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´Electromagn´etisme dans le domaine temporelBrigitte Bid´egaray-FesquetCours de DEA — 2003-20042IntroductionLorsque l’on s’int´eresse `a la mod´elisation de la propagation d’une onde´electromagn´etique dans unmat´eriau, les difficult´es peuvent ˆetre de deux ordres,– g´eom´etrique:l’ondesepropagedansunmilieudontlag´eom´etrieestcomplexe(domaineext´erieurd’un avion, d’une antenne, ...);– li´e au couplage : il y a interaction entre l’onde et le mat´eriau, ce qui complexifie les ´equations.Dans cecours,onselimite auxprobl`emes li´es aucouplage onde-mati`ere. Cesprobl`emes n’ont d’int´erˆetque lorsque que l’on consid`ere des champs suffisamment intenses ou des impulsions suffisammentcourtes.Ons’int´eressealorsa`desm´ethodesentempspourpouvoird´ecrirelesph´enom`enestransitoires.Lorsque l’on s’int´eresse `a des probl`emes li´es a` la g´eom´etrie, on a le plus souvent `a r´esoudre desprobl`emesmath´ematiques:singularit´esduchampauxsingularit´esdesfronti`eres,conditionsauxbords,etc...Danslesprobl`emesdecouplage,ilfautavantdeseposercesprobl`emes,choisirlemod`elead´equat`alasituationenvisag´ee. C’estpourquoinousallonscommencerpard´etailler lad´erivationdes´equationspour le champ et le mat´eriau, afin de mettre en ´evidence les hypoth`eses r´ealis´ees `a chaque ´etape etd’ˆetre `a mˆeme de choisir le bon mod`ele dans un contexte pr´ecis.Nous allons commencer par rappeler les ´equations de Maxwell lin´eaires ainsi que les diff´erentessimplifications usuelles qui leurs sont ...

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´ Electromagn´etisme

dans

le

domaine

BrigitteBide´garay-Fesquet

Cours

de

DEA

—

2003-2004

temporel

2

Introduction

Lorsquel’ons’int´eressea`lamod´elisationdelapropagationd’uneondee´lectromagne´tiquedansun mat´eriau,lesdifficulte´speuventˆetrededeuxordres, –g´eome´trique:l’ondesepropagedansunmilieudontlage´ome´trieestcomplexe(domaineexte´rieur d’un avion, d’une antenne, . . .) ; –lie´aucouplage:ilyainteractionentrel’ondeetlemate´riau,cequicomplexifielese´quations. Danscecours,onselimiteauxproble`mesli´esaucouplageonde-matie`re.Cesproble`mesn’ontd’int´erˆet que lorsque que l’on considere des champs suffisamment intenses ou des impulsions suffisamment ` courtes.Ons’int´essealorsa`desm´ethodesentempspourpouvoird´ecrirelesphe´nom`enestransitoires. er Lorsquel’ons’inte´ressea`desproble`mesli´es`alag´eom´etrie,onaleplussouvent`ar´esoudredes probl`emesmath´ematiques:singularit´esduchampauxsingularit´esdesfronti`eres,conditionsauxbords, etc...Danslesproble`mesdecouplage,ilfautavantdeseposercesprobl`emes,choisirlemod`elead´equat `alasituationenvisage´e.C’estpourquoinousallonscommencerpard´etaillerlad´erivationdes´equations pourlechampetlemate´riau,afindemettreen´evidenceleshypothe`sesre´alis´ees`achaquee´tapeet d’eˆtre`amˆemedechoisirlebonmod`eledansuncontextepre´cis. Nousallonscommencerparrappelerles´equationsdeMaxwellline´airesainsiquelesdiffe´rentes simplificationsusuellesquileurssontapport´ees(chapitre1).Nousverronsquecessimplifications n’ontpaslieud’ˆetredanslaplupartdescouplagesnonlin´eairesaveclamatie`re.Diff´erentesloisde mat´eriauxserontpropose´es(chapitre2).Ondonneraquelquesre´sultatsmath´ematiquessurlesmod`eles obtenus(chapitre3).Onparleraensuitedeladiscre´tisationnume´riquedescese´quationsdanslecadre desdiff´erencesfinies(chapitre4).Outrecetteapplicationpr´ecise,cecoursseveutuneintroductiona` cesme´thodes.

