COURS DE MECANIQUE DU SOLIDE PARFAIT

Rouchon

Description

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTIONDETORSEUR3 2.1 Définition3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4 2.2 Torseurs élémentaires 4 2.2.1 Torseur couple 4 2.2.2 Torseur glisseur 2.3 Les torseurs de la mécanique du solide parfait 4 2.3.1 Torseur des efforts extérieurs 4 2.3.2 Torseur cinématique 5 2.3.3 Torseur cinétique 2.3.4 Torseur dynamique 5 3 CINEMATIQUE 6 3.1 Introduction 6 3.1.1 Définition6 3.1.2 Notiondetemps3.1.3 Notion de mouvement 6 3.1.4 Trajectoire 6 3.2 Repérage d’un solide ou d’un système de solides parfaits 6 3.2.1 Repérage d’un point 6 3.2.2 Repérage d’un solide 6 3.3 Vitesse 7 3.3.1Vecteur vitesse moyenne 7 3.3.2Vecteurvitesse instantanée 8 →3.3.3Projectionde Vr dans un repère cartésien 8 3.3.4Projection de dans un repère cylindrique 8 3.3.5 Vecteur rotation 8 3.3.6 Dérivation en repère mobile 9 3.3.7 Composition des vitesses 10 3.4 Accélération 10 3.4.1 Vecteur accélération moyenne 10 3.4.2 Vecteur accélération instantanée 11 3.4.3 Composition des accélérations 13.5 Torseur cinématique 12 3.6 Liaisons usuelles entre deux solides – Torseurs associés 12 3.6.1 Liaison pivot (rotoïde) 12 3.6.2 Liaison glissière 13 3.6.3 Liaison pivot glissant 3.6.4 Liaison hélicoïdale 13 3.7 Cinématique du contact ponctuel entre deux solides 13 3.7.1 Torseur cinématique du contact ponctuel 14 3.7.2 Roulement sans glissement entre S1 et S2 14 2 1 Introduction Dans le but de ...

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SOMMAIRE

  1   INTRODUCTION 2   NOTION DE TORSEUR 2.1   Définition 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 2.2   Torseurs élémentaires 2.2.1 Torseur couple 2.2.2 Torseur glisseur 2.3   Les torseurs de la mécanique du solide parfait 2.3.1 Torseur des efforts extérieurs 2.3.2 Torseur cinématique 2.3.3 Torseur cinétique 2.3.4 Torseur dynamique 3   CINEMATIQUE 3.1   Introduction 3.1.1 Définition 3.1.2 Notion de temps 3.1.3 Notion de mouvement 3.1.4 Trajectoire 3.2   Repérage dun solide ou dun système de solides parfaits 3.2.1 Repérage dun point 3.2.2 Repérage dun solide 3.3   Vitesse 3.3.1 Vecteur vitesse moyenne 3.3.2 Vecteur vitesse instantanée → 3.3.3 Projection de Vr dans un repère cartésien 3.3.4 Projection de dans un repère cylindrique 3.3.5 Vecteur rotation 3.3.6 Dérivation en repère mobile 3.3.7 Composition des vitesses 3.4   Accélération 3.4.1 Vecteur accélération moyenne 3.4.2 Vecteur accélération instantanée 3.4.3 Composition des accélérations

 

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3   3   3   4 4 4   4 4 4   4 5 5 5 6   6   6 6 6 6 6   6 6 7   7 8 8 8 8 9 10 10   10 11 11

3.5  Torseur cinématique

3.6  Liaisons usuelles entre deux solides  Torseurs associés 3.6.1 Liaison pivot (rotoïde) 3.6.2 Liaison glissière 3.6.3 Liaison pivot glissant 3.6.4 Liaison hélicoïdale

3.7  Cinématique du contact ponctuel entre deux solides 3.7.1 Torseur cinématique du contact ponctuel 3.7.2 Roulement sans glissement entre S1 et S2  

 

