remplacerkpark−1dans la proposition (conséquence des conjectures de Weil sur les variétés algébriques sur les corps finis). Mais elle suffit pour voir que la série de Dirichlet associée àfconverge quelque part. Corollaire 1.La fonctionL(f s) = P n≥1 a n n −s converge absolu- ment pourℜs > k2 + 1. On définit de façon analogue la notion de forme modulaire parabolique holomorphe de poidsk≥2pour le groupeΓ 1 (N)(pas de caractère). On noteC(N k)l’espace vectoriel de ces formes. Théorème 1.La dimension deC(N k)surCest finie. On l’admet. Cela nous emmenerait trop loin, on n’a pas le temps. Je connais deux preuves, l’une utilisant le théorème de Riemann-Roch pour les surfaces de Riemann, l’autre la formule des traces des opéra- teurs de Hecke. Elles se trouvent dans Miyake. PourSL(2Z), voir Serre, cours d’arithmétique, la preuve utilise Riemann-Roch. Le ré- sultat est pour le poidsk= 468   pair (sinon l’espace est nul), dimC(1 k) = [k12] sauf sik≡ ou c2 mod 12 ′ est [k12]−1 Pourk≤11il n’y a pas de formes paraboliques. Pourk= 12, l’espace est de dimension1. On montreraa 1 =0sif=0est de poids12 pourSL(2Z). Le générateur normalisé para 1 = 1est (Serre, cours d’arithmétique, ch.VII, prop.14): Δ(z) = (2π) 12 q Y (1−q n ) 24 = X τ(n)q n =q−24q 2 + 252q 3 −   n≥1n≥1 La fonctionτ(n)est la fonction de Ramanujan. Ses valeurs sont des entiers et la fonctionΔ(z)ne s’annule pas. Voir Serre cours d’arithmétique (et aussi pour d’autres exemples de formes modulaires, séries d’Eisenstein, séries theta). La questionτ(n)=0? est ouverte.

6

Marie-France Vignéras

Proposition 6.C(N k) =⊕ ε C(N ε k). La somme est sur les caractères de Dirichlet moduloN. La preuve utilise queΓ o (N)normaliseΓ 1 (N)et la propriété générale: Proposition 7.Si un groupe fini commutatifGopère à droite sur un espace vectoriel complexe de dimension finieV, alors V=⊕ ε:G→C ∗ V ε ∗ oùV ε ={v∈V vg=ε(g)v}pour tous les caractèresε:G→C.

2. Equation fonctionnelle de la fonctionL(f s) On pose w N =  N 0− 0 1  On a −1 w N  c ba d  w N −1 =  − d bN −Nc a   (f| k w N )(z) =N −k2 z −k f(−1N z) Lemme 1.f→f| k w N est un isomorphismeC(N ε k)≃ C(N ε −1  k). La modularité utilise quew N normaliseΓ o (N). La bijection utilise quef aie scalaireaidaveca∈R ∗ , Comm | k ew d 2 N = si= − g N ( i na) d, k fpour une matric f| k w N | k w N = (−1) k f

La fonction Gamma (à ne pas confondre avecΓ o (N)). L’intégrale ∞ Z 0 e −t t s−1 dt converge absolument pours∈Cde partie réelle>0et définit une fonction holomorpheΓ(s)sur cet ouvert. Une intégration par parties ∞ Z 0 ∞ t s d(−e −t ) Z 0 =−st s−1 (−e −t )dt montre Γ(s+ 1) =sΓ(s) pourℜs >0. Un calcul direct montreΓ(1) = 1, ce qui implique que Γ(n+ 1) =n!pour tout entiern >0.

