Cours de mathématiques pour la classe de TS

O. Péault

Description

LIMITES ET1 CONTINUITÉ1 Limite d’une fonction en un point1.1 Limite finieDéfinition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a2 I . On dit que f tend vers‘ lorsque x tend versa si tout intervalle ouvert contenant‘ (ou centré en‘) contient aussi toutes les valeurs de f (x) pour x suffisammentproche de a.On note lim f (x)˘‘.x!aRemarque : lim f (x)˘‘, lim f (a¯ h)˘‘x!a h!01.2 Limite infinieDéfinition 2 Soit I un intervalle et a2 I . Soit f définie sur I \ {a}. On dit que f tend vers¯1 lorsque x tend vers asi tout intervalle de la forme ]M ;¯1[ contient toutes les valeurs de f (x) pour x suffisamment proche de a.On note lim f (x)˘¯1.x!aRemarque : On peut définir de même lim f (x)˘¡1.x!aThéorème 11 1 1 1lim ˘¯1 ; lim ˘¡1 ; lim ˘¯1 ; limp ˘¯12x!0 x!0 x!0 x!0x x x xx¨0 x˙0Définition 3 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a2 I . SoitC sa courbe représentative dans un repère.Si lim f (x)˘¯1 ou lim f (x)˘¡1, on dit que la droite d’équation x˘ a est asymptote àC .x!a x!a2 Limite d’une fonction en l’infini2.1 Limite finieDéfinition 4 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; ¯1[. On dit que f tend vers‘ lorsquex tend vers¯1 si tout intervalle ouvert contenant‘ (ou centré en‘) contient aussi toutes les valeurs de f (x) pour xsuffisamment grand.On note lim f (x)˘‘.x!¯1Remarque : on peut définir de même lim f (x).x!¡1Théorème 21 1 1 1 1lim ˘ 0 ; lim ˘ 0 ; lim ˘ 0 ; lim ˘ 0 ; lim p ˘ 0.2 2x!¯1 x!¡1 x!¯1 x!¡1 x!¯1x x x x ...

Informations

• Publié par: Fuwyang
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

1

LIMITES ET CONTINUITÈ

1 Limited’une fonction en un point

1.1 Limitefinie

Dfinition 1et aSoit fune fonction dÉfinie sur un intervalle I∈tend versI .On dit que f`lorsque x tend vers a si tout intervalle ouvert contenant`(ou centrÉ en`) contient aussi toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a. On notelimf(x)=`. x→a

Remarque : limf(x)=`⇔limf(a+h)=` x→a h→0

1.2 Limiteinfinie

Dfinition 2Soit I un intervalle et a∈sur If dÉfinieI . Soit\ {a}versf tend. On dit que+∞lorsque x tend vers a si tout intervalle de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a. On notelimf(x)= +∞. x→a

Remarque : On peut dfinir de mme limf(x)= −∞. x→a

Thorme 1 1 lim= +∞; x→0 x x>0

1 lim= −∞; x x→0 x<0

1 lim= +∞; 2 x→0 x

1 lim+∞p = x x→0

Dfinition 3Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle Iet a∈I . Soit C sa courbe reprÉsentative dans un repÈre. Silimf(x)= +∞oulimf(x)= −∞, on dit que la droite d’Équation x=a est asymptote À C . x→a x→a

2 Limited’une fonction en l’infini

2.1 Limitefinie

Dfinition 4une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[versf tend. On dit que`lorsque x tend vers+∞si tout intervalle ouvert contenant`(ou centrÉ en`) contient aussi toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment grand. On notelimf(x)=`. x→+∞

Remarque : on peut dfinir de mmelimf(x). x→−∞

Thorme 2 1 lim=0 ; x→+∞ x

1 lim=0 ; x→−∞ x

1 lim=0 ; 2 x→+∞ x

1 lim=0 ; 2 x→−∞ x

1 limp =0. x→+∞ x

Dfinition 5une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[et C sa courbe reprÉsentative dans un repÈre. Silimf(x)=`ou silimf(x)=`, on dit que la droite d’Équation y=`est asymptote À C . x→+∞x→−∞

