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Universit´e Claude Bernard Lyon 1Ann´ee universitaire 2007-2008Pr´eparation au CAPES deMath´ematiquesProbabilit´esF. Bienvenue-Duheille¨Chapitre 1Probabilit´es1 Mesure1.1 D´efinitionsOn se place sur un ensemble Ω appel´eespace de probabilit´e que l’on muni d’une tribu Σ.D´efinition 1.1 Une tribu Σ est un sous-ensemble de P(Ω) tel que– ∅∈ Σ,– Si A∈ Σ, Ω\A∈ Σ,– Si les (A ) sont des ´el´ements de Σ, alors ∪ A ∈ Σ.n n≥1 n≥1 nEn th´eorie de la mesure, un sous-ensemble A∈ Σ est dit mesurable.En probabilit´e, un ´el´ement ω de Ω est appel´e une exp´erience et un sous-ensemble A de Ωappartenant `a Σ, un ´ev´enement.En pratique, lorsque Ω est fini ou d´enombrable la tribu utilis´ee sera (presque) toujours latribu P(Ω). Si Ω est R (ou un intervalle de R), la tribu utilis´ee sera le plus souvent la tribubor´elienne B(R), c’est-`a-dire la plus petite tribu (au sens de l’inclusion des tribus) contenant(au choix) : les intervalles, les ouverts ou les ferm´es.Une fonction h : Ω→R sera dite (Σ,B(R)-mesurable si, pour tout B ∈B(R), on a−1h (B) ={ω∈ Ω,h(ω)∈B} ={h∈B}∈ Σ.Une fonction bor´elienne h :R→R est une fonction (B(R),B(R))-mesurable.D´efinition 1.2 Une mesure de probabilit´e P est une fonction d´efinie sur la tribu Σ et a`valeurs dans [0,1] v´erifiant les propri´et´es suivantes :1. P(Ω) = 1.2. Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de Ω et appartenant `a Σ P(A∪ B) =P(A)+P(B).3. Si (A ) est une famille d´enombrables de sous-ensembles de Ω deux `a deux ...

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Extrait

Universit´eClaudeBernardLyon1 Anne´euniversitaire2007-2008

Pre´parationauCAPES Mathe´matiques

Probabilit´es

de

F.Bienvenu ¨ e-Duheille

Chapitre 1

Probabilite´s

1 Mesure 1.1De´finitions OnseplacesurunensembleΩappele´capseet´libibaroepedque l’on muni d’une tribu Σ. D´efinition1.1Une tribuΣest un sous-ensemble deP(Ω)tel que –∅ ∈Σ, – SiA∈Σ,Ω\A∈Σ, – Si les(A n ) n≥1 menee´´lstedtdessonΣ, alors∪ n≥1 A n ∈Σ. Enth´eoriedelamesure,unsous-ensembleA∈Σ est dit mesurable. Enprobabilite´,un´ele´mentωdeen´luepaepeΩtsxeeiencp´eret un sous-ensembleAde Ω appartenant`aΣ,unmeneeev´nt. ´ Enpratique,lorsqueΩestfinioud´enombrablelatribuutilise´esera(presque)toujoursla tribuP(Ω). Si Ω estR(ou un intervalle deResee´silituubirttlenuvsousplleratairub),la bor´elienneB(Rnetnoc)stnaonsiluncburistdetepstetileriulpasden’ielburius(aest-`a-d),c’ (auchoix):lesintervalles,lesouvertsoulesferm´es. Une fonctionh: Ω→Rsera dite (Σ,B(R)-mesurable si, pour toutB∈ B(R), on a h −1 (B) ={ω∈Ω, h(ω)∈B}={h∈B} ∈Σ. Unefonctionbore´lienneh:R→Rest une fonction (B(R),B(R))-mesurable. D´efinition1.2UnePredeprobabilimte´seuestunefe´nfieiusnotcoidnatrlburiΣt`ea valeurs dans[0,1]pri´sprontlerifiase:avtnssiutee´e´v 1.P(Ω) = 1. 2. SiAetBsont deux sous-ensembles disjoints deΩaetappartenant`ΣP(A∪B) = P(A) +P(B). 3. Si(A n ) n≥1 afimutene´onlldeblesmbraus-edesoselbmesnedesΩ`xuedisxdeuad,tsinjo ppartena t `Σ, on a n a a P  [ A n  = X P(A n ). n≥1 n

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Ond´eduitdelade´finitiond’unemesuredeprobabilite´que •P(∅) = 0, •siAestun´ev´enement,P(Ω\A) = 1−P(A), •siA⊂Bostned´euxenv´enem,tsP(A)≤P(B), •et siAetBst,menentdesov´enux´eP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B). Onmontrefacilementparr´ecurrenceler´esultatsuivantappele´formuledePoincar´eou formule du crible : Proposition 1.3Soit(A k ) 1≤i≤n nesduenqcoelqutsenmene´ve´Ω. On a P
i= n [ 1 A k ! = i= X n 1 P(A i ) − X P(A i ∩A j ) + 1≤i<j≤n + X P(A i ∩A j ∩A k ) 1≤i<j<k≤n +∙ ∙ ∙+ (−1) n P
i= n \ 1 A i ! .