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  1 Introduction   Dans le but de simplifier la présentation des grandeurs telles que les vecteurs ou champs de vecteurs, les moments, ainsi que les principes de la Mécanique, nous avons choisi un formalisme lié à la notion de torseurs qui permet par sa représentation systématique de simplifier la manipulation tout en donnant une certaine unité aux principaux résultats.   2 Notion de torseur 2.1 Définition Un torseur est par définition constitué dun champ antisymétrique (champ de moments) et → dun vecteur associé appelé résultante R .   → R → Un torseur se note alors : T ( M ) →   R et M → ( M ) étant alors appelés les éléments de M ( M ) réduction du torseur au point M.   Dans le cadre de la mécanique des solides parfaits (non déformables), il est possible de définir à partir de la connaissance du moment en un point M dun solide S (indéformable), le moment de tous points appartenant  ou lié  à S par la relation suivante appelée aussi loi de distribution : → → → → M ( M ) = M ( A ) + MA ∧ R     Ainsi, connaissant la valeur du champ en un point et sa résultante, il possible de calculer tout le champ en tout point à laide de la formule précédente. Dans le cas plus particulier dun système de solides parfaits, on pourra appliquer cette relation et calculer le champ de moments en tout points du systèmes si ces points appartiennent au même solide ou bien si ces solides sont liés entre eux par des liaisons mécaniques. Cette relation nous permettra par exemple de déterminer le champ de vitesse en tout point dun solide ou dun système de solides.     Cas particulier :  pour un effort exercé en un point quelconque dun solide ou système de solides, le moment en ce même point est nul. En effet :   → → → M ( A ) = AA ∧ R = 0   Cette propriété est très souvent utilisée pour résoudre un système mécanique pour lequel certains efforts restent inconnus.    

 

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2.1.1 Propriétés liées aux torseurs Deux torseurs sont égaux si leurs éléments de réduction sont égaux en un point. → → Le produit scalaire R . M ( M ) constitue un invariant, cest linvariant scalaire du torseur. 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs → → R 1 R 2 Soit deux torseurs T 1 ( M ) et T 2 ( M ) le produit appelé aussi comoment (C) de ces → → M 1( M ) M 2 ( M ) deux torseurs est indépendant du point M et calculé de la façon suivante : → → → → C = R 1 . M 2( M ) + R 2 . M 1( M )     On peut noter aussi que le produit ou comoment du torseur par lui-même sappelle lautomoment.     2.2 Torseurs élémentaires Ce sont des torseurs dont linvariant scalaire est nul, il en existe deux : le torseur « couple » et le torseur « glisseur ». 2.2.1 Torseur couple Le torseur « couple » est un torseur dont la résultante est nulle et dont le moment est non nul en un point de lespace. Le champ de moment dun couple est uniforme et ne dépend pas du point dobservation. 2.2.2 Torseur glisseur On appelle torseur « glisseur » , un torseur dont la résultante est non nulle mais dont le → moment est nul en tout point dune droite parallèle à la résultante R . Cette droite est appelée → → axe central du torseur. Elle vérifie la relation suivante R ∧ M = 0       2.3 Les torseurs de la mécanique du solide parfait Dans la suite, nous utiliserons une notation basée sur la définition de différents torseurs, nous serons donc amenés à définir les torseurs suivants : torseur des efforts extérieurs, torseur cinématique, torseur cinétique, torseur dynamique. 2.3.1 Torseur des efforts extérieurs → R F e ( M ) →   M ( M )

 

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2.3.2 Torseur cinématique → Ω V ( M ) →   V ( M )

2.3.3 Torseur cinétique → P C ( M ) →   σ ( M )

2.3.4 Torseur dynamique → A D ( M ) →   δ ( M ) Ces différents torseurs seront définis dans les chapitres suivants  

 

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3 Cinématique 3.1 Introduction 3.1.1 Définition La cinématique est létude des mouvements dans leur rapport avec le temps. On ne soccupe pas des causes susceptibles de provoquer le mouvement. 3.1.2 Notion de temps Le temps est une variable indépendante t, toujours croissante à partir de zéro, on définit alors un sens positif du temps qui est celui à venir, par rapport à une origine des temps qui est linstant initial noté souvent to. 3.1.3 Notion de mouvement C est une notion essentiellement relative. On dira quun point est en mouvement par rapport à un trièdre de référence si lune de ses coordonnées au moins varie avec le temps. On ne précisera pas si ce trièdre de référence est au repos ou en mouvement par rapport à un autre référentiel. 3.1.4 Trajectoire On appelle trajectoire dun point en mouvement le lieu géométrique des positions effectivement occupées par une particule ou un point dun solide quand le temps sécoule.     3.2 Repérage dun solide ou dun système de solides parfaits   3.2.1 Repérage d un point  Pour repérer une point A 1  dans un repère Ro(0,x,y,z), il suffit de 3 paramètres qui sont ses coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ).   z     Ro z 1    A 1     y 1 y    x 1     x      3.2.2 Repérage d un solide Le repérage dun solide ou dun système de solide dans un repère Ro nécessite plus dinformation. En effet, le positionnement dun solide auquel on lie un repère R nécessite