Chapitre 1

Mode`lesdepropagationd’ondes

´ 1.1 Equations de Maxwell Lechamp´electromagne´tiqueestd´ecritparuncoupledevecteurs: {E(r t)B(r t)} Lemilieumat´erielestde´critparladistributiondechargesetladensite´decourant: ρ(r t)j(r t) Lese´quationsdeMaxwelldanslevides’e´criventalors ´ Equationdefluxmagne´tique div(B) = 0 ´ Equation de Maxwell–Faraday rot(E) =−∂ t B ´ Equation de Maxwell–Gauss div(E) =ρε 0  ´ EquationdeMaxwell–Amp`ere rot(B) =µ 0 (j+ε 0 ∂ t E) 1.1.1 Champ microscopique, champ macroscopique Al’e´chellemicroscopique,lechampe´lectromagn´etiquevariesurunee´chelledegrandeurtr`espetite (quelquesdizainesdenanome`tres).Enphysiqueclassique,ilconvientded´efinirunchampmacrosco- piqueeneffectuantlamoyenneduchampre´elsurunpetit´el´ementdevolumesuffisammentgrand devantladistanceentrelesatomes,etsuffisammentpetitpourˆetreconside´re´mathe´matiquement commeun´ele´mentdiff´erentiel.Ilfautalorsdistinguerleschargesquirestentdansl’´ele´mentdevolume (chargesli´ees)decellessusceptiblesdesed´eplacerdanslamatie`re(chargeslibres);eneffet,lescharges lie´esdontladensite´peutˆetrenulle(moyennesurl’´el´ntdevolumedechargespositivesetn´egatives) eme peuventeˆtre`al’origined’unchamp´electromagn´etique(dipoˆles´electriques,dipoˆlesmagn´etiques). Ondistingueainsilechampeffectifagissantsurunemole´culeetlechampobserve´parmoyenni- sationsuruner´egioncontenantungrandnombredemol´ecules.Lese´quationsdeMaxwelldeviennent alors div(B) = 0rot(E) =−∂ t B div(E) = (ρ libre +ρ i´lee )ε 0 rot(B) =µ 0 (j libre +j eeli´ +ε 0 ∂ t E) Danslesmilieuxdi´electriques,leschargeslie´espeuventsed´ecrire,enpremie`reapproximation, parunedistributionsdedipoˆles´electriques(barycentredeschargesne´gativesetpositivesendes pointsdiffe´rents).D’unpointdevuemacroscopique,cettedistributionestcaract´erise´eparunchamp vectoriel : la polarisation du milieu. Cette polarisation est definie par ´ ρ ee´il =−div(P) 3

4CAHPITRE1.MODELESDEPROAPAGTION’DONDES

Leschargesli´eesquisonta`l’originedecettepolarisationsontmisenmouvementenpr´esenced’un champ variable. Cet effet se traduit par un courant de polarisation. Pour satisfaire le principe de conservationdelacharge,ladensit´edecourantestdonn´eepar j P =∂ t P Si,deplus,lemilieupre´sentedespropri´et´esd’aimantation,ilpeutenpremie`reapproximationse de´crireparunedistributiondedipolese´lectriquesetmagn´etiques.D’unpointdevuemacroscopique, ˆ ladistributiondesdipˆolesmagn´etiquesestde´criteparuneaimantation.Cetteaimantationest`a l’origine d’un courant d’aimantation : j M = rotM On obtient alors div(B) = 0rot(E) =−∂ t B div(E) = (ρ libre −div(P))ε 0 rot(B) =µ 0 (j libre +∂ t P+ rot(M) +ε 0 ∂ t E) ´ 1.1.2 Equations constitutives Ilestdoncpossibled’introduiredeuxnouveauxchampsvectorielspourd´ecrirelecomportement delamatie`relorsqu’ilyadeschargesetdescourantsli´es.Ceschampsre´sultentenfaitd’approxi- mationsdanslamesureou`leschargesetlescourantsli´essontassimil´esa`unedistributiondedipˆoles ´electriquesetmagn´etiques.Uneexpressioncomple`tedoitfaireapparaıˆtreunecontributiondestermes multipolairesquileplussouventestne´gligeable. Danslecasg´ene´ral,poursimplifierles´equationspre´c´edentes,onintroduitalorsdeuxnouveaux champs vectoriels auxiliaires : l’excitatione´lectriqueouinduction´electrique D=ε 0 E+P et l’excitation magnetique ´ H=Bµ 0 −M Lese´quationsdeMaxwelldeviennentalors div(B) = 0rot(E) =−∂ t B div(D) =ρ libre rot(H) =j libre +∂ t D Ilconvientalorsdefermercese´quationspardesexpressionsreliantDetHa`EetB: les relations constitutives. Milieuxdi´electriques Pourdesdie´lectriques,onconside`requelemilieuestde´pourvudechargeslibresetquelemilieu estnonmagne´tique.Parailleurs,onsupposeenge´ne´ralquel’inductione´lectriquesede´veloppeen puissancesduchamp´electrique.Danslecadrelin´eaire,onobtientdonclesrelationsconstitutives B=µ 0 HD=ε 0 E+P L P L =ε 0 χ (1) ∗E Danslecadrelin´eaireisotropeinstantan´e,ona D=ε 0 ε r E ou`ε r ≥oitciusntnavec,eleonitvonsdaselaapagitnoedosdnse’cnixaes`scudreeqeuelapromoem1C. paslavitessedelalumi`eredanslevide. Onreviendrasurd’autresformesdelasusceptibilit´elin´eaireχ (1) dans le chapitre suivant. Milieux dia- et paramagnetique ´ Pourlesmilieuxmagn´etiques,onconside`reg´en´eralementque D=ε 0 ε r EetB=µ 0 µ r H o`uµ r 6sruojuotano`uto1e=ε r ≥1 et constant. Le casµ r >imiluedxaiamnge´tiques1creoronspuxda et le cas 0< µ r <imxua1rapxueiletn´agams.ueiq