Cours de statistiques

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Extrait

Outil informatique et statistique - 1/52
Module LC4 (15/0/15)
I) Méthodologie / Statistique (15+1/0/0)
• Régression Linéaire (4)
• STATISTIQUE EXPERIMENTALE MONOVARIANTE
• Régression linéaire - erreur instrumentale - corrélation
• Régression multilinéaire (4)
• Variance ANNOVA
• Matrice d'Adamar (4)
• Simplexe et optimisation (4)
• Optimisation - Analyse factorielle - Simplexes.
II) Outil Informatique (2/0/15+1)
1. Traitement de Texte / Tableur (0/0/4)
2. ChemOffice (0/0/4)
3. Win-NMR (0/0/4)
Rapport de TP (0/0/4)Outil informatique et statistique - 2/52
1 STATISTIQUE EXPERIMENTALE MONOVARIANTE
1.1 Méthodologie de l'expérimentation
But : Recherche des facteurs influents et optimisation d'une méthode.
Principe : Obtenir le maximum d'informations en un minimum d'expériences
Remarque 1 : Un résultat d'expérience est toujours connu avec une précision limitée
Remarque 2 : Un résultat d'expérience n'est jamais exact.
En effet lors d'une expérience il y a des paramètres mesurables : volume, température, masse et des
paramètres non mesurables ou non connus : poussières, résidus, courants d'air, microprojections?
Il faut donc en premier lieu comprendre les types d'erreurs qu'il est possible de faire avant de chercher à
optimiser une méthode.
1.1.1 Erreur Systématique / Erreur Statistique
Il existe deux types d'erreurs :
• Les erreurs systématiques.
• Les erreurs statistiques ou de mesures, elles proviennent de la répétition de la mesure pour laquelle on
obtient des résultats différents.
1.1.2 Justesse et reproductibilité.
Une mesure peut être
• Juste et non reproductible
• Non juste et Reproductible
• Juste et reproductible.
Non juste et reproductible Juste et reproductible Juste et non-reproductible Non-juste et non-reproductible
Comment savoir dans quel cas nous sommes, et comment remédier à une erreur éventuelle. Nous allons
donc voir comment quantifier la reproductibilité et la justesse pour une série de mesures.
1.1.3 Postulats de Hagen
• Les erreurs sont inévitables
• Les erreurs sont constituées par un grand nombre d'erreurs élémentaires à peu prés égale.

a
a

a

a

s









m

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• Une erreur est supérieure à 0 et toujours inférieure à 50%
• Le nombre d'erreurs élémentaires est infini et leur valeur est infinitésimale => les mesures obéissent à une
courbe de répartition statistique de Gauss.
La formule qui découle de ce postulat est celle de la densité de probabilité d'apparition d'une mesure :
2x
avec A et B coefficient quelconque, μ la valeur vrai.Bf x A e
Il est possible de normaliser cette fonction afin de connaître la probabilité de la mesure que l'on va faire, et
d'en déduire les valeurs de A et de B :
2
x x
21 2
f x dx 1 f x e
2
La probabilité de trouver une mesure est donc de
f x f x dx
P x f x
avec la valeur moyenne x 0
f x dx
dx
Exercice :
Calculer les probabilités de mesures pour les intervalles de x et x 2
Pour quelle valeur a t on P(x)=95%
(Faire l'intégrations par la méthode des rectangles pour cette fonction)
2 X
21 2.
P e,
2
1.2 Étude des erreurs faites sur une mesure
1.2.1 Étude d'une série de N mesures.
xiEstimation de la valeur moyenne : x
N
Propriété de la valeur moyenne : x x 0i
2
x2 iNormalement la déviation standard est égale à : mais nous ne connaissons pas . Il
N
faut alors faire une estimation par la formule suivante, ce qui enlève un degré de liberté d'où le N-1.
2
x x2 iEstimation de l'écart type (standard déviation) , N-1 étant le degré de' s ' est défini par : s
N 1
liberté du système. La variance correspondant à l'écart type au carré.
1.2.2 Distribution de Student
Pour une mesure effectuée N fois, (largeur de la courbe de distribution) dépend du degré de liberté N-1. Il
y a 1- probabilité (i.e. 1-0.95) qu'une valeur quelconque de t soit comprise entre (-t ;+ t ) ou que |t| < t

