cours-Chap1-Nature et écriture des nombres

Olivier

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Seconde Chap 1 : Nature et écriture des nombres 1. Les ensembles de nombres. Les nombres entiers. Parmi les entiers, on distingue les entiers naturels : 0, 1, 2, ..., 49, ... et les entiers relatifs : – 10, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ... L'ensemble des entiers naturels est noté IN, celui des entiers relatifs est noté ZZ. Les nombres rationnels. définition aUn rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme où a et b (b ý 0) bsont des entiers relatifs. L'ensemble des nombres rationnels est noté IQ. 3 2Exemples : est un rationnel ; n’est pas un rationnel car la fraction ne 2 548peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs. est un rationnel 34 3car la fraction est égale à = 4 qui est bien un rationnel. 3 Théorème 1 Un nombre rationnel admet une écriture unique sous forme de fraction irréductible. définition Parmi les nombres rationnels, on distingue les nombres décimaux : ce sont les arationnels qui peuvent s'écrire sous la forme où a est un entier relatif n10et n un entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté Ì. Exemple : 2789542, 78954 est un nombre décimal car il s’écrit 51027 27 9 · 3 3 6 est un nombre décimal car = = = 45 45 9 · 5 5 10 Théorème 2 Si un nombre est décimal, alors son écriture sous la forme d'une fraction p qirréductible a un dénominateur de la forme 2 · 5 où p et q sont des entiers naturels. 255 3 · 5 · 17 3 · 17 51Exemple : 2, 55 = = ...

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Seconde Chap 1 : Nature et écriture des nombres 1. Lesensembles de nombres. Les nombres entiers. Parmi les entiers, on distingue les entiers naturels : 0, 1, 2, ..., 49, ... et les entiers relatifs : – 10, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ... IN L'ensemble des entiers naturels est noté, celui des entiers relatifs est noté Z . Les nombres rationnels. définition a Un rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la formeoù a et b (b ý 0) b sont des entiers relatifs. L'ensembledesnombresrationnelsestnotéQI. 3 2 Exemples: estn’est pas un rationnel car la fraction neun rationnel ; 2 5 48 peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.est un rationnel 3 43 car la fraction est égale à= 4 qui est bien un rationnel. 3  Théorème1 Un nombre rationnel admet une écriture unique sous forme de fraction irréductible.  définition Parmi les nombres rationnels, on distingue les nombres décimaux : ce sont les a rationnels qui peuvent s'écrire sous la formeoù a est un entier relatif n 10 et n un entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté Ì. Exemple: 278954 2, 78954 est un nombre décimal car il s’écrit 5 10 ´ 27 279 3 36 est un nombre décimal car= == ´ 45 459 5 5 10  Théorème2 Si un nombre est décimal, alors son écriture sous la forme d'une fraction p q ´ irréductible a un dénominateur de la forme25 oùp et q sont des entiers naturels. ´ ´´ 255 3 5 17 3 1751 Exemple : 2, 55 == 2 2 = 2 = 2 ´ ´´ 100 25 2 52 5  Théorème3 Si un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction irréductible n'a pas p q ´ un dénominateur de la forme25, p et q étant des entiers naturels, alors ce nombre n'est pas décimal. BERTAUD MH – Seconde 4 – 30 ex – 06/09/2000page 1

24 2 Exemple: s’écrit. Le dénominateur desous forme de fraction irréductible 180 15 p q ´ ´ la fraction s’écrit 35. Il n’est pas de la forme25, p et q étant des 24 entiers naturels.n’est donc pas décimal. 180  Théorème4 Si un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p q ´ dont le dénominateur est de la forme25où p et q sont des entiers naturels alors ce nombre est décimal. ´ 445 89 589 ple: Exem = 4 = 4 est un nombre décimal. ´ ´ 400 2 5²2 5 Les nombres réels. L'ensemble des réels notéR Y l'ensemble de tous les nombres connus en est p Seconde : il contient tous les rationnels mais aussi des nombres comme, 2qui sont des nombres irrationnels. L'ensemble des réels peut être représenté par une droite graduée. A tout point M de cette droite correspond un nombre réel. Réciproquement, à tout réel correspond un point de la droite. p 144 Exercice 1: Déterminer la nature de chacun des nombres suivants :– , 3 314 (5+ 3)(5– 3) , 400 Exercice 2 :Mettre une croix dans chaque case lorsque le nombre appartient à l'ensemble indiqué. 250 22 p  –3,14 2 100 1000 3 7 Î IN ÎZ Î Ì Î QI Î IR Synthèse. Tous les entiers naturels sont des entiers IR relatifs. Touslesentiersrelatifssontdes QI nombres décimaux. Ì Tous les nombres décimaux sont des rationnels. Tous les rationnels sont des réels. IN On peut illustrer ceci par le schéma suivant : page 2