Cours DEA 2006, 2007 (Résumé)

7

La formule permet de prolonger la fonction en une fonction méro- morpheΓ(s)surC, de pôles simples aux pointss= 0−1−2   de résidus lim s→−n (s+n)Γ(s) = lim s→−n Γ(s+n+ 1) (−1) n = s(s+ 1)  (s+n−1)n!  Proposition 8.La fonctionΓ(s)ne s’annule pas. On l’admet. Cela se déduit de Vogel 43 exo 9 e) ou de la formule Γ(s)Γ(1−s) =  sin(sπ π )  Voir aussi Dieudonné Calcul infinitésimal. On pose pourf∈ C(N ε k)et pours∈Cde partie réelleℜs > k2 + 1, Λ(f s) = (2π N) −s Γ(s)L(f s) Elle admet la représentation intégrale ) = Z 0 ∞ f(it N)t s−1 dt Λ(f s en utilisanta −s Γ(s) = R 0 ∞ e −t (ta) s dtt= R 0 ∞ e −at t s−1 dtpoura >0 et f(it N) = X a n e −2πnt √ N  n≥1 Théorème 2.La fonctionΛ(f s)se prolonge en une fonction holo- morphe surCvérifiant l’équation fonctionnelle Λ(f s) =i k Λ(f| k w N  k−s) On coupe l’intégrale en deux parties de0à1et de1à∞. Comme − e 2πt N , l’intégrale def(it N)t s−1 de1à∞définit une fonction homolorphe ens∈C. Utilisant la relation i k (f| k w N )(it √ N) =t k f(it N) l’intégrale de0à1se ramène en une intégrale absolument convergente de1à∞, ∞ i k Z 0 1 f| k w N )(it N)t s−k dtt=i k Z (f| k w N )(it N)t k−s dtt 1 Sur l’expression Λ(f(it √ N)t s +i k (f| k w N )(it N)t k−s )dtt (f s) = Z 1 ∞ on voit queΛ(f s)se prolonge en une fonction holomorphe surC, et l’ équation fonctionnelle s’obtient avecf| k w N | k w N = (−1) k fComme Γ(s)ne s’annule pas, on déduit:

8 Marie-France Vignéras Corollaire 2.L(f s)se prolonge en une fonction holomorphe surC égale à L(f s) =  ( Γ( 2 s π ) ) s Z 0 ∞ f(it)t s−1 dt pour touts∈C, vérifiant l’équation fonctionnelle (2π √ N) −s Γ(s)L(f s) =i k (2π N) −k+s Γ(k−s)L(f| k w N  k−s) Voir Miyake 4.3 et Diamond page 204, ce qui se passe pour la fonctionLd’une forme holomorphe, faiblement modulaire de poidsk pourΓ 1 (N), etf| k Aest holomorphe à l’infini pour toutA∈SL(2Z), non parabolique.

3. Opérateur de HeckeT(p) Soitpun nombre premier. Pourf∈ C(N ε k), on pose f T(p) =p (k2)−1 [( p u X − =0 1 f| k  1 0 u p  ) +ε(p)f| k  p 1 0 0  ] Rappelons queε(p) = 0pourp|N, f| k  0 1 p u  )(z) =f( p z+u )p −k2  f| k  p 1 0 0  (z) =f(pz)p k2  Donc f T(p)(z) = (p −1 X +ε(p)p k− p−1 f( z+ p u )) 1 f(pz) u=0 Proposition 9.Soitf∈ C(N ε k). Alorsf T(p)appartient àC(N ε k). La preuve repose sur la remarque 1 et un argument général: Proposition 10.Si un monoideG(on ne suppose pas qu’il y ait d’inverse) opère sur un espace vectoriel complexeV, siHest un sous- groupe deGet sig∈Ga un double classeH gHégale à une union finie disjointe de classesH g i pour1≤i≤n. Alors pourvfixe par H, n X vg i i=1 ne dépend pas du choix desg i et est fixe parH.