 

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dintroduire les angles caractéristiques : on peut utiliser par exemple les angles dEuler permettant de repérer R par rapport à Ro.     w  z v    Ro  z 1     A 1      y 1  y   x 1     n u    x On définit le vecteur nodal → , d né par lintersection des sous espaces vectoriels { → , → } et n  on x y { → u , v → } Le passage dune base à lautre peut se faire par composition de 3 rotation planes :       → →   → →  →  →  →   y n  w → h         Ψ   ϑ   ϕ     → → →  →   → →   Ψ : angle de précession ϑ : angle de nutation ϕ : angle de rotation propre   3.3 Vitesse Soit deux points M et M définis respectivement à t et t + ∆ t (voir figure suivante) :   → M(t+ ∆ t) z   Vr    M(t)   →   1 → 2 Ro     O     x   3.3.1 Vecteur vitesse moyenne Soit un point A mobile par rapport à Ro :  -à t= t1, A est en M,  -à t=t2, A est en M, m → →  → → → → 1 et 2 sont les vecteurs position de A avec r 1 = OM et r 2 = OM '  

 

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Trajectoire y

∆ t = t 2 − t 1 , le vecteur vitesse moyenne est donné par V → m ( t 2, t 1) = r t → 2 2 − − t r → 1 1 = ∆ r ∆ → 2 t ,1   3.3.2 Vecteur vitesse instantanée → Le vecteur vitesse instantanée du point M est défini par : v → = l ∆ t i → m 0 M ∆ t M '   → → → → → → Soit 0, un point fixe MM ' = MO + OM ' = OM ' − OM = OM   ∆ → → → → v → = l ∆ t i → m 0 M ∆ M ' = l ∆ t i → m 0 ∆ O ∆ M = dO d M , v est tangent à la trajectoire en M(t) t t t   On peut préciser par rapport à quel référentiel R le mouvement est étudié, dans ce cas,  d O t → M   rrespond à la vitesse du point M vis à vis du repère R ; ce vecteur peut être V → r =    d   R co projeté dans différents repère, cartésiens, cylindriques, sphérique. Son module a les dimensions [V]=[L] [T] -1     → 3.3.3 Projection de Vr dans un repère cartésien → → → Soit un repère Ro ( O , i , j , k ) orthonormé direct lié au référentiel R : → → → → x V → R = d → i + d dt y → j + d d z t → k = • x → i + • y → j + • z → k ∆ M = x i + yj + zk ) , dt   3.3.4 Projection de dans un repère cylindrique → → → Soit un repère R ( O , u r , u θ , u z ) orthonormé direct non lié au référentiel Ro :

→ → → O → M = ru → r + zu → z , V → R = d dt r u → r + r d d u t r + d d z t u → z avec d u r = d u r d d θ u → θ → j , dt d θ t      → u cos i sin u → r = θ → + θ j → ⇒ d d θ r =− sin θ i → + cos θ → j = u → θ     → →  → → d θ d u θ θ d d u t r = d d u θ r d dt θ =θ • u → θ , de la même façon d u t = d θ d dt =− • θ u → r     3.3.5 Vecteur rotation Nous avons écrit précédemment la relation suivante :

 

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→ u r θ   → i

→ → d d u θ = d d u θ d θ =− • θ u → r t θ dt   → →  → → Dune manière générale, nous écrirons : d dt u =Ω R '/ Ro ∧ u avec Ω R '/ Ro vecteur rotation tel → que son axe porté par → k est perpendiculaire au plan où se Ω R '/ o produit la rotation, R sera Ω R → '/ Ro d d θ → , noté le plus souvent sous la forme Ω R → '/ Ro =θ • k →   tel que : = t k   Exemple :   → → Cas dun solide S dans Ro susceptible de tourner autour de x et z et dont la position est repérée par ϑ et ϕ respectivement.   Ω S → / Ro = • θ x → + • ϕ → z  noté aussi Ω → / R    0 θ • •      S o  ϕ    3.3.6 Dérivation en repère mobile → → Soit deux bases R et Ro telles que Ro est la base de dérivation, Ro (0, x i ) et R '(0', x ' i ) base de définition. R e → st mobile par rapport à Ro.  M     x 3    A    O  R  O     → x 1   Ro     → ' ' dx Soit un vecteur AM → R = a i . x → ' i , dA d M t Ro = d d t ( a ' i . x → ' i ) = d d t a ' i . x → ' i + a ' i . d → t ' i     → d u R → '/ Ro → Nous avons montré précédemment que dt =Ω ∧ u , ainsi :  