1.2Probabilit´esdiscr`etes Lamesuredeprobabilite´Pest diteescdietr``eduesqeΩtsnfioi’lseapecrableud´enomb ouplusge´ne´ralement,de`squ’ilexisteunsous-ensembleΩ 0 elneoemtoburda´buΩefinitedlqe P(Ω 0 monedeleselbarburest´limbseenun.1nU=)abibpeorte.eratoujoursdiscr` ´ Uneprobabilite´surunensemblede´nombrableestcomple`tementd´etermin´eeparlesP({ω}) pour toutω∈Ω. En effet, pourA⊂Ω, on aP(A) = P ω∈(A∩Ω 0 ) P(ω)o`uΩ 0 estun´etne´vneme de´nombrableetdeprobabilite´1. Remarques : –Lespoidsd’uneprobabilit´ediscre`tev´erifient P ω∈Ω P(ω) = 1. –Unemesuredeprobabilite´nepermetd’´evalueraprioriquelatailledesous-ensemblesde Ω. Des exemples •nupere’daLcnbr´euilie´eqi`ecedru’enipdtlunaec`ecesansetia´domno:huosesr´tauliselleer tricherie. Pour cela, on choisit Ω 1 ={pile,face}, et donccardΩ 1 = 2. L’ensemble des parties de Ω 1 menee´´ltaeretuqmporcoilibaborpederuseamtlniefid´onetts´tePparP{pile}=P{face}= 1/demˆdirerobaemepsec(ablb`--ae’ts)e´tilib..2puisqutsenntsoqu´eroipselexued´ve´mene Remarque :sioirΩenbichpuurnaOesr`ttai 1 ={pile,face,rouge,vert}, et comme mesure de probabilit´eP{pile}=P{face}= 1/2 etP{rouge}=P{vert}ista0,ma=o,niaer`’fatnuq choisit le plus simple... •Lancer dek`icesep,k≥2 : on prend cette fois-ci Ω k = (Ω 1 ) k c,-a`-tse’enl’redidelembses k-uplets de pile ou face. On acardΩ k = 2 k etcardP(Ω k ) = 2 2 k tnse´erdsffi.eLk-uplets sont touse´quiprobablesdoncP(ω) = 2 −k , pour toutω∈Ω k . 2

•`etePaborilibeut´foniedrmcris: sur un ensemblefiniΩ ={ω 1 , . . . , ω n }prlaitfin´end,o-abo bilite´uniformeparP(ω i ) = 1/npour toutientre 1 etn. Dans ce cas, tous lesω i ˆmalemetno probabilite´deseproduire(i.e.sontpiore´uqseablb), et pour une partieAde Ω, on a Anb cas favorabl (A) car n dse bnacpssoislbse . P= = Parexemple,lorsdulancerd’unde´re´guliera`sixfaces,chaquefaceestobtenueaveclameˆme probabilit´e1/6. Remarque :IpenluiinofmrsoevrruiedolˆurpasyaeutbiensN. •e´tirusexpmeledEprobabilmesuredeN ∗ nO.cnal¸cfar´onndeude´e’ua`ujqs´teepee´nirobte un6,etonnotelenume´rodutiragedupremier6.Ona´evidemmentP(1) = 1/6. Ona´egalement P(2) =P)n6de6;aseuuxi`auderigameteeauu,enoau(emprtreigarino,epa’n 5 = 36 carsurles36tiragespossiblese´quiprobables,seuls5permettentd’obtenirlepremier6au deuxi`emetirage. Demeˆme,pourtoutk≥2, P(k) =P(k−=ite)eussner´iuuscepse´hc1  5 6  k−1 1 6 . Celaconstituebienunemesuredeprobabilit´ediscre`tesurN ∗ puisque P k≥1 P(k) = 1. Attention :tie´balialrpvacedrecnfonprobetteocsapeNitere´edlitibobanttemeexacrun6 parmi leskpremiers lancers.

1.3Probabilite´a`densite´ On se place surRet on notedxle´’eme´lraegontid’ntt´inmesudelaLeberedeS.iogseut f:R→R’int´egralesurnuioctonefivitosnple´rob,edteenneiRlecide´gela`e1aI.eltsaf v´erifierquel’onde´finitunemesureµenli´eortbourtoup,tnasopneA: µ( = Z R A)1 A (x)f(x)dx. Unetellemesureestditea`densit´e(parrapport`alamesuredeLebesguesurR). On dit ´galementquec’estuneprobabilite´continue.Latribuutilis´eesurRsera (presque) toujours l e a tribubor´elienne. Des exemples •La mesure uniforme sur l’intervalle [a, b],o`ua < binfiet:Ond´ µ(A) = Z R 1 A∩[a,b] (x) d a x b . − •La mesure de Gauss surR. On utilise ici la fonction f(x) = √ 2 1 πσ exp  (x 2 − σ 2 m) 2  , o`um∈Retσ∈R +∗ ar`mteertnedxuapsoxsfi.es ´ 3