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Cours

20 pages
CHAPITRE2SÉRIESENTIÈRES2.1 Sériesentières X Définition2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions f dont lenntermegénéralestdelaforme f (x)= a x ,où(a ) désigneunesuiteréelleoucomplexen n n net x∈R.X nUne série entière est notée a x . Comme pour les séries de fonctions, on cherchenl’ensemble;  ∞ X nΔ= x∈R : a x converge . n n=0C’estledomainedeconvergencedelasérieentière.Exemple1.∞X nx.n!n=0nxPosons f (x)= etappliquonslecritèredeD’Alembert;nn! f (x) x n+1 lim = lim = 0.Lasérieentièreestabsolumentconvergentepourtout n−→∞ n−→∞f (x) n+1nx∈R;doncΔ=R.Exemple2.∞X nx.2nn=1 n 2 f (x)x nn+1 Posons f (x)= ona: lim = lim x=|x|.n 2 n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nSi|x| < 1,lasérieestabsolumentconvergenteetsi|x| > 1lasériediverge.Etudionslecasoù|x|= 1.∞Xn n |x| 1 x on a f (x) = = La série est alors absolument convergente dans [−1,1];n 2 2 2n n nn=0etalorsΔ= [−1,1]Exemple3.23SÉRIESENTIÈRES∞Xnn!x .n=0 f (x)n+1 Cettesérieneconvergequesix= 0car lim = lim |(n+1)x|etlalimiten’existe n−→∞ n−→∞f (x)nquesi x= 0:d’où:Δ={0}.Exemple4.∞X nx.nn=1 n x f (x) nn+1 Posons f (x) = on a lim = lim x = |x|. Si |x| < 1, la série estn n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nabsolumentconvergenteetsi|x| > 1lasériediverge.Etudionslecasoù|x|= 1. X 1x= 1:c’estlasérieharmonique ,elleestdivergente.n !X n(−1)x=−1:c’estlasérieharmoniquealternée ...
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CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions X f n dont le terme général est de la forme f n ( x ) = a n x n , où ( a n ) n désigne une suite réelle ou complexe et x R . Une série entière est notée X a n x n . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’ensemble ; x R Δ = : n X = 0 a n x n converge C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. X x n . n ! n = 0 Posons f n ( x ) = xn n !etappliquonslecritèredeDAlembert; lim f n + 1 ( x ) = n l i m n + x 1 = 0. La série entière est absolument convergente pour tout n −→∞ f n ( x )   x R ; donc Δ = R . Exemple 2. x n X n 2 . n = 1 n Posons f n ( x ) = nx 2 on a : n l i m f n f + n 1 (( xx )) = n l i m nn + 1 2 x = | x | Si | x | < 1, la série est absolument convergente et si | x | > 1 la série diverge. Etudions le cas où | x | = 1. a e X on a f n ( x ) = | xn | 2 n = n 1 2 L séri xn n 2 est alors absolument convergente dans [ 1 1] ; n = 0 et alors Δ = [ 1 1] Exemple 3.
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Preuve. La suite ( a n x n 0 ) est bornée, il existe M > 0 tel que n N | a n x n 0 | ≤ M . 1.) Pour | x | < | x 0 | : La série X est une n x n x n métr | a n x n | = a n xx 00 n = | a n x 0 n | xx 0 n M xx 0 n n = 0 x 0 série géo ique de raison x < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série x 0 ∞ ∞ X | a n x n | est convergente et par conséquent la série X a n x n converge absolument pour n = 0 n = 0 | x | < | x 0 | . 2.) Soit 0 < r < | x 0 | et soit | x | ≤ r . | a n x n | = a n xx n 00 n x n = | a n x n 0 | xx 0 n M xr 0 n Comme n X 0 M xr 0 n est une série numérique = convergente, la série entière X a n x n est normalement convergente pour tout x tel que n = 0 | x | < r et tout r tel que 0 < r < | x 0 | M r A  N  -E  .
Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit X a n x n une série entière. On suppose qu’il existe x 0 R tel que la suite ( a n x 0 n ) soit bornée. Alors : 1. La série X a n x n est absolument convergente pour | x | < | x 0 | . 2. La série X a n x n est normalement convergente pour | x | < r, et pour tout r tel que 0 < r < | x 0 |
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geeresquneienvconmi0=xilracXeCttseré=nn0x!.nnfsn=)x(onnxilanmnfn(x+1o:ù=Δ0{.}xEmelpe4.Xn=1xnn.Posoalte|x)1netimilquteisex:d=0ixes+n(1fx())xnf=lim|(n+n|x1=x.1=elacos|ùEtudionsdiverge.sal1eiréiste>|x|rgveteenenumontcsbloseatréeil,sax|<1Si|=|x|x1+nnmnli=x)n()foù:Δ=[11[.sectnoevgrneetD.Xée1)(!,nnleelmrahqinolaeunretces=1:érietlasideveetsetx.grneequnimoll,enX1altsec:raheirés
2.2 Rayon de convergence d’une série entière Pour les séries entières, la notion de convergence prend une forme assez simple. Théorème 2.2.1 Soit X a n x n une série entière ; alors il existe un unique nombre réel R 0 (éventuellement infini) tel que : 1. X a n x n converge absolument dans ] R R [ . 2. X a n x n diverge si | x | > R.
Preuve. Soit I = r R + : X a n r n converge R + . I , car 0 I . n = 0 On distinguera trois cas : I = { 0 } , I = R + et { 0 } ⊂ I R + . 1) I = { 0 } . On pose R = 0. Soit x R . Ceci implique que | x | > 0 et par suite x < I et la série X | a n x n | diverge. n = 0 Montrons que X a n x n diverge. Pour cela, on raisonnera par l’absurde. Supposons que n = 0 X a n x n converge pour | x | > 0. n = 0 X x 1 n | Soit x 1 C tel que 0 < | x 1 | < | x | . La série n = 0 | a n est convergente d’après le lemme d’Abel (2.1.1) et donc x 1 I . D’où la contradiction avec le fait que I = { 0 } . 2) I = R + . On pose R = . On doit prouver que X a n x n est absolument convergente pour tout x R . La série X | a n | r n converge pour tout r > 0. n = 0 Soit x R . Il existe r > 0 tel que | x | < r . Ceci implique | a n x n | ≤ | a n | r n et d’après le théorème de comparaison la série X a n x n converge absolument. 3) { 0 } ⊂ I R , I , { 0 } et I , R . a) I est majoré. En e et, soit r R I et supposons que r n’est pas un majorant de I . Il existerait alors r 1 I tel r < r 1 . D’après la définition de I , la série X | a n | r 1 n est convergente ainsi que X | a n | r n (car | a n | r n < | a n | r n 1 ) et donc r I ce qui est en contradiction avec l’hypothèse r R I . I est alors un ensemble non vide et majoré donc admet une borne supérieure R = sup I . Pour conclure, on doit prouver que r I X a n x n converge absolument pour tout x , | x | < R et diverge pour tout x , | x | > R . b)Soit x R tel que | x | < R . Il existe ρ I tel que | x | < ρ < R . Comme la série X | a n | ρ n converge, X | a n |  | x n | converge en vertu du théorème de comparaison. X a n x n est alors absolument convergente. c) Soit x R , | x | > R . Ceci implique que | x | < I et donc la série X | a n x n | diverge. 25 M r A  N  -E  .
e,rgveoncxnanXd
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e
M r A  N  -E  .
m
Preuve. a) Posons = lim a n a + n 1 En utilisant le critère de d’Alembert on a : n −→∞   n l i m a n + a 1 n xx nn + 1 = n l i m a n + 1 | x | = | x | . Ceci implique : a n α ) | x | < 1 | x | <1 = la série est absolument convergente β ) | x | > 1 | x | > 1 = la série est divergente D’après la remarque (2.2.1), R = 1. b) Posons = n l i m n p | a n | . En utilisant le critère de Cauchy : lim n p | a n x n | = | x | n −→∞ puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on aboutit à la même conclusion ; R = 1 . Exemple 2.2.1
m
2.2.1 Détermination du rayon de convergence Lemme 2.2.1 (Lemme d’Hadamard) Soit X a n x n une série entière. Le rayon de convergence R est donné par la relation : 1 R = n l i m aa nn + 1 = lim n p | a n | n −→∞
