Cours - Courbes parametrees

Informations

• Publié par: Orgie
• Nombre de lectures: 231
• Langue: Français

Extrait

7
7
c Christophe Bertault - MPSI
Courbes paramétrées
¯Dans tout ce chapitre, I,J... sont des intervalles deR. On appellera adhérence de I et on notera I l’intervalle I augmenté
de ses bornes, qui éventuellement ne lui appartiennent pas. Par exemple, [0,1[ = [0,1] et ]0,∞[ = [0,∞].
2Quand on écrira « Soit f = (x,y) : I−→R une application », cela signifiera que f est une fonction définie sur I à valeurs
2dansR donnée avec ses coordonnées, de sorte que : ∀t∈ I, f(t) = x(t),y(t) .
2
1 Vocabulaire relatif aux fonctions à valeurs dans R
2 2 2¯Définition (Limite d’une fonction à valeurs dans R ) Soient f : I−→R une application, a∈ I et ℓ∈R . On dit que f admet ℓ pour limite en a si lim f(t)−ℓ = 0.
t→a
On peut montrer que, si elle existe, la limite de f en a est unique; on la note alors limf ou limf(t).
a t→a
Explication La fonction t→ f(t)−ℓ est définie sur I et à valeurs dans R. La limite « lim f(t)−ℓ = 0 » est
t→a
donc une limite au sens le plus banal du terme. Pour bien comprendre la définition ci-dessus, il convient seulement de savoir que
kf(t)−ℓk représente la distance qui sépare les points f(t) et ℓ : intuitivement, dire que f tend vers ℓ en a revient bien à dire
que cette distance tend vers 0 lorsque t tend vers a.
$$$ Attention ! Cette définition ne prévoit pas le cas des limites±∞ — quel sens aurait la quantité f(t)−ℓ pour
2ℓ =±∞? Mais ce n’est pas très choquant, car de toute façon qu’est-ce donc que l’infini dansR ?
2 2¯Théorème (Limite et coordonnées) Soient f = (x,y) : I−→R une application, a∈ I et ℓ = (ℓ ,ℓ )∈R . Les assertionsx y
suivantes sont équivalentes :
(i) limf = ℓ. (ii) limx = ℓ et limy = ℓ .x y
a a a
En résumé, f tend vers ℓ si et seulement si les coordonnées de f tendent chacune vers les coordonnées de ℓ.
Démonstration q q 2 2 2 (i) =⇒ (ii) Pour tout t∈ I : 06|x(t)−ℓ | = x(t)−ℓ 6 x(t)−ℓ + y(t)−ℓ = f(t)−ℓ .x x x y Or lim f(t)−ℓ = 0 par hypothèse. Le théorème des gendarmes affirme donc que lim|x(t)−ℓ | = 0, i.e.x
t→a t→a
que limx(t) = ℓ . On procède de même pour montrer que limy(t) = ℓ .x y
t→a t→a 2 2
(ii) =⇒ (i) Par hypothèse lim x(t)−ℓx = 0, donc lim x(t)−ℓx = 0. De même, lim y(t)−ℓy = 0. Par
a a a somme et composition avec la fonction racine carrée, on obtient bien lim f(t)−ℓ = 0, i.e. limf = ℓ.
t→a a

