cours-Ana-L2-2009

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Extrait

LICENCE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ANNÉE
Unité d’enseignement LCMA 4U11
ANALYSE 3
Françoise GEANDIER
Université Henri Poincaré Nancy I
Département de Mathématiques.Table des matières
I Séries numériques 1
1. Séries - Somme d’une série.
2. Séries absolument convergentes.
3. Séries à termes positifs.
4. Séries semi-convergentes.
II Suites et séries de fonctions 21
1. Convergence simple.
2. Convergence uniforme.
3. Propriétés des limites uniformes de suites de fonctions.
4. Séries de fonctions.
5. Propriétés des sommes de séries de fonctions.
III Séries entières 35
1. Séries entières - Rayon de convergence.
2. Opérations sur les séries entières.
3. Convergence uniforme - Propriétés des sommes de séries entières.
4. Fonctions développables en série entière.
5. Développements en série entière des fonctions usuelles.
6. Exponentielle complexe.
7. Résolution d’équations différentielles.
IV Séries de Fourier 59
1. Fonctions périodiques.
2. Séries trigonométriques.
3. Séries de Fourier.V Intégrales généralisées 75
1. Rappels sur les intégrales de Riemann.
2. Intégrales convergentes.
3. Intégrale généralisée d’une fonction positive.
4. Critère de Cauchy.
5. Intégrales absolument convergentes.
6. Intégrales semi-convergentes.
7. Comparaison série-intégrale.
8. Suites d’intégrales généralisées.
VI Intégrales dépendant d’un paramètre 95
1. Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre.
2. Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre.I SÉRIES NUMÉRIQUES
1. Séries - Somme d’une série
1.1 Définitions et proposition
On considère n éléments u ,u , ,u d’un K-espace vectoriel E; on notera1 2 n
nX
u +u ++u = u .1 2 n k
k=1
L’indice k est appelé indice de sommation et peut être remplacé par une autre lettre
(autre que u et n) : il s’agit d’un indice dit “muet”.
On a la propriété de linéarité suivante : si u ,u , ,u ,v ,v , ,v sont des éléments1 2 n 1 2 n
de E et λ et μ des scalaires, on a
n n nX X X
(λu +μv ) =λ u +μ v .k k k k
k=1 k=1 k=1
D’autre part, on peut faire une “translation d’indices” dans une somme, i.e, si a est un
entier, en posant p =k +a, on a :
n n−aX X
u = u .p k+a
p=1 k=1−a
1.2 Définitions
Soit (u ) une suite de nombres réels ou complexes. On peut alors définir une autren n∈N
suite à partir de la suite (u ) en posant pour tout entier n∈Nn n∈N
nX
S = u .n k
k=0 P
Onappellesérienumériquedetermegénéralu etonnote u lecouple((u ) ,(S ) ).n n n n∈N n n∈NP
Le nombre S est appelé somme partielle d’ordre n de la série u et la suite (S )n n n n∈NP
est appelée suite des sommes partielles de la série u .n
1.3 Définition
Si une suite (u ) de nombres réels ou complexes n’est définie qu’à partir du rang n , onn 0
nX
peut considérer pour tout n≥ n la somme partielle S = u et définir ainsi la série0 n k
k=n0X
((u ) ,(Sn) ) que l’on notera u .n n≥n n≥n n0 0
n≥n0 XP
Réciproquement, à la série u et à l’entier n , on peut associer la série u , diten 0 n
n≥n0P
série déduite de u par troncature au rang n .n 0
16
1.4 DéfinitionsP P
Soit u une série à termes réels ou complexes. On dit que la série u converge si lan n
nX
suite des sommes partielles S = u converge, et qu’elle diverge si la suite des sommesn k
k=0
partielles diverge.P
Lorsque la série u converge, on appelle somme de la série la limite de la suite desn
sommes partielles et on note
n +∞X X
lim S = lim u = u .n k k
n→+∞ n→+∞
k=0 k=0
P
Lorsque la série u converge, on appelle reste d’ordre n de la série le nombren
+∞ n +∞X X X
R = u − u = un k k k
k=0 k=0 k=n+1
qui converge alors vers 0.
On dit que deux séries sont de même nature lorsqu’elles convergent toutes les deux ou
lorsqu’elles divergent toutes les deux. Une série et sa série déduite par troncature sont
ainsi de même nature; toutefois elles n’ont pas la même somme.
1.5 Exemples P
na)Soita∈C;lasérie a ,appeléesériegéométriquederaisona,convergesietseulement
si|a|< 1 et dans ce cas
+∞X 1
na = .
1−a
n=0
n n+1X 1−akEn effet S = a = si a = 1 et S =n+1 si a = 1, d’où le résultat.n n
1−a
k=0X 1
b) La série , appelée série harmonique, diverge; en effet :
n
n≥1 Z
k+11 1 1 1
si k ≥ 1, pour tout x ∈ [k,k + 1] on a ≤ , d’où dx ≤ . En sommant ces
x k x kk
inégalités on obtient alors
Zn nk+1X X1 1
dx≤
x kkk=1 k=1
or Z Zn k+1 n+1X 1 1
dx = dx = ln(n+1)
x xk 1k=1
d’où
nX 1
ln(n+1)≤ .
k
k=1
2nX 1
On en déduit que la suite des sommes partielles tend vers +∞ et ainsi la série
k
k=1
harmonique diverge.
nn kX X(−1) (−1)
c) La série √ converge, en effet si S = √ , on an
n k
n≥1 k=1
1 1 1 1
S −S = √ −√ < 0 et S −S =−√ +√ > 0.2n+2 2n 2n+1 2n−1
2n+2 2n+1 2n+1 2n
De plus
1
S −S =−√2n+1 2n
2n+1
on en déduit que la suite (S ) est décroissante, la suite (S ) est croissante et2n n≥1 2n+1 n≥1
la suite (S − S ) converge vers 0 : les suites (S ) et (S ) sont donc2n+1 2n n≥1 2n n≥1 2n+1 n≥1
adjacentes et par conséquent convergent vers la même limite l, donc la suite (S )n n≥1
nX (−1)
converge aussi vers l, i.e la série √ converge.
n
n≥1
1.6 Procédé télescopique
Soit (v ) une suite à termes réels ou complexes et considérons u =v −v . La sérien n∈N n n+1 nP
u converge si et seulement si la suite (v ) converge et dans ce cas on an n n∈N
+∞X
u = lim v −v .n n 0
n→+∞
n=0
Preuve :
n nX X
En effet, on a u = (v −v ) =v −v d’où le résultat.k k+1 k n+1 0
k=0 k=0

