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LIMITES ET CONTINUITÈ
1 Limited’une fonction en un point
1.1 Limitefinie
Dfinition 1et aSoit fune fonction dÉfinie sur un intervalle Itend versI .On dit que f`lorsque x tend vers a si tout intervalle ouvert contenant`(ou centrÉ en`) contient aussi toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a. On notelimf(x)=`. xa
Remarque : limf(x)=`limf(a+h)=` xa h0
1.2 Limiteinfinie
Dfinition 2Soit I un intervalle et asur If dÉfinieI . Soit\ {a}versf tend. On dit que+∞lorsque x tend vers a si tout intervalle de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a. On notelimf(x)= +∞. xa
Remarque : On peut dfinir de mme limf(x)= −∞. xa
Thorme 1 1 lim= +∞; x0 x x>0
1 lim= −∞; x x0 x<0
1 lim= +∞; 2 x0 x
1 lim+∞p = x x0
Dfinition 3Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle Iet aI . SoitCsa courbe reprÉsentative dans un repÈre. Silimf(x)= +∞oulimf(x)= −∞, on dit que la droite d’Équation x=a est asymptote ÀC. xa xa
2 Limited’une fonction en l’infini
2.1 Limitefinie
Dfinition 4une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[versf tend. On dit que`lorsque x tend vers+∞si tout intervalle ouvert contenant`(ou centrÉ en`) contient aussi toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment grand. On notelimf(x)=`. x→+∞
Remarque : on peut dfinir de mmelimf(x). x→−∞
Thorme 2 1 lim=0 ; x→+∞ x
1 lim=0 ; x→−∞ x
1 lim=0 ; 2 x→+∞ x
1 lim=0 ; 2 x→−∞ x
1 limp =0. x→+∞ x
Dfinition 5une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[etCsa courbe reprÉsentative dans un repÈre. Silimf(x)=`ou silimf(x)=`, on dit que la droite d’Équation y=`est asymptote ÀC. x→+∞x→−∞
LIMITES ET CONTINUITÈ1
Terminale 7 S - 2010/2011
2.2 Limiteinfinie
Dfinition 6une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[f tendvers. On dit que+∞lorsque x tend vers+∞si tout intervalle de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment grand. On notelimf(x)= +∞. x→+∞
Remarque : on peut dfinir de mmelimf(x)= −∞... x→+∞
Thorme 3 limx= +∞; x→+∞
limx= −∞; x→−∞
2 limx= +∞; x→+∞
2 limx= +∞; x→−∞
p limx= +∞. x→+∞
Dfinition 7une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[etCsa courbe reprÉsentative dans un repÈre. Soient a et b deux rÉels avec a6=0. Silim (f(x)(a x+b))=0(resp.lim (f(x)(a x+b))=0), on dit que la droite d’Équation y=a x+b est asymptote x→+∞x→−∞ oblique À la courbeCen+∞(resp. en−∞).
3 Limiteset oprations
Les limites des fonctions usuelles permettent souvent, À l’aide des thormes suivants, d’obtenir des limites de fonc-tions dfinies À partir des oprations lmentaires. Dans les tableaux suivants,adsigne soit un nombre rel, soit+∞, soit−∞.Iest un intervalle ouvert contenantaou dontaest une borne.
Thorme 4 (Somme de fonctions) fetgsont deux fonctions dfinies surI\ {a}. Si limf(x)=` ``+∞ +∞ −∞ xa 0 et limg(x)=`+∞ −∞ +∞ −∞ −∞ xa 0 alors limf(x)+g(x)=`+`+∞ −∞ +∞? ? ?−∞ xa
Remarque : ? ? ? signifie que l’on ne peut pas conclure. Cela ne signifie pas que la limite n’existe pas mais simplement qu’on ne peut pas la trouver directement. On parle de « forme indtermine ».
Thorme 5 (Produit par une constante) kdsigne un nombre rel diffrent de 0 etfest une fonction dfinie surI\ {a}. Si limf(x)=`+∞ +∞ −∞ −∞ xa etk>0k<0k>0k<0 alors limk f(x)=k`+∞ −∞ −∞ +∞ xa
Thorme 6 (Produit de fonctions) fetgsont deux fonctions dfinies surI\ {a}. Si limf(x)=` `6=0 0+∞ +∞ −∞ xa 0 et limg(x)=`±∞ ±∞+∞ −∞ −∞ xa 0 alors limf(x)×g(x)=`×`±∞? ? ?+∞ −∞ +∞ xa
Remarque :±∞signifie+∞ou−∞. Dans le cas de la troisime ligne, c’est la rgle des signes d’un produit qui permet de conclure.
