Cours de mathématiques pour la classe de seconde

O. Péault

Description

GÉNÉRALITÉS SUR1 LES FONCTIONS1 Ensembles de nombresDéfinition 1 L’ensemble {0;1;2;...} est appelé ensemble des entiers naturels et se noteN.L’ensembleZ˘ {...;¡2;¡1;0;1;2;3;...} est appelé en des entiers relatifs et se noteZ.Exemple :3 appartient à l’ensembleN. On note 32N. En revanche,¡2 n’appartient pas àN, on note¡2ÝN.Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui appartiennent àN, àZ ?rp p17 81 3 16a˘¡15 ; b˘ 7 ; c˘ ; d˘ ; e˘ ; f ˘ 2004 ; g˘¡7,1 ; h˘¡ 16 ; i˘ ; j˘ 7.5 9 19 981Les nombres deN sont b, d (car ˘ 9) et f .9 pLes nombres deZ sont a, b, d, f et h (car¡ 16˘¡4).aDéfinition 2 Un nombre est appelé nombre décimal s’il peut s’écrire sous la forme où a2Z et n2N.n10L’ensemble des nombres décimaux se noteD.Exemple :3 ¡2 ¡353˘ ;¡2˘ ;¡3,5˘ sont des nombres décimaux.1 1 10Parmi les nombres précédents, quels sont ceux qui appartiennent àD ?17 34 ¡71Les nombres deD sont a, b, c (car ˘ ), d, f , g (car¡7,1˘ ) et h.5 10 10Définition 3 Un nombre est appelé nombre rationnel s’il peut s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.L’ensemble des nombres rationnels se noteQ.Exemple :3 ¡2 ¡35 1 ¡23˘ ;¡2˘ ;¡3,5˘ ; ; sont des nombres rationnels.1 1 10 3 7Parmi les nombres précédents, quels sont ceux qui appartiennent àQ ?r9 4Les nombres deQ sont a, b, c, d, e, f , g , h et i (car ˘ ).16 3Définition 4 Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. Ce sont les nombres irrationnels. L’ensembleformé par ces nombres et leses rationels est ...

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Extrait

1

GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS

1 Ensemblesde nombres

Dfinition 1L’ensemble{0; 1; 2; . . .}est appelÉ ensemble des entiers naturels et se noteN. L’ensembleZ={. . . ;−2;−1; 0; 1; 2; 3; . . .}est appelÉ ensemble des entiers relatifs et se noteZ.

Exemple : 3 appartient À l’ensembleN. On note3∈N. En revanche,−2n’appartient pas ÀN, on note−2∉N. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui appartiennent ÀN, ÀZ? r 17 81 3 p 16 p a= −15; b=7; c=; d=; e=; f=2004; g= −7,1; h= −16; i=; j=7. 5 919 9 81 Les nombres deNsontb,d(car=9) etf. 9 p Les nombres deZsonta,b,d,feth(car−16= −4).

a Dfinition 2Un nombre est appelÉ nombre dÉcimal oÙ as’il peut s’Écrire sous la forme∈Zet n∈N. n 10 L’ensemble des nombres dÉcimaux se noteD.

Exemple : 3−2−35 3=;−2=;−3,5=sont des nombres dÉcimaux. 1 110 Parmi les nombres prÉcÉdents, quels sont ceux qui appartiennent ÀD? 17 34−71 Les nombres deDsonta,b,c(car=),d,f,g(car−7,1=) eth. 5 1010 Dfinition 3Un nombre est appelÉ nombre rationnel s’il peut s’Écrire comme quotient de deux entiers relatifs. L’ensemble des nombres rationnels se noteQ.

Exemple : 3−2−35 1−2 3=;−2=;−3,5=; ;sont des nombres rationnels. 1 110 3 7 Parmi les nombres prÉcÉdents, quels sont ceux qui appartiennent ÀQ? r 9 4 Les nombres deQsonta,b,c,d,e,f,g,heti(car=). 16 3 Dfinition 4Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. Ce sont les nombres irrationnels . L’ensemble formÉ par ces nombres et les nombres rationels est appelÉ ensemble des nombres rÉels . On le noteR.

Thorme 1 Tout lment deNappartient galement ÀZ. On dit queNest inclus dansZ, c’est-À-dire queNest une partie (ou un sous-ensemble) deZ. On noteN⊂Z.

Thorme 2 a De mme, tout entier relatif est un dcimal cara=, tout nombre dcimal est rationnel car il s’crit sous forme 1 fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre rel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R

GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS 1

Seconde 5 - 2010/2011

Illustration :

N

Z

D

Q

R

2 Intervalles

Soientaetbdeux rels tels quea<b.