1.7 ExemplesX 1 1 1 1
a) La série converge; en effet, on a pour tout n≥ 1, = − .
n(n+1) n(n+1) n n+1
n≥1 X 1
b) La série ln 1+ diverge; en effet, on a pour tout n≥ 1
n
n≥1
1 n+1
ln 1+ = ln = ln(n+1)−ln(n).
n n
1.8 PropositionP
Si la série u converge, alors son terme général u tend vers 0.n n
Preuve :
3nXP
En effet, si la série u converge, la suite des sommes partielles S = u convergen n k
k=0
vers une limite finie S; alors on a
u =S −S −→ S−S = 0.n n n−1

Remarque Cette condition nécessaire de convergence d’une série n’est pas suffisante : en
1
effet, la série harmonique diverge alors que son terme général tend vers 0.
n
1.9 Proposition P P
Considérons deux séries à termes réels ou complexes u et v et λ∈R ouC.n nP P P
a) Si les séries u et v convergent, alors la série (u +v ) converge et on an n n n
+∞ +∞ +∞X X X
(u +v ) = u + v .n n n n
n=0 n=0 n=0 P
Si l’une des deux séries converge et l’autre diverge, la série (u +v ) diverge.n nP P P
b) Les deux séries u et (λu ) sont de même nature et si u converge, alors on an n n
+∞ +∞X X
(λu ) =λ u .n n
n=0 n=0
Preuve : découle immédiatement des propriétés des limites de suites.

P P P
Remarque On ne peut rien dire de la série (u +v ) si les deux séries u et vn n n n X X1 1
divergent. En effet les deux séries et − divergent alors que la série somme
n n
n≥1 n≥1 X 1 1
est la série nulle donc converge; par contre, la série + diverge.
n n
n≥1
1.10 PropositionP P
Soit u une série à termes réels ou complexes; on suppose que les séries u etn 2nP P
u convergent alors la série u converge et on a2n+1 n
+∞ +∞ +∞X X X
u = u + u .n 2n 2n+1
n=0 n=0 n=0
Preuve :
nX
Notons S = u , alors on a :n k
k=0
42n n n−1X X X
∀n∈N, S = u = u + u2n k 2p 2p+1
p=0 p=0k=0
et
2n+1 n nX X X
∀n∈N, S = u = u + u2n+1 k 2p 2p+1
k=0 p=0 p=0
nXP P
or les séries u et u convergent donc T = u a une limite finie L et2n 2n+1 n 2p
p=0
nX
′V = u a une limite finie L ; on en déduit quen 2p+1
p=0
′lim S = lim (T +V ) =L+L2n n n−1
n→+∞ n→+∞
et
′lim S = lim (T +V ) =L+L.2n+1 n n
n→+∞ n→+∞
Comme l’ensemble des nombres pairs et l’ensemble des nombres impairs forment une
partition deN, on en déduit que
′lim S =L+Ln
n→+∞P
donc la série u converge et on an
+∞ +∞ +∞X X X
u = u + u .n 2n 2n+1
n=0 n=0 n=0

2. Séries absolument convergentes
2.1 Critère de CauchyP P
Soit u une série à termes réels ou complexes; la série u converge si et seulementn n
si