2COURS 1
Terminale 7 S - 2010/2011
Thorme 7 (Quotient de fonctions) fetgsont deux fonctions dfinies surI\ {a}. Si limf(x)=` ``6=0 0±∞ ±∞ xa 0 0 et limg(x)=`6=0±∞0 0`±∞ xa f(x)` alors lim=0±∞? ? ?±∞? ? ? 0 xa g(x)`
Thorme 8 (Compose de fonctions) a,betcdsignent soit un nombre rel, soit+∞, soit−∞.Iest un intervalle ouvert contenantaou dontaest une borne.Jest un intervalle ouvert contenantbou dontbest une borne. Soitfune fonction dfinie surI\ {a} telle que pour toutxI\ {a},f(x)J\ {b} etgune fonction dfinie surJ\ {b}. ( limf(x)=b xa Si alorslimgf(x)=c limg(X)=cxa Xb
4 Thormesde comparaison Beaucoup de problmes de limites se rsolvent simplement en utilisant des ingalits et les thormes suivants :
Thorme 9 (Thorme des gendarmes) adsigne un nombre rel,+∞ou−∞.`est un nombre rel. SoitIun intervalle ouvert contenantaetf,gethtrois fonctions dfinies surI\ {a}. ( pour toutxI,f(x)6g(x)6h(x) Si limf(x)=limh(x)=` xa xa alors limg(x)=`. xa
On peut aussi utiliser, dans certains cas, le corollaire ci-dessous :
Corollaire 10 adsigne un nombre rel,+∞ou−∞.`est un nombre rel. SoitIun intervalle ouvert contenantaetfetgdeux fonctions dfinies surI\ {a}. ( ¯ ¯ pour toutxI,g(x)`6f(x) Si limf(x)=0 xa alors limg(x)=`. xa
Le thorme des gendarmes peut se gnraliser au cas oÙ la limite defest n’est pas relle mais+∞ou−∞:
Thorme 11 adsigne un nombre rel,+∞ou−∞. SoitIun intervalle ouvert contenantaetfetgdeux fonctions dfinies surI\ {a}. ( pour toutxI,f(x)6g(x) Si limf(x)= +∞ xa alors limg(x)= +∞. xa
On peut formuler un thorme analogue lorsque les fonctions tendent vers−∞.
LIMITES ET CONTINUITÈ3
Terminale 7 S - 2010/2011
5 Formesindtermines
Les rsultats suivants pourront tre utiliss directement :
Thorme 12 La limite d’une fonction poloynÔme en+∞ou−∞est gale À la limite de son terme de plus haut degr.
Thorme 13 La limite d’une fonction rationnelle en+∞ou−∞est gale À la limite du quotient des termes de plus haut degr du numrateur et du dnominateur.
Thorme 14
6 Continuit
6.1 Dfinitions
sinx lim=1 x0 x
Dfinition 8Soit fet aune fonction dÉfinie sur un intervalle II . On dit que fest continue en a silimf(x)=f(a) xa
Dfinition 9Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle Isi elle est continue encontinue sur If est. On dit que tout point de I .
6.2 Proprits La dfinition permet d’obtenir les thormes suivants :
Thorme 15 p Les fonctionsx7→x, sin et cos sont continues surR. La fonctionx7→xest continue sur [0;+∞[.
Thorme 16 SoitIun intervalle,kRetnN. n Siuetvsont deux fonctions continues surIalorsk u,u+v,u vetusont continues surI.
Thorme 17 SoitIun intervalle. u Siuetvsont deux fonctions continues surIcontinue sur tout intervalle oÙ elle est dfinie.alors est v
Thorme 18 Soitaun rel. Soitvdfinie sur un intervalleIcontenantaetuune fonction dfinie sur un inervalleJcontenant v(a). Sivest continue enaetuet continue env(a) alorsuvest continue ena.
Consquences : – Lesfonctions polynÔmes sont continues surR. – Lesfonctions rationnelles sont continues sur leurs intervalles de dfinition.
4COURS 1
Terminale 7 S - 2010/2011
7 Thormedes valeurs intermdiaires La continuit permet de dterminer l’existence de solutions À certaines quation gráce au thorme suivant :
Thorme 19 (Thorme des valeurs intermdiaires) Soitfune fonction continue sur un intervalle [a;b]. Pour tout relkcompris entref(a) etf(b), il existe un relcde [a;b] tel quef(c)=k.
Dfinition 10Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle I . On note f(I)l’ensemble{f(x);xI}.
Corollaire 20 (Thorme de la bijection) Sifest une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] alors pour tout relkcompris entre f(a) etf(b), l’quationf(x)=kadmet une solution unique dans [a;b]. On dit quefralise une bijection de [a;b] surf([a;b]).
Corollaire 21 (Gnralisation du prcdent) Soitfune fonction continue et monotone sur un intervalleIet soitJ=f(I). Pour tout relkdeJ, l’quationf(x)=kadmet une solution unique dansI. Autrement dit,fralise une bijection deIsurJ.
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