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2. Calculssur les nombres réels. Calculs sur les fractions ·  siles deux fractions ont le même Exemple :  dénominateur : 53 – = Addition on additionne les : – 4 4 numérateurs;  –on conserve le dénominateur ´ ´ commun. 57 54 73 + =+ = ´ ´  68 64 83 · 20 21 si les dénominateurs sont différents + : 2424  –on se ramène au cas précédent 41  = en réduisant les deux fractions au24 même dénominateur. Exemple : ´ 5 6 –5 6 –15 · Multiplication :  onmultiplie les numérateurs entre ´ – == ´ eux 27 27 7 ·  onmultiplie les dénominateurs entre eux. Exemple: · 5 Division :  onmultiplie la première fraction 2 57 35 par l'inverse de la seconde. ´ = =  82 8 16 7 Calculs sur les racinescarrées.  définition  Soita un nombre POSITIF.  Laracine carréede a, notéea, est le nombrepositifdont le carré est a. Règles de calcul : · ³  Pourtout réel a positif,a 0( a )² = a a² = a · ´´  Pourtous nombres positifs a et b :a b= ab et a a ¹ = (sib 0) b b ¹ ATTENTION !a + ba +b Exemples : ´ ´ 54= 96= 96=3 6 25–16= 9=3 ´ ´ (2 10– 6)²=(2 10)²–22 106+ 6² ´  =410–4 60+6 ´  =46–4 415 ´ ´  =46–4 215  =46–8 15 Calculs sur les puissances.  définition page 4

 Soitnun entier positif non nul etaun nombre quelconque. 1 n–n ´ ´´ ¹ a=a a .....a eta = n  (sia 0) a 0 ¹  sin= 0 etaon pose 0,a= 1 Règles de calcul : aetbsont des nombres non nuls et m et n des entiers positifs ou négatifs. m n ·a´a= m n ·(a)= m a · = n a n ·(ab)= a n ·( )= b Exemples : Nombres et calculatrices. Représentation des nombres dans une calculatrice. L'écran d'une calculatrice ne peut afficher en général plus de 15 caractères. La calculatrice affiche donc quelquefois une valeur approchée du résultat d'un calcul. 10 3 Pour un nombre positif supérieur à10inférieur à ou10, la calculatrice affiche le plus souvent l'écriture d'une valeur approchée du résultat sous la n forme M *10. £M<10 M est un nombre décimal écrit avec 10 chiffre au plus et vérifie 1et n est un nombre entier. Exemple : Organisation d'un calcul à la main ou à la calculatrice. Lors d'un calcul, on effectue dans l'ordre : ·les calculs à l'intérieur de parenthèses (éventuellement sousentendues) ·les puissances, les racines carrées, inverse ... ·les multiplications, divisions dans l'ordre de leur écriture ·les additions, les soustractions dans l'ordre de leur écriture. Nombres premiers. définition Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui–même. page 5

Théorème Tout entier naturel non premier admet une décomposition en un produit de nombres premiers dont certains peuvent être égaux. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Exemple: 347 est–il un nombre premier ? Décomposer 324 en produit de nombres premiers. En déduire que 324 est un carré parfait. ´ ´ Déterminer a et b deux entiers tels que 4556 a=b² Rappel : Critères de divisibilité. Par 2: le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. Par 3: la somme des chiffres est un multiple de 3. Par 5: le dernier chiffre est 0 ou 5. Par 9: la somme des chiffres est un multiple de 9. Par 10: le dernier chiffre est 0.

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