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CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES
1.1 Généralités Définition 1.1.1 Soit ( u n ) une suite de nombres réels, on pose : n S n = u 0 + u 1 +    + u n = X u k k = 0 Etudier la série de terme général u n , c’est étudier la suite ( S n ) . ( S n ) est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général u n est no e X u n . X u n ou n 0 1.1.1 Convergence Définition 1.1.2 Une série de terme général u n est dite convergente si la suite ( S n ) est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite ( S n ) est appelée somme de la série et on note : + n l i + m S n = X u n n = 0 Une série qui n’est pas convergente est dite divergente. En d’autres termes, si on note = lim S n on a alors : n +   n X u n converge vers ⇐⇒ n li + m S n = ε > 0 N N : n N ( n N = ⇒ | S n | < ε ) ε > 0 N N : n N n N = X n u n ℓ < ε . k = 0 1
Exemple 1.1.1 1) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la forme u n = a q n , a , 0 . Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante : S = n = au 1 0 + qu n + 11 +    + u n = 1 a + a q + a q 2 +    + a q n = a (1 + q + q 2 +    + q n ) si q , a ( n 1 + 1 q ) si q = 1 On remarque ainsi que lim S n existe si et seulement si | q | < 1 . Dans ce cas la séri éomé n + e g trique + 1 a q n = a = a converge et on a n X = 0 1 q 1 q. 2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme u n = 1 noùn N . Montrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy. En e et ons S 1 1 1 , pos n = 1 + 2 +    + n Alors S 2 n S = 11 + 1 1 + n + 11 +    + 21 n 11 + 21 +    + 1 n n 2 +    + n 1 1 1 + = n + 1 + n + 2    + 2 n. Or pour tout p N 1 p n, on n + 1 p + n 2 n et par suite : 1 1 1 + n 2 n = 1 2 n. n + 2 n = 1 1 2 + n n + 2 2 n.      1 1 2 n 2 n = 2 2 n. n Par conséquent S 2 n S n n 21 = 21 . La suite ( S n ) n n’est pas de Cauchy, donc divergente. n + De plus, ( S n ) n est strictement croissante, on déduit alors que X n 1 = + . n = 1 3) Soit la série de terme général u n = n ( n 1 + 1) avec n 1 . On peut écrire après décomposition en éléments simples que : u n = n 1 n + 11 . D’ ù S n = 1 12 + 12 13 +    + n 1 1 1 n + n 1 n 1 + 1 = 1 n + 11 o + 1 Comme X aut 1. n = 1 n ( n + 1) = n l i + m S n = 1 , notre série est convergente et v Remarque 1.1.1 (Cas complexe) n Si le terme général u n est complexe u n = a n + ib n ; la somme partielle est S n = X u k k = 0 n n n = X ( a n + ib n ) = X a k + i X b k . Alors on a le résultat suivant : k = 0 k = 0 k = 0 X u n converge ⇐⇒ X a n et X b n sont convergentes. M r A  N  -E  .
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+ + + Alors dans ce cas là on a le résultat : X u n = X a n + i X b n . n = 0 n = 0 n = 0 Proposition 1.1.1 Soient X u n et X v n deux séries, on suppose que ces deux séries ne di èrent que par un nombre fini de termes (i.e il existe p N tel que pour tout n p on a u n = v n ) alors les deux séries sont de même nature. Preuve. Soit n p , posons : n p n n S n = X u k = X u k + X u k = S p + X u k . k = 0 k = 0 k = p + 1 k = p + 1 n p n n T n = X v k = X v k + X v k = T p + X v k . k = 0 k = 0 k = p + 1 k = p + 1 La di érence S n T n = S p T p = c ; c étant étant une constante indépendante de n et p alors : X u n converge ⇐⇒ ( S n ) converge ⇐⇒ ( T n ) converge ⇐⇒ X v n converge. Remarque 1.1.2 La proposition (1.1.1) permet de dire que les séries sont de même nature mais en cas de convergence, elles n’ont pas nécessairement la même somme. Corollaire 1.1.1 On ne change pas la nature d’une série X u n si on lui rajoute ou on lui retranche un nombre fini de termes. Proposition 1.1.2 Soit X u n une série convergente alors n li + m u n = 0 . La réciproque est fausse. Preuve. + 1) Posons = X u n = lim S n = n li + m S n 1 . n + n = 0 S n S n 1 = ( u 0 + u 1 +    + u n 1 + u n ) ( u 0 + u 1 +    + u n 1 ) = u n et lim ( S n S n 1 ) = n + lim u n = lim S n lim S n 1 = 0. n + n + n + 2) La série harmonique X 1 n est divergente bien qu’elle vérifie n l i + m 1 n = 0. Remarque 1.1.3 La proposition (1.1.2) est utile sous sa forme contraposée n l i + m u n , 0 = X u n diverge. On dira que la série est grossièrement divergente. Proposition 1.1.3 Soient X u n et X v n deux séries convergentes respectivement vers u et v. Alors 3 M r A  N  -E  .
