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• Publié par: Puher
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 5
Produit d’un vecteurs par un réel.
I Introduction.
1 Encore une histoire de vol.
L’hélicoptère veut s’élever en hauteur. Pour cela, il doit appliquer une force ascentionnelle supérieure de 20% à
son poids qui est figuré sur le dessin ci dessus.
• Dessiner la force ascentionnelle de l’hélicoprère.
• Dessiner la force ascentionnelle générée par chacune des trois pales de l’hélicoptère.
2 Avec des quadrillages.
Sur le quadrillage ci-dessous est représenté un vecteur ~u.
• Représenter le vecteur ~v =~u+~u puis le vecteur w~ =~u+~u+~u
~• Représenter le vecteur−~u puis les vecteurs t =−~u−~u et ~z =−~u−~u−~u.
4748 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
~u
3 Avec un repère.
~Reproduire dans le repère ci dessous les vecteurs ~u, ~v, w~, t et ~z dessinés dans le paragraphe précédent. Quelles
sont les coordonnées des de ces différents vecteurs?
6
5
4
3
2 ~u
1
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
~~u(··· ;··· ) ; ~v(··· ;··· ) ; w~(··· ;··· ) ; t(··· ;··· ) ; ~z(··· ;··· )
II Produit d’un vecteur par un réel.
1 La définition.
Définition 1 Dans le repère (O, I, J) , le vecteur ~u est donné par ses coordonnées ~u(a;b). k est un nombre
réel. Le vecteur de coordonnées (k.a;k.b) est le produit du vecteur ~u par le nombre k. On le note k~u.
Exercice 1.
Dans un repère (O, I, J) le vecteur ~u a pour coordonnées ~u(−4;2).
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
1
~~v =−2~u ; w~ = ~u ; t = 3~u
2II. PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL. 49
~~v(··· ;··· ) ; w~(··· ;··· ) ; t(··· ;··· )
2. Représenter ces vecteurs dans le repère ci-dessous.
6
5
4
3
2
1
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
◦ ◦ ◦ ◦Sur le livre : lire l’exercice résoluF page 235, faire ensuite les exercices n 18, n 19, n 20 et n 24 page 235.
2 Vecteurs colinèaires.
Définition 2 Si ~v =k.~u, on dit que les vecteurs~v et ~u sont colinéaires.
Remarque 1
• Dans le cas où ces vecteurs ne sont pas nuls, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la
même direction.
~z
w~
~u
~v
• Onpeutremarquerquedeuxvecteursopposéssontdesvecteurscolinéaires.En effet,si~uet~v sontopposés,
~v =−~u, ici le nombre x vaut -1.
−→ −→
• Un vecteur ~u est toujours colinéaire avec le vecteur nul 0. En effet, dans un repère (O, I, J) , 0 (0;0)
−→
et, si ~u(0;0), alors 0~u(0;0). On constate bien que 0 et ~u sont colinéaires.
◦ ◦Sur le livre : faire les exercices n 9 à n 12 page 233.
◦ ◦ ◦Sur le livre : faire les exercices n 54 page 241, puis n 56 à n 59 page 24 2 .50 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
3 Faire des calculs avec des vecteurs et des réels.
règle : Les calculs avec des vecteurs et les réels se font comme les calculs avec les lettres et les nombres.
Exemple 1
~ ~ ~ ~• Si ~u = 2i−4j et ~v =−3i+j alors :
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~2~u+5~v = 2(2i−4j)+5(−3i+j) = 4i−8j−15i+5j =−11i−3j
−→ −→ −→ −→
• A, B et C sont des points du plan<; <on peut écrire 3AB−2AC +4BC en fonction des vecteurs AB et
−→
AC seulement.
−−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→
3AB−2AC+4BC = 3AB−2AC+4(BA+AC) = 3AB−2AC+4BA+4AC = 3AB−2AC−4AB+4AC =−AB+2AC
◦ ◦Sur le livre, apprendre à chercher : exercice n 39 page 239, puis l’exercice n 106 page 247.
III Repérage dans le plan et vecteurs colinéaires.