elelsèrpadlasé1.1),(2.Abeltsba1neaXxnirenvcogeerlusontmextuo,R1petntruoR<|x1|<|vériantx||1IO.|xteodcntnoMsnoreuqnxXadinrgvePoe.ruecalo,rniaosnneparlabsurde.Siveon)cntpoteenrg.r|x|runxnestnormalemetnd(noacsblo-uemurPouttoR+rlqte<reual,RirésaXealanserudnrirteie.4.séridelaturesaceltseR=|x|.3.euepnnùoxoeuutdo2.|.|xR>evgrneetdiverge=XanxnaXnxnx|.1=R<|enumontctaesolbsétcaract:rapésireriséneesnnxXavnreedocdeuegcn2.2.rqueayon1LereirénaX.nxameRnvcogeeredncaselseatppleréyanoedonvergeoR+{+}crnn||aX+:Rnrpus=RerbmoneL1.2on2.niti.Dé<|x|x||1es<RtoèhhpynaioclverantctditseiocneeIIcect|R=suprement|x1céseasrianlarons
1. X x n !. n n = 0 On a a n = n 1!,utilisonslecritèredeDAlembert: lim a n + 1 = lim ( nn + !1)! = n l i m n + 11 = 0, donc le rayon de convergence est n −→∞ a n n −→ R = . La série est absolument convergente pour tout x R . x n 2. X n 2 . n = 1 2 On a n l i m aa nn + 1 = n l i m n + n 1 = 1. Le rayon de convergence est R = 1. La série est absolument convergente pour tout | x | < 1 et divergente si | x | > 1. x n . X 2 n 3 . n = 0 Le critère de Cauchy donne : n l i m n r 21 n = 12,lerayondeconvergenceest R = 2. La série est absolument convergente pour tout | x | < 2 et divergente si | x | > 2. Remarque 2.2.2 Soit φ une application de N dans N , la série suivante X a n x ϕ ( n ) est une série entière. On commence par calculer directement la limite suivante ; ( n + 1) = lim a n + 1 x ϕ ( n ) = lim a n + 1 n l i m | x | ϕ ( n + 1) ϕ ( n ) n −→∞ a n x ϕ n −→∞ a n puis chercher le domaine de x ℓ < 1 ; R est donc sup n R + = R + ∪ {∞} o , où notre série converge. Exemple : Trouver le rayon de convergence de la série : X 3 n x 2 n + 5 Dans notre cas ϕ ( n ) = 2 n + 5,
3 n + 1 x 2 n + 7 = n l i m 3 n x 2 n + 5 = 3 | x | 2 La série converge si 3 | x | 2 < 1 | x | < 33doùlerayondeconvergenceest: R = 33. La série est absolument convergente pour tout | x | < 33etdivergentesi | x | > 33.
2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 27 M r A  N  -E  .
2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit X a n x n une série entière de rayon de convergence R et soit f :] R R [ 7R la fonction définie par f ( x ) = X a n x n , f est alors continue. n = 0 Preuve. Soit 0 < r < R . Pour tout n N , les fonctions f n ( x ) = a n x n sont continues dans [ R R ] et puisque la convergence est normale donc uniforme dans [ r r ], f est alors continue dans [ r r ] pour tout r , 0 < r < R . Elle est donc continue dans ] R R [.
2.3.2 Dérivée d’une série entière Définition 2.3.1 Une fonction f : R 7R est dite dérivable en x 0 R si lim f ( xx ) xf ( x 0 )existe.Onlanote f ( x 0 ). x −→ x 0 0 Définition 2.3.2 Une fonction f est dite de classe C n sur un intervalle I de R , si sa dérivée d’ordre n est une fonction continue sur I. On notera alors que f C n ( I ) . Si elle est indéfiniment (ou infiniment) dérivable, on dira alors qu’elle est de classe C-infinie et on écrira que f C ( I ) . Par contre f C 0 ( I ) , signifie que f est seulement continue sur I. Proposition 2.3.2 Soit X a n x n une série entière de rayon de convergence R, et soit f :] R R [ 7R la fonction définie par f ( x ) = X a n x n . Alors f est dérivable et n = 0 on a f ( x ) = X na n x n 1 . n = 1 Preuve. n Soient les fonctions S n :] R R [ 7R définies par S n ( x ) = X a k x k . Ces fonctions k = 0 possèdent les propriétés suivantes : i) lim a con . n −→∞ S n ( x ) = f ( x ) pour tout x ] R R [ et l vergence est absolue donc simple n ii) n N , S n est dérivable et on a S n ( x ) = X ka k x k 1 . k = 1 iii) Le rayon de convergence de X na n x n 1 est R car n l im( n + 1) a n + 1 lim aa nn + 1 = = →∞ na n n −→∞ 1 R . La suite ( S n ) n est uniformément convergente dans [ r r ]. f est dérivable et on a f ( x ) = n l i m S n ( x ) = X na n x n 1 x [ r r ] et r ]0 R [. n = 1 Donc f ( x ) = n l i m S n ( x ) = X na n x n 1 x ] R R [. n = 1 M r A  N  -E  .
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