sint sint sint−sin0 ′Exemple lim ,t = (1,0) car lim = lim = sin (0) = cos0 = 1 et limt = 0.
t→0 t→0 t→0 t→0t t t−0
2 2Définition (Fonction continue/dérivable à valeurs dans R ) Soit f = (x,y) :I−→R une application.
• Soita∈ I.Ondit quef est continue en a si limf(t) = f(a), cequi revientà direque limx(t) = x(a)et limy(t) = y(a),
t→a t→a t→a
ou encore que x et y sont continues en a.
f(t)−f(a) x(t)−x(a)• Soit a∈ I. On dit que f est dérivable en a si lim existe, ce qui revient à dire que lim et
t→a t→at−a t−a
y(t)−y(a)
lim existent et sont finies, ou encore que x et y sont dérivables en a. On appelle alors nombre dérivé de f en a,
t→a t−a f(t)−f(a)′ ′ ′′noté f (a), le vecteur f (a) = lim = x (a),y (a) .
t→a t−a
• On dit que f est continue sur I (resp. dérivable sur I) si f l’est en tout point de I. Dans le cas des fonctions dérivables,
2I −→ R′l’application f : est appelée la dérivée de f sur I.′t → f (t)
2 2 2L’ensemble des applications de I dansR continues (resp. dérivables) sur I est notéC(I,R ) (resp.D(I,R )).
17
7
7
7
7
7
7
7
c Christophe Bertault - MPSI
2Théorème (La dérivabilité implique la continuité) Soient f : I−→R et a∈ I. Si f est dérivable en a (resp. sur I),
alors f est continue en a (resp. sur I).
′ ′Exemple Les fonctions ~u :θ→ ~u et~v : θ→ ~v sont dérivables surR et ~u =~v et~v =−~u. Le physicien écrira ce résultatθ θ
d~u d~vθ θ
sous la forme suivante : ∀θ∈R, =~v et =−~u .θ θ
dθ dθ
En effet Par définition, pour tout θ∈R : u~ = cosθ~ı+sinθ ~ et ~v =−sinθ~ı+cosθ ~. Dérivez!θ θ
2 2Définition (Dérivées successives d’une fonction à valeurs dans R ou R ) Soit f : I−→R (resp. f : I−→R ) une
application. On définit les dérivées successives de f, si elles existent, au moyen d’une récurrence.
(0)• On commence par poser f = f.
(k) (k)• Soit alors k∈ N. Si on a réussi à définir f sur I au cours des étapes précédentes et si f est dérivable sur I, on′(k+1) (k)pose f = f .
kd f(k) èmePour tout k∈N, la fonction f ainsi (éventuellement) définie est appelée la dérivée k de f ; on la note parfois quand
kd
le symbole utilisé pour désigner la variable de f est. Si elle existe, on dit que f est k fois dérivable sur I.
′ ′′ ′′′ (0) (1) (2) (3)On note généralement f, f , f et f plutôt que f , f , f et f respectivement.
2t ′ 2tExemple Lafonctionf : t→ e ~ı+sint~ estdeuxfoisdérivablesurRdedérivéepremièrelafonctionf : t→ 2e ~ı+cost~,
′′ 2tet de dérivée seconde f : t→ 4e ~ı−sint ~.
k 2 2Définition (Fonction de classeC à valeurs dans R ou R ) Soit f : I−→R (resp. f :I−→R ) une application.
k (k)• Pour tout k∈N, on dit que f est de classeC sur I si f est k fois dérivable sur I et si f est continue sur I.
2 k k k 2L’ensemble des applications de I dansR (resp.R ) de classeC sur I est notéC (I,R) (resp.C (I,R )).
∞• On dit que f est de classeC sur I si f est dérivable autant de fois qu’on le veut sur I.
2 ∞ ∞ ∞ 2L’ensemble des applications de I dansR (resp.R ) de classeC sur I est notéC (I,R) (resp.C (I,R )).
k Explication Ne confondez surtout pas « de classeC » avec « k fois dérivable ».
3 2 1
... =⇒ De classeC =⇒ Trois fois dérivable =⇒ De classeC =⇒ Deux fois dérivable =⇒ De classeC =⇒ Dérivable =⇒ ...
0 0 0 2 2En outre, « de classeC » = « continue », de sorte queC (I,R) =C(I,R) etC (I,R ) =C(I,R ).
2 1Théorème (Composée d’une fonction à valeurs dansR suivied’unefonction à valeursdansR ) Soientϕ∈C (I,J)′1 2 1 2 ′ ′et f∈C (J,R ). Alors f◦ϕ∈C (I,R ) et : f◦ϕ = ϕ ×f ◦ϕ.
Démonstration Notons f = (x,y). Alors f◦ϕ = (x◦ϕ,y◦ϕ). La dérivabilité de f sur J signifie précisément
que x et y sont dérivables sur J. Du coup, par composition, x◦ϕ et y◦ϕ sont dérivables sur I, ce qui signifie′
exactement que f◦ϕ est dérivable sur I. Calculons donc f◦ϕ : ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′f◦ϕ = x◦ϕ,y◦ϕ = (x◦ϕ) ,(y◦ϕ) = ϕ ×x ◦ϕ,ϕ ×y ◦ϕ = ϕ × x ◦ϕ,y ◦ϕ = ϕ ×f ◦ϕ.′ 1 2Il est alors facile de montrer que f◦ϕ est continue sur I, et finalement f◦ϕ∈C (I,R ) comme voulu.
1 1Exemple Soit θ∈C (I,R). Les fonctions ~u : t→ ~u et ~v : t→ ~v sont alors de classeC sur I et de plus, avec lesθ θ(t) θ θ(t)
d~u d~v d~u dθ d~u d~v dθ d~vθ θ θ θ θ θ′ ′notations du physicien : = θ ~v et =−θ ~u , i.e. = et = .θ θ
dt dt dt dt dθ dt dt dθ
2 1Théorème (Multiplication d’une fonction à valeurs dansR par une fonction à valeurs dansR) Soientλ∈C (I,R)
′1 2 1 2 ′ ′et f∈C (I,R ). Alors λf∈C (I,R ) et : λf = λ f +λf .

2I −→ R1Exemple Soient r,θ∈C (I,R). On note f l’application . Nos deux théorèmes précédents montrent
t → r(t) ~uθ(t)
d~uθ1 2 ′ ′ ′ ′que f∈C (I,R ) et que : f = r u~ +r = r ~u +rθ ~v .θ θ θ
dt
27
7
b
6
b
6
7
6
b
b
c Christophe Bertault - MPSI
2 Courbes paramétrées
2.1 Etude théorique
2Définition (Courbe paramétrée) On appelle courbe paramétrée (plane) toute application f : I−→R où I est un intervalle
deR. L’image Im f = f(I) de f est alors appelée le support de f.
Explication t croissant
f(t)• Si nous notons t la variable de f, f associe à toute valeur dans I du paramètre t un point
f(t) du plan. En faisant varier ce paramètre, nous obtenons le tracé d’une certaine « courbe ».
Précisément, nous obtenons le tracé du support de f : le support de f est ce que l’on dessine
effectivement. Intuitivement, c’est donc le support de f qu’on a envie d’appeler « courbe »;
remarquez bien que c’est pourtant f qui porte le nom de « courbe paramétrée ».
Les courbes paramétrées planes ont une interprétation cinématique importante : elles servent à représenter la trajectoire
d’un mobile sur un plan. La variable de la courbe paramétrée est alors le temps, noté t, et f(t) est la position du mobile à
l’instant t.
−−−−→• Nombre d’auteurs notent M(t) le point de paramètre t et considèrent que f(t) est le vecteur OM(t). En réalité, dans la
mesure où nous avons identifié les points et les vecteurs via le choix d’un repère (O,~ı,~), ces distinctions sont superflues.
Pour notre part, nous n’utiliserons que la notation f(t); selon le contexte, nous penserons f(t) tantôt comme un point,
tantôt comme un vecteur. 
2
2  R −→ R]−π,π[ −→ R
2Exemple Les applications et sont deux courbes1−t 2tt → ~u = cost~ı+sint ~t  t → ~ı+ ~
2 21+t 1+t
∞paramétrées