Cours DEA 2006, 2007 (Résumé)

9

Les matricesA∈GL(2R) + aveca b c d∈Zetc|Nforment un monoide multiplicatifGetε(A) :=ε(a)est un homomorphisme de monoides car  N b dc a   N a ′ c ′ b d ′ ′   a (c a ′ a + ′ + cNb ca ′ ′ ) ∗ ∗   = N Le monoideGagit sur l’espaceCdes fonctions holomorphes paraboliques de poidsksurHpar f| εk A= detA k2−1 ε(A)f| k A= (ad−bc) k−1 ε(a)(cz+d) −k f( cz az + + d b ) On af| εk AA ′ = (f| εk A)| εk A ′ . On applique la proposition La double classeΓ o (N)  10 0p  Γ o (N)est contenue dansGet f T(p) = X f| εk A (N)Γ o (N)  0 1 p 0 ! Γ o (N) A∈Γ o par la proposition suivante, puisqueε(A) =ε(a). Proposition 11.La double classeΓ o (N)  10 0p  Γ o (N)est l’union disjointe des classesΓ o (N)  0 1 p u  pour0≤u≤p−1sipdivise N; sipne divise pasnil faut rajouter la classeΓ o (N)  p0 1  . 0 Pour la disjonction des classesΓ o (N)?, on remarquera que les matrices ?sont triangulaires supérieures. Exhaustivité. Une matriceA=  c b dN a  dans la double classe appartient àGetad−N bc=p. On a deux cas: 1)(a cN) = 1, on choisitB∈Γ o (N)de seconde ligne(−cN a) telle queBA=  0 1 p b ′  pour un entierb ′ . Sib ′ +yp=uavec 0≤u≤p−1, on multiplie à gauche parC=  1 0 y 1  ∈Γ o (N), et CBA=  0 1 p u  . Sip|N, on a fini car alors(a p) = 1donc(a cN)= p. On est dans le cas 1).

10

Marie-France Vignéras

2)pne divise pasNet(a cN) =palors(a c) =p; on choisit B∈Γ o (N)de seconde ligne(−cNp ap). On aBA=  0 p b 1 ′  =  1 0 b 1 ′   0 p 1 0  . La proposition est démontrée. Proposition 12.Soientpun nombre premier etf∈ C(N ε k). Les coefficients de Fourier def T(p) = P n≥1 b n q n sont reliés à ceux de f(z) = P n≥1 a n q n par la relation b n =a np +ε(p)p k−1 a np avec la conventiona np = 0sipne divise pasn. En utilisant que P u e 2iπnp = 0sipne divise pasnet=psinon, on voit que f T(p)(z) = X a np q n +ε(p)p k−1 X a n q pn  n≥1n≥1 Corollaire 3.Les opérateurs de Hecke commutent. Il suffit de calculer les coefficients de Fourier def T(p)T(q)et de f T q T(p)pour deux nombres premiers distincts et de voir que la for- mule est symétrique enp q. Lemme 2.Une série formelle dans l’anneauC[[X]]des séries formelles est inversible si et seulement si son coefficient constant est non nul. Preuve.(Bourbaki A IV.28 §4 prop.6). On l’écrita(1−f(X))avec f(X si )eiréof i’del e b sun esrevn1 rm + el X le + divi 2 peraislb ilet Xment isex iaer.lC1−Xest in- verX+  te unC-endomorphisme continu deC[[X]]tel queX→f(X). Donca(1−X)→a(1 +f(X)) et a −1 (1 +f(X) +f(X) 2 +  ) est l’inverse dea(1 +f(X)). Soitpun nombre premier et soitλ(p)∈C. Le polynôme 1−λ(p)X+ε(p)p k−1 X 2 est inversible dans l’anneauC[[X]]des séries formelles, car le coeffi- cient constant est non nul. On note son inverse 1 +λ(p)X+λ(p 2 )X 2 +λ(p 3 )X 3 +    etλ(1) = 1. Par identification, (1−λ(p)X+ε(p)p k−1 X 2 )(1 +λ(p)X+λ(p 2 )X 2 +λ(p 3 )X 3 +  ) = 1 les coefficientsλ(p n )pourn≥2vérifient la relation 0 =λ(p n )−λ(p)λ(p n−1 ) +ε(p)p k−1 λ(p n+2 )