1 Une nouvelle manière de définir un repère du plan.
~ ~(O, I, J) est un repère du plan. Les vecteurs i et j sont définis par :
−→ −→
~ ~i =OI ; j =OJ
4
3
2
J1
~j
I
O ~i−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
~ ~On va écrire les vecteurs du plan à l’aide des vecteurs i et j.
−→
a. Le cas d’un vecteur OA.b
b
b
b
b
b
III. REPÉRAGE DANS LE PLAN ET VECTEURS COLINÉAIRES. 51
4
A
yA
3
~y jA
−→
~u =OA2
J1
~j
I
O x~ A−2 −1 1 2 3 4 5 6 7~i x iA
−1
−2
−→ −→~ ~On constate que, qui A(x ;y ), alors OA =x i+y j. On écrit dans ce cas là que OA(x ;y ) dans le repèreA A A A A A
~ ~(O,i,j).
~ ~Dans le repère (O,i,j), les écritures suivantes sont équivalentes :
−→ −→~ ~A(x ;y ) ; OA =x i+y j ; OA(x ;y )A A A A A A
b. Le cas d’un vecteur ~u.

x ~ ~Si ~u(x;y) dans le repère (O, I, J) , on écrit aussi ~u (ou bien ~u(x;y)) dans le repère (O,i,j).
y
~ ~Dans le repère (O,i,j), les écritures suivantes sont équivalentes :
−→~ ~~u =xi+yj ; u(x;y)
B
3
u ~2j2
AJ
1 C~3i
j
O i I
−1 1 2 3 4 5
−1
~ ~ ~ ~Ici ~u = 3i+2j, soit ~u(3;2) dans le repère (O,i,j).52 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
2 Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires?
a. Les tableaux de proportionalité.
Exercice 2. Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité?
4 3−6 12 1 5
3 2Tableau
15 −30 2 8 8 9
Réponse
Pourquoi?
Énoncer ci-dessous la règle qui indique quand un tableau est un tableau de proportionnalité.
x y
Le tableau est un tableau de proportionnalité est équivalent à························
′ ′x y
Reprenonsle premiertableau de l’exerciceprécedent. Parquelle opérationpasse-t-onde la premièreà laseconde
colonne du tableau?
−6 12
15 −30
x y
♠ Propriété 1 Le tableau est un tableau de proportionnalité est équivalent à : il existe un nombre k
′ ′x y
qui permet, par multiplication, de passer de la première à la seconde ligne du tableau.
b. Le cas des vecteurs colinéaires.
Remarque 2 Prenons deux vecteurs colinéaires, ~u(−3;2) et ~v =−4~u, soit~v(12;−8).
−3 2
• Pourquoi le tableau est-il un tableau de nombres proportionnels?
12 −8
································································································
• Quelle égalité permet de traduire cette proportionnalité?························IV. FAIRE UNE DÉMONSTRATION AVEC LES VECTEURS COLINÉAIRES. 53
′ ′Dans le cas général, avec les vecteurs ~u(x;y) et~v(x ;y ),
~u et ~v colinéaires équivalent à ~v =k~u où k∈R
′ ′équivalent à (x ;y ) =k(x;y)
′ ′équivalent à (x ;y ) = (k.x;k.y)
yx
x’ y’équivalent à est un tableau de proportionnalité
équivalent à ······················
′ ′~u(x;y) et ~v(x ;y ) colinéaires est équivalent à························
Exercice 3. Les vecteurs suivants sont-ils des vecteurs colinéaires?
1. ~u(−4;2) et~v(6;−3).
2. ~u(−3;2) et~v(5;−1).
3 1
3. ~u(−6;2) et~v − ; .
2 2
IV Faire une démonstration avec les vecteurs colinéaires.
1 Traduire à l’aide de vecteurs que I est le milieu du segment [AB].
Ici donc, le point I est le milieu du segment [AB]. On peut traduire ceci par :
−→ −→
• des vecteurs égaux, AI =IB.
−→ −→
• des vecteurs opposés, IA =−IB.
−→ 1−→
• AI = AB en utilisant la colinéarité de deux vecteurs.
2
Exercice 4.
1. Traduire le fait que le pointI est le milieu du segment [AB] par une autre égalité de vecteurs, deux autres
vecteurs opposés, une autre égalité avec des vecteurs colinéaires.
································································································
···········