 

→ x 2

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O R

M

→ Ro i i i → ' i → R A → → d AM = d d a '. x → ' + a '. dx t = d AM o = d dt M R ' +Ω R ' → / Ro ∧ AM R ' dt t d dt     → →  →  → dA dt M Ro = dA dt M R ' +Ω R '/ Ro ∧ AM R '   3.3.7 Composition des vitesses Soient deux repères Ro et Ret M un point quelconque de R             O      R → →  → → → O ' M R ' = a ' i . x ' i , et OM = OO ' + O ' M   → → → → → → → → → → = + = + d + = + + i Ω R Ro ∧ i dO dt Md d O t O ' dO d ' t Md d O t O ' dt a ' i . x ' i a ' i . d d x t ' i d d O t O ' d d t a ' i . x ' i a ' . '/ x '     → → dO d MdOO ' d ' i . x → ' i R → '/ Ro a ' . x → '   t = dt + dt a +Ω ∧ i i → → d d OO ' d O dt M = dt +Ω R → '/ Ro ∧ a ' i . x → ' i + dt ( a ' i ). x → ' i     Vitesse Vitesse Vitesse absolue =  Entraînement  + relative   3.4 Accélération 3.4.1 Vecteur accélération moyenne Le vecteur accélération moyenne dun point A entre les instants t1 et t2 est égal au vecteur vitesse moyenne du mobile se déplaçant sur lhodographe des vitesses → m t t ) V t → 2 2 t V → 1 = ∆ V ∆ → t 2,1 Γ ( 2, 1 = − 1   −

 

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3.4.2 Vecteur accélération instantanée Laccélération instantanée du point A en M est donnée par la relation suivante : → →  → Γ → m = l ∆ i t → m ∆ V ∆ 2,1 = l ∆ i → m d d V 1 = d ² r ² 1   0 t t 0 t dt     Son module a les dimensions [ Γ ]=[L] [T] -2   3.4.3 Composition des accélérations Par la composition des vitesses, nous avons établi : → → On avait : dO dt M = d d O t O ' +Ω R → '/ Ro ∧ a ' i . x → ' i + d d t ( a ' i ). x → ' i   Laccélération sécrit alors : d ² d O → t ² M = d ² d O t → ² O ' + d d t    Ω R → '/ Ro ∧ a ' i . x → ' i + d d t ( a ' i ). x → ' i      = d ² d O → ² O ' + d    Ω R → '/ Ro    ∧ a ' i . x → ' i +    Ω R → '/ Ro    ∧ d d t a ' i . x → ' i +    Ω R → '/ Ro    ∧     Ω R → '/ Ro ∧ a ' i . x → ' i     + d d t ² ² ( a ' i ). x → ' i + d d t a ' i . Ω R → '/ Ro ∧ x → ' i t dt ² ² ' → = → +    Ω    ∧+    Ω    ∧+    Ω    ∧   Ω∧ i i     + i i i R Ro i d d O t ² Md dt O ² O d d t R → '/ Ro a ' i . x → ' i R → '/ Ro d d t a ' i . x → ' i R → '/ Ro   R → '/ Ro a ' . x → ' d d t ² ² ( a ' ). x → ' + d d t a ' . Ω → '/ ∧ x → '   → → → → → d ² d O t ² M = d ² d O t ² O ' + d d t    Ω R → '/ Ro    ∧ a ' i . x → ' i +    Ω R → '/ Ro    ∧     Ω R → '/ Ro ∧ a ' i . x → ' i     +    Ω R → '/ Ro    ∧ d d t a ' i . x → ' i +    Ω R → '/ Ro    ∧     Ω R '/ Ro ∧ a ' i . x ' i     + d d t ² ² ( a ' i ). x ' i x     A +  Accélération de ccélération  =  Accélération    Coriolis  +  absolue dEntraînement      

 

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Vitesse relative