L’ensemble des relsx vrifiant a 6 x 6 b

a 6 x<b

a<x 6 b

a<x<b

x 6 b

x<b

a 6 x

a<x

se note

[ a;b ]

[ a;b [

] a;b ]

] a;b [

] −∞;b ]

] −∞;b [

[ a;+∞ [

] a;+∞ [

−π

0,4 √ 5 2 −3 9 0 1 −7 −5,7 11 − √ 3 −3 √ 7

a

a

a

a

a

a

et se reprsente

b

b

b

b

b

b

Dfinition 5Soient I et J deux intervalles deR. • L’ensembledes nombres rÉels appartenant À la fois À Iet À J est appelÉ intersection des intervalles Iet J et se note I∩J . • L’ensembledes nombres rÉels appartenant À Iou À J, (Éventuellement aux deux) est appelÉ rÉunion des intervalles I et J et se note I∪J .

Exemple : Soit I= [ −2 ; 1], J=[0 ; 4[, K=[2 ;+∞ [ et L=[0 ; 1[. DÉterminer I∩J ,I∪J , K∩L et K∪L. I∩J=[0 ; 1]I∪J= [ −2 ; 4[ K∩L= ∅ K∪L=[0 ; 1[∪[2 ;+∞ [

2 COURS 1

3 Fonctions

Seconde 5 - 2010/2011

Dfinition 6Une fonction est un procÉdÉ qui permet, À partir d’un nombre de dÉpart, d’obtenir un unique nombre d’arrivÉe.

Nombre de dpart

⇒Nombre d’arrive fonction

Remarque : Ce procd est souvent une formule mais pas ncessairement. Exemples 16 x= fonction Heure= fonction PÉrimÈtre d’un cercleTempÉrature de l’air en C= fonction Aire de ce cercle 2 x+4

Dfinition 7Soit x un nombre de dÉpart et y le nombre d’arrivÉe correspondant. On dit que y est l’image de x ou que x est un antÉcÉdent . Si fest une fonction, l’image de x par festde y notÉe f(x)de x ». On symbolise la fonction de la faÇon suivante : f« f:x7−→f(x).

Remarque : Un nombre de l’ensemble de dpart n’a qu’une image mais un nombre de l’espace d’arrive peut avoir plusieurs antcdents

Dfinition 8L’ensemble des nombres de dÉpart qui admettent une image par la fonction est l’ensemble de dÉfinition de la fonction.

16 16 Exemple : DÉterminer l’ensemble de dÉfinition des fonctions f:x→−7, g:x→7−et h:x−7→Aire du cercle de pÉrimÈtre x 2 2 x+4x−4

16 • Pourtoutx, existedonc D f =R. 2 x+4 16 2 • n’existepas six−4=0 donc six=2 oux= −2. Ainsi D g =R\ {−2; 2}. 2 x−4 • Uncercle de primtrexn’existe que sixest strictement positif donc D h =]0 ;+∞[.

Thorme 3 (Mthodes) Pour dterminer l’image d’un rel par une fonction dfinie par une formule, il suffit de remplacerxpar la valeur dsire. Pour dterminer le ou les antcdents parfd’un relk, il suffit de rsoudre l’quation f(x)=k .

16 Exemple : Soit fdÉfinie par f:x−→7. DÉterminer l’image de 1 et les antÉcÉdents de0,8par f . 2 x+4 16 16 L’image de 1 estf(1). On a :f(1)= 2 = =3,2 1+ 4 5 Les antcdents de 0,8 sont les solutions de l’quationf(x)=0,8. 16 16 2 2 f(x)=0,8⇐⇒ 2 =0,8⇐⇒ =x+4⇐⇒x+4=20 x+ 4 0,8 2 ⇐⇒x−16=0⇐⇒(x−4)(x+4)=0⇐⇒x=4 oux= −4 Les antcdents de 0,8 parfsont donc 4 et−4.

GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS 3

Seconde 5 - 2010/2011

4 Reprsentationgraphique

Une faÇon de « visualiser » la fonction est donne par la dfinition ci-dessous :

Dfinition 9Le plan Étant muni d’un repÈre, on appelle courbe reprÉsentative (ou reprÉsentation graphique) d’une fonc- tion f ,l’ensemble des points de coordonnÉes (x;f(x)) . On dit que y=f(x)est une Équation de la courbe reprÉsen- tative de fdans ce repÈre.

Les points de la courbe sont donc les points pour lesquels l’ordon- ne est l’image de l’abscisse.