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Outil informatique et statistique - 4/52
x x
tavec . Pour une valeur quelconque de x il existe une probabilité de 1- pour qu'elle se trouve
dans l'intervalle des valeurs non aberrantes :
x t X x t avec m
N N N
Cet intervalle délimite l'intervalle des valeurs aberrantes. L'intervalle de confiance pour une série de mesure
est donc calculé par la formule suivante :
s
sx x t avec (pour N grand)m m m
N
Le coefficient de variation est représenté par :
s tm
c
x
Exercice : Sur une éprouvette d'acier on mesure les valeurs suivantes (mesure d'élasticité en cm).
28.9 / 29.3 / 28.8 / 29.0 / 28.7 / 29.4 / 29.7 / 28.4 / 29.0 / 29.1 / 29.2 / 28.6 / 28.8
s=0.339 / N=12
s =0.091 pour t =2.18m ,12
Intervalle de confiance : l=29.0 +/- 0.198 cm
(Intervalle aberrant : l=29.0 +/- 0.727 cm déterminé avec le Q test ?)
1.3 Notion de chiffre significatif
Les chiffres significatifs d'un nombre sont tout les chiffres dont on est sur ainsi que le premier chiffre
présentant une incertitude. Le zéro qui ne sert qu'a situer une virgule n'est pas comptée dans les chiffres
significatifs.
Exemple 1 : 30.24 mL 4 chiffres significatifs - 0.03024 L idem.
La convention dans l'utilisation des chiffres significatifs dans les calculs numérique est la suivante :
Dans les sommes et différences : La précision la moins bonne est conservée lors du calcul ainsi dans
l'exemple suivant, la précision n'est que de 1 chiffre après la virgule :
3.4 + 0.020 + 7.31 = 10.73 = 10.7
Dans les produits et quotients : On suit de manière générale une règle empirique qui consiste à arrondir la
réponse en lui conservant le même nombre de chiffre significatif que le terme qui, dans le calcul, a le plus
petit nombre de chiffres significatifs.
24 4.52 24 4.02
1.0 8 0.9 65 et
100 100
Alors que suivant la règle on devrait avoir 1.1 et 0.96 (deux chiffres significatifs) En cas de doute il suffit
alors d'appliquer la précision relative qui est de 1/24 = 0.04 que l'on applique au résultat 1.08 * 0.04 = 0.045
soit trois chiffres significatifs. Pour la deuxième multiplication on a 0.965 * 0.045 = 0.0402 soit deux
chiffres significatifs 0.965.
Dans le cas des logarithmes et exponentielles : Il faut être particulièrement prudent lorsque l'on arrondit des
calculs comportant des logarithmes. Les règles suivants s'appliquent dans la plupart des situations :
1. Pour le logarithme d'un nombre, on conserve autant de chiffres à droite de la virgule (mantisse) qu'il y a
de chiffres significatif dans le nombre de départ.
5Log (6.000x10 ) = -4.2218488
2. Pour l'exponentielle d'un nombre, on conserve autant de chiffres qu'il y a de chiffres a droite de la virgule
dans le nombre de départ.)
*
(
s
(
*
*
(
(
*
)
)
(
(
)
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12.5 1210 =3.162277 x 10
1.4 Propriété des écarts types
Les écarts types présentent plusieurs propriétés lors des différentes opérations arithmétiques.
Opération Exemple Écart type résultant
2 2 2
Addition ou soustraction y=a+kb-c s s s sy a b c
2 2 2
s s s sMultiplication ou division y=a.b/c y a b c
y a b c
s sy axExponentielle y=a x
y a
sa
Logarithme y=log (a) s 0.43410 y a
s
yaExponentielle en base 10 y=10 2.303 say
dy
Fonction de x y = f(a) s sy a da
s = pour des grandes valeurs de N,
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