LIMITES ET CONTINUITÈ 1

Terminale 7 S - 2010/2011

2.2 Limiteinfinie

Dfinition 6une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[f tendvers. On dit que+∞lorsque x tend vers+∞si tout intervalle de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment grand. On notelimf(x)= +∞. x→+∞

Remarque : on peut dfinir de mmelimf(x)= −∞... x→+∞

Thorme 3 limx= +∞; x→+∞

limx= −∞; x→−∞

2 limx= +∞; x→+∞

2 limx= +∞; x→−∞

p limx= +∞. x→+∞

Dfinition 7une fonction dÉfinie sur un intervalle de la formeSoit f[A;+∞[et C sa courbe reprÉsentative dans un repÈre. Soient a et b deux rÉels avec a6=0. Silim (f(x)−(a x+b))=0(resp.lim (f(x)−(a x+b))=0), on dit que la droite d’Équation y=a x+b est asymptote x→+∞x→−∞ oblique À la courbe C en+∞(resp. en−∞).

3 Limiteset oprations

Les limites des fonctions usuelles permettent souvent, À l’aide des thormes suivants, d’obtenir des limites de fonc- tions dfinies À partir des oprations lmentaires. Dans les tableaux suivants,adsigne soit un nombre rel, soit+∞, soit−∞.Iest un intervalle ouvert contenantaou dontaest une borne.

Thorme 4 (Somme de fonctions) fetgsont deux fonctions dfinies surI\ {a}. Si limf(x)=` ``+∞ +∞ −∞ x→a 0 et limg(x)=`+∞ −∞ +∞ −∞ −∞ x→a 0 alors limf(x)+g(x)=`+`+∞ −∞ +∞? ? ?−∞ x→a

Remarque : ? ? ? signifie que l’on ne peut pas conclure. Cela ne signifie pas que la limite n’existe pas mais simplement qu’on ne peut pas la trouver directement. On parle de « forme indtermine ».

Thorme 5 (Produit par une constante) kdsigne un nombre rel diffrent de 0 etfest une fonction dfinie surI\ {a}. Si limf(x)=`+∞ +∞ −∞ −∞ x→a etk>0k<0k>0k<0 alors limk f(x)=k`+∞ −∞ −∞ +∞ x→a

Thorme 6 (Produit de fonctions) fetgsont deux fonctions dfinies surI\ {a}. Si limf(x)=` `6=0 0+∞ +∞ −∞ x→a 0 et limg(x)=`±∞ ±∞+∞ −∞ −∞ x→a 0 alors limf(x)×g(x)=`×`±∞? ? ?+∞ −∞ +∞ x→a

Remarque :±∞signifie+∞ou−∞. Dans le cas de la troisime ligne, c’est la rgle des signes d’un produit qui permet de conclure.

2 COURS 1

Terminale 7 S - 2010/2011

Thorme 7 (Quotient de fonctions) fetgsont deux fonctions dfinies surI\ {a}. Si limf(x)=` ``6=0 0±∞ ±∞ x→a 0 0 et limg(x)=`6=0±∞0 0`±∞ x→a f(x)` alors lim=0±∞? ? ?±∞? ? ? 0 x→a g(x)`

Thorme 8 (Compose de fonctions) a,betcdsignent soit un nombre rel, soit+∞, soit−∞.Iest un intervalle ouvert contenantaou dontaest une borne.Jest un intervalle ouvert contenantbou dontbest une borne. Soitfune fonction dfinie surI\ {a} telle que pour toutx∈I\ {a},f(x)∈J\ {b} etgune fonction dfinie surJ\ {b}. ( limf(x)=b x→a Si alorslimg◦f(x)=c limg(X)=c x→a X→b

4 Thormesde comparaison Beaucoup de problmes de limites se rsolvent simplement en utilisant des ingalits et les thormes suivants :