Remarque : Un rel n’ayant qu’une seule image, la courbe ci-contre ne peut pas tre la reprsentation graphique d’une fonction. En ef- fet, le rel 1, par exemple, aurait plusieurs images parf.

Exemple : Soit fla fonction dÉfinie dans le paragraphe 1/. Pour tracer sa reprÉsentation graphique, on calcule les images de quelques valeurs puis on place les points correspondants dans le repÈre. On relie ensuite ces points par une courbe. x−6−5−4−3−2−1 0 2 3,2 4 f(x) 0,4 0,55 0,8 1,23 x1 2 3 4 5 6 3,2 2 f(x) 1,230,8 0,55 0,4

4 3 2 1 0 −6−5−4−3−2−1 12 3 4 5 6 −1

Thorme 4 (Mthodes) Pour dterminer graphiquement l’image d’un relxpar une fonctionf, il faut trouver l’ordonne du point de la courbe reprsentative defd’abscissex . Pour dterminer graphiquement le ou les antcdents d’un relkpar une fonctionf, il faut trouver les abscisses despoints dela courbereprsentative defdont l’ordonneest gale Àk .

Exemple : Une fonction fest reprÉsentÉe ci-contre. DÉterminer l’image de−1et les antÉcÉdents de 1. L’image de−1 est l’ordonne du point de la courbe d’abscisse−1. On a ainsi :f(−1)=3. Les antcdents de 1 sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonne est gale À 1. Les antcdents de 1 sont donc−3, 1 et 3.

3 2 1

0 −4−3−2−1 12 3 4 −1

5 Rsolutionsgraphiques d’quations, d’inquations

Thorme 5 On peut rsoudre graphiquement des quations ou des inquations en traÇant les courbes correspondantes dans un repre et en lisant les solutions sur l’axe des abscisses.

4 COURS 1

7 Variations 7.1 Dfinition

3

2

Seconde 5 - 2010/2011

6 C f 5 4 3 2 1 0 −2−1 12 3 C g −1

−1

f(a) f(b) a a b b fest strictement croissante car pour toutain-fest strictement dcroissante car pour touta frieur Àb,f(a) est aussi infrieur Àf(b). infrieurÀb,f(a) est suprieur Àf(b). GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS 5

2 2 Exemple : RÉsoudre l’Équation(E) :x−x−1=x+2et l’inÉquation(I) :x−x−1 6 x+2 2 Soit f la fonction dÉfinie par f(x)=x−x−1et g la fonction dÉfinie par g(x)=x+2. On appelle Cet Cleurs reprÉsentations graphiques. f g les abscissesdes pointsd’intersection Les solutions de(E)sont de C f et C g . S E {−1 ;3} donc= les abscissesdes points deC f situÉs en Les solutions de(I)sont dessous de C g . S I [ −1 ; 3] donc=

Dfinition 11.un intervalle de Dune fonction dÉfinie sur D et ISoit f On dit que fest strictement croissante sur Ilorsque, quels que soient les nombres a et b de I: si a<b alors f(a)<f(b) On dit que fest strictement dÉcroissante sur Ilorsque, quels que soient les nombres a et b de I: si a<b alors f(a)>f(b)

Dfinition 10Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle I . ( f(a)=M f admetun maximum M atteint en x=a si pour tout x de I: f(x)M 6 ( f(a)=m f admetun minimum m atteint en x=a si pour tout x de I: f(x) > m

6 Minimum- Maximum

f(b)

Remarque : On dit aussi qu’une fonction est croissante si deux nombres et leurs images sont rangs dans le mme ordre (a<betf(a)<f(b)) et qu’une fonction est dcroissante si deux nombres et leurs images sont rangs dans l’ordre inverse (a<betf(a)>f(b)). Illustration :

2 Exemple : La fonction freprÉsentÉe ci-contre admet le maximumatteint en x=3 car   f(3)=2  f(x) 6 2 pour tout x : −1x= −2 Elle admet le minimumatteint encar   f(−2)= −1  f(x) > −1 pour tout x :

f(a)

−2

Seconde 5 - 2010/2011

7.2 Tableaude variations

Dfinition 12Une fonction peut tre croissante sur un intervalle et dÉcroissante sur un autre. Pour rÉsumer ces rÉsultats, on les prÉsente dans un tableau appelÉ tableau de variations de la fonction.

Exemple : Dresser le tableau de variation de la fonction fdÉfinie sur [ −2 ; 5,5]reprÉ- sentÉe ci-contre.

Le tableau de variations defest :

6 COURS 1

6 5 4 3 C 2 f 1 0 −2−1 12 3 4 5 −1 −2