etonentevergtcon)n+=nuv+=n(0+aXas.L1se)nv+nu(XeiréeslliertpaesmmsoyhcuaCedtsen)nS(àdirientarev.Celéiétorrpelpsqeeusoeséqntuissntva1:seuX.aviutnelauchy.2.nestdeCedaCcuyhS()nentsα=ku0=kXsraptenSmnliteuilin=T+(Sαnm+ilnm)nα=n=αu+Sniti.Dé.1no(3.1tirCderèaueCy)chesUnieérXnuetsidetedaCuchysilasuitedes0=kvn+kX0=kun=kX+vk)0(uknXk=0wk=nS(+nmil=nW+mnlisiin.ATnn+=Su=v+2.S)min+nTn+Sn+l+Tn)=limtα0=nα=kkt0=kXn=Tnn.Xk=nttoiαun=.2.P=u+voutαourtu0+nX=n0=nv+nXveontcesetteenrgrésal,RnuαXei+Xn=0un=αuPreuno+aX=n(0uα)nα=Onn.raaun=:Wk=nX1.evioS)=nwtv+nu
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M r A  N  -E  .
.ontceshyteenrgvepmeluoocaCcuexedesérToutelleieréporPtiso1noi4.1.<εpkXq=1+kupqN=NqpN:N>0ε.5ε<=0ukqXk=0ukpkX=qNppN:Nq0>εNε<|q.4.N=|SpSqNpqNN:p3..>ε0
1.2 Séries à termes positifs Définition 1.2.1 Une série X u n est dite série à termes positifs si u n 0 pour tout n N . Remarque 1.2.1 1. Les séries X u n vérifiant u n 0 pour n n 0 sont aussi appelées séries à termes positifs (voir corollaire (1.1.1)) car la nature d’une série ne change pas si on lui retranche un nombre fini de termes. 2. Si une série X u n est à termes positifs, la suite des sommes partielles ( S n ) est croissante. En e et, S n S n 1 = u n 0 ; d’où la proposition : Proposition 1.2.1 Soit X u n une série à termes positifs. X u n converge ⇐⇒ ( S n ) est majorée. Preuve. Il su t d’appliquer la remarque (1.2.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.2.1 (Règle de comparaison) Soient X u n et X v n deux séries à termes positifs. On suppose que 0 u n v n pour tout n N . Alors : 1. X v n converge = X u n converge. 2. X u n diverge = X v n diverge. Preuve. n n 1) u n v n = S n = X u n X v k = T n . Puisque ( T n ) est une suite convergente k = 0 k = 0 donc majorée alors ( S n ) est convergente comme étant une suite croissante et majorée, X u n converge. 2) C’est la contraposée de la première proposition. Ce théorème reste vrai si l’inégalité 0 u n v n est réalisée à partir d’une certain ordre p 0 , c’est à dire u n v n si n p 0 . Exemple 1.2.1 + X sin n ; on a 0 sin 1 n 21 n et n = 0 21 comme X 21 n est une série géométrique Soit la série 2 de raison 1 / 2, donc convergente, alors la série X sin 21 n  est convergente. Théorème 1.2.2 (Règle de comparaison logarithmique) Soit X u n et X v n deux séries à termes strictement positifs. On suppose que u n + 1 v n + 1 . Alors u n v n 5
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1. X v n converge = X u n converge. 2. X u n diverge = X v n diverge. Preuve. u v 1 n + 1 ) u n v nn + 1 ⇐⇒ vu nn ++ 11 vu nn . vu nn ++ 11 uv nn uv nn 11 ≤    ≤ uv 00 . Ceci implique que u n vu 00 v n . Sachant que X v n converge alors X vu 00 v n converge et d’après le théorème de comparaison ci-dessus, X u n converge. 