Thorme 9 (Thorme des gendarmes) adsigne un nombre rel,+∞ou−∞.`est un nombre rel. SoitIun intervalle ouvert contenantaetf,gethtrois fonctions dfinies surI\ {a}. ( pour toutx∈I,f(x) 6 g(x) 6 h(x) Si limf(x)=limh(x)=` x→a x→a alors limg(x)=`. x→a

On peut aussi utiliser, dans certains cas, le corollaire ci-dessous :

Corollaire 10 adsigne un nombre rel,+∞ou−∞.`est un nombre rel. SoitIun intervalle ouvert contenantaetfetgdeux fonctions dfinies surI\ {a}. ( ¯ ¯ pour toutx∈I,g(x)−` 6 f(x) Si limf(x)=0 x→a alors limg(x)=`. x→a

Le thorme des gendarmes peut se gnraliser au cas oÙ la limite defest n’est pas relle mais+∞ou−∞:

Thorme 11 adsigne un nombre rel,+∞ou−∞. SoitIun intervalle ouvert contenantaetfetgdeux fonctions dfinies surI\ {a}. ( pour toutx∈I,f(x) 6 g(x) Si limf(x)= +∞ x→a alors limg(x)= +∞. x→a

On peut formuler un thorme analogue lorsque les fonctions tendent vers−∞.

LIMITES ET CONTINUITÈ 3

Terminale 7 S - 2010/2011

5 Formesindtermines

Les rsultats suivants pourront tre utiliss directement :

Thorme 12 La limite d’une fonction poloynÔme en+∞ou−∞est gale À la limite de son terme de plus haut degr.

Thorme 13 La limite d’une fonction rationnelle en+∞ou−∞est gale À la limite du quotient des termes de plus haut degr du numrateur et du dnominateur.

Thorme 14

6 Continuit

6.1 Dfinitions

sinx lim=1 x→0 x

Dfinition 8Soit fet aune fonction dÉfinie sur un intervalle I∈I . On dit que fest continue en a silimf(x)=f(a) x→a

Dfinition 9Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle Isi elle est continue encontinue sur If est. On dit que tout point de I .

6.2 Proprits La dfinition permet d’obtenir les thormes suivants :

Thorme 15 p Les fonctionsx7→x, sin et cos sont continues surR. La fonctionx7→xest continue sur [0;+∞[.

Thorme 16 ∗ SoitIun intervalle,k∈Retn∈N. n Siuetvsont deux fonctions continues surIalorsk u,u+v,u vetusont continues surI.

Thorme 17 SoitIun intervalle. u Siuetvsont deux fonctions continues surIcontinue sur tout intervalle oÙ elle est dfinie.alors est v

Thorme 18 Soitaun rel. Soitvdfinie sur un intervalleIcontenantaetuune fonction dfinie sur un inervalleJcontenant v(a). Sivest continue enaetuet continue env(a) alorsu◦vest continue ena.

Consquences : – Lesfonctions polynÔmes sont continues surR. – Lesfonctions rationnelles sont continues sur leurs intervalles de dfinition.

4 COURS 1

Terminale 7 S - 2010/2011

7 Thormedes valeurs intermdiaires La continuit permet de dterminer l’existence de solutions À certaines quation gráce au thorme suivant :

Thorme 19 (Thorme des valeurs intermdiaires) Soitfune fonction continue sur un intervalle [a;b]. Pour tout relkcompris entref(a) etf(b), il existe un relcde [a;b] tel quef(c)=k.

Dfinition 10Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle I . On note f(I)l’ensemble{f(x);x∈I}.

Corollaire 20 (Thorme de la bijection) Sifest une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] alors pour tout relkcompris entre f(a) etf(b), l’quationf(x)=kadmet une solution unique dans [a;b]. On dit quefralise une bijection de [a;b] surf([a;b]).

Corollaire 21 (Gnralisation du prcdent) Soitfune fonction continue et monotone sur un intervalleIet soitJ=f(I). Pour tout relkdeJ, l’quationf(x)=kadmet une solution unique dansI. Autrement dit,fralise une bijection deIsurJ.

LIMITES ET CONTINUITÈ 5