2) C’est la contraposée de la première proposition. Théorème 1.2.3 (Critère d’équivalence) Soient X u n et X v n deux séries à termes strictement positifs. u n u On suppose q e n l i + m v n = , , 0 et , + . Alors les deux séries sont de même nature. Preuve. En e et : n li + m uv nn = ⇐⇒ ε > 0 N N : n N ( n N = vu nn < ε ) . Pour un ε tel que 0 < ε < ℓ on a alors ε < u n < ℓ + ε pour tout n N . On a aussi v n ( ε ) v n < u n < ( + ε ) v n pour tout n N . 1) Si X v n converge alors X ( + ε ) v n converge et par suite grâce au théorème de comparaison (1.2.1), X ( u n ) converge. 2) Si X u n converge alors X ( ε ) v n converge et donc X v n converge. Exercice Que se passe-t-il si = 0 ou = + ?(On a des implications mais pas des équivalences.) Exemple 1.2.2 Soient les séries X u n et X v n tels que u n = Log 1 + 21 n et v n = 21 O a lim u n = 1 . n nn + v n et comme X v n est convergente alors, série géométrique de raison 1 2 < 1; X u n l’est aussi. Exemple 1.2.3 Soient les séries X u n et X v n tels que u n = n 1 et v n = Log 1 + n 1 . On a n li + m uv nn = 1 . La première série étant la série harmonique qui est divergente, donc il en est de même de la seconde. Remarque 1.2.2 On remarque ici qu’on peut facilement démontrer la divergence de X v n . M r A  N  -E  . 6
En e et on a : 1 S n = k = X n v n = Log 1 + 1 + Log 1 + 21 + Log 1 + 31 +    + Log 1 k = 1 + n 1 1 + Log 1 + 1 n = Log 21 + Log 23 + Log 24 +    + Log n n 1 + Log nn + 1 = (log 2 Log 1) + (log 3 Log 2) + (log 4 Log 3) +    + (log n Log( n 1)) + (log( n + 1) Log n )) = Log( n + 1) Log 1 = Log( n + 1) Comme lim S n = lim L considérée est diver e n + n + og( n + 1) = + , on en conclut que la série g nte, il en est donc de même de la série harmonique. Ceci est une autre démonstration de la divergence de la série harmonique, on verra une troisième démonstration di érente, voir exemple (1.2.4). Théorème 1.2.4 (Comparaison avec une intégrale) Soit f : [1 + [ −→ R + une application continue, décroissante et positive. On pose u n = f ( n ) pour n N . Alors X u n converge ⇐⇒ Z + f ( x ) dx existe 1 Preuve. Remarquons tout d’abord la chose suivante : ( x [ n n + 1] ⇐⇒ n x n + 1) et comme f est décroissante u n + 1 = f ( n + 1) f ( x ) f ( n ) = u n . En intégrant membre à membre on obtient n + 1 Z u n + 1 dx Z nn + 1 f ( x ) dx Z nn + 1 u n dx ou encore u n + 1 Z nn + 1 f ( x ) dx u n . n n n 1 Z k + 1 n En sommant membre à membre, on obtient X u k + 1 k X = k f ( x ) dx X u k . k = 1 k = 1 Finalement on aboutit à : n + 1 Z 1 S n + 1 u 1 f ( x ) dx S n ( ) Démonstration du théorème : n 1) Si X u n converge alors S n = X u k est majorée. Cela veut dire qu’il existe M > 0 k = 1 tel que pour tout n N , S n M . D’après la remarque ( ) ci-dessous, Z n + 1 f ( x ) dx S n M . 1 Soit t R + . Posons n = [ t ] la partie entière de t ; [ Z 1 t f ( x ) dx Z 1 t ] + 1 f ( x ) dx = Z n + 1 f ( x ) dx S n M . 1 n obtient Z 1 + On passe à la limite quand t + ( = n + ), o f ( x ) dx M . Ce qui se traduit par l’existence de l’intégrale Z 1 + f ( x ) dx . 2) Inver Z 1 + f ( x ) dx existe. De la relation ( ) on sement, on suppose que l’intégrale déduit que 7
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