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Chapitre 5
Continuité d’une fonction.
Activités d’approche.
1 Une courbe avec un trou.
La fontion f est définie sur ] − ∞ ; 0[ ]0; + [ par f ( x ) = e x 12 .
1. Déterminer la limite de f en 0 .
2. Représenter la fonction f au voisinage de 0 dans le repère ci-dessous.
0 015
0 010
0 005
0 4 0 3 0 2 0 1
81
0 1 0 2
0 3
0 4
82 CHAPITRE 5. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION. 2 Une courbe en deux morceaux, sans asymptote verticale. 1 1 La fonction h est définie sur ] − ∞ ; 0[ ]0; + [ par h ( x ) = e xx 1 + e 1 xx . e e 1. Déterminer x li m 0 h ( x ) puis x li m 0 h ( x ) . x > 0 x < 0
2. Tracer la représentation graphique de f dans le repère ci dessous :
1 0 0 5
5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 5 1 0
Remarque : 1. Tracez ces deux courbes à l’écran de votre calculatrice (attention à la fenêtre pour la fonction f ). Puis utiliser la trace pour visualiser un point courant de la courbe. Que se passe-t-il au voisinage de x = 0 pour :
la fonction f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
la fonction h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La fonction f n’est pas définie en 0, la courbe représentative de f est donc composée de deux parties différentes. Quelle devrait être la valeur du nombre k pour que la fonction g définie sur R par : ) = e x 2 pour x 6 = 0 1 gg (( x 0) = k ait une représentation graphique «en un seul morceau» ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans ce cas on va dire que la fonction f est continue en 0. 3. Pourrait-on faire de même pour la fonction g ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Une nouvelle fonction. La fonction partie entière , notée E, est définie de la manière suivante : si x [ n ; n + 1[ n est un entier naturel, alors E ( x ) = n Par exemple, E(5,236)=5, E( π )=3 et E(-2,89)=-3.
Dans votre calculatrice, pour trouvez cette fonction : pour les Texas Instrument, MATH , menu NUM , c’est la fonction 5 :int( ou 5 :ent( en français ; pour les Casio, OPTN , menu NUM , c’est la fonction Intg . 1. Tracer la représentation graphique de la fonction E dans le repère ci dessous :
3 2 1
5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4
2. Déterminer x li m 2 E ( x ) puis li m 2 E ( x ) . Peut-on dire que E est continue en 2 ? x x > 2 x < 2
Qu’en serait-il en remplaçant 2 par un entier relatif n ?
83
84 CHAPITRE 5. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION. I Continuité d’une fonction en un point. 1 Définition. Définition 1 On dit que f est continue au point x 0 si f a une limite en x 0 . Remarque 1 Cette limite est obligatoirement égale à f ( x 0 ) . En effet : On sait que, par définition de la notion de limite, si lim = , alors quel que soit l’intervalle ] α ; + α [ , il x x 0 existe un intervalle ] x 0 r ; x 0 + r [ tel que, si x ] x 0 r ; x 0 + r [ alors f ( x ) ] α ; + α [ . Ainsi, comme x ] x 0 r ; x 0 + r [ , f ( x 0 ) ] α ; + α [ , et ce pour tout réel α > 0 . On obtient que f ( x 0 ) = . Puisque seul est commun à tous les intervalles du type ] α ; + α [ . Remarque 2 Ainsi, compte tenu de ce que nous savons sur les limites des fonctions usuelles : si k est un nombre réel, la fonction constante f : x 7k est continue en tout réel x 0 ; la fonction f : x 7x est continue en tout réel x 0 ; la fonction f : x −→ x est continue en tout réel x 0 0 ; la fonction f : x 7 | x | est continue en tout réel x 0 ; la fonction f : x 71 est continue en tout réel x 0 6 = 0 . x la fonction exponentielle est est continue en tout réel x 0 . Graphiquement, les représentations graphiques de ces fonctions ne présentent aucun saut. Remarque 3 Si x li m x 0 f ( x ) 6 = x li m x 0 f ( x ) , alors f n’a pas de limite en x 0 . On en déduit que dans ce cas f ne x > x 0 x < x 0 peut pas être continue en x 0 . C’est ce qui se produit pour la fonction partie entière en 1, 2,    , en tout point n Z . Exemple 1 La fonction définie sur R par : ssuurr ][2 ; + ;2[[ ff (( xx ))== x x ++23
n’a pas de limite en 2. En effet : X lim f ( x ) = 1 ; x 2 x < 2 X lim f ( x ) = 4 . x 2 x > 2 Ainsi cette fonction n’est pas continue en 2 .
1
0
1
I. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION EN UN POINT.
85
2 Dérivabilité et continuité. Proposition 1 Si f est dérivable en x 0 , alors f est continue en x 0 . ( x 0 ) + f ( x 0 ) h + ( h ) Preuve: h li m 0 f ( x 0 + h ) = h li m 0 f { } { } = f ( x 0 ) . −→ 0 −→ 0 3 Opérations sur les fonctions et continuité. Compte tenu de ce que nous savons sur les limites des fonctions usuelles, si f et g sont toutes deux continues en x 0 , alors : la somme f + g est continue en x 0 ; le produit f × g est continue en x 0 ; si g ( x 0 ) 6 = 0 , le quotient gf est continue en x 0 ; Remarque 4 On en déduit que toute fonction polynôme, toute fonction rationnelle est continue en tout point de son domaine de définition.
4 Composition de fonctions et continuité. g est une fonction définie sur un intervalle J de sorte que f ( I ) J . On peut de la sorte définir g f ( x ) pour tout x I . Théorème 1 Si f est continue en x 0 , si g est continue en y 0 = f ( x 0 ) , alors g f est continue en x 0 . Ce théorème est une conséquence du théorème sur les compositions de limites. Ainsi, les fonctions composées à l’aide de polynômes, de fractions rationnelles, de racines carrées et de fonction exponentielle sont continues en tout point de leur domaine de définition. x +2 Exemple 2 La fonction x 7e x 2+1 est continue en tout point de R .
86 CHAPITRE 5. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION. II Continuité d’une fonction sur un intervalle. Dans cette partie, f est une fonction définie sur un intervalle I .
1 Définition. Définition 2 On dit que f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout point de l’intervalle I .
Remarque 5 En pratique, cette définition veut dire que la représentation graphique de f pour x I est une courbe que l’on trace sans lever le rayon.
1 0 1
I
Exemple 3 Tout fonction polynôme est continue sur R . Si f est une fonction rationnelle définie sur l’intervalle I , alors f est continue sur l’intervalle I . Les fonctions composées à l’aide de polynômes, de fractions rationnelles, de valeur absolue, de racines carrées et de fonction exponentielle sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
2 Le théorème des valeurs intermédiaires.
a. Le théorème général.
Théorème 2 Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I . a et b sont des réels de I . Quel que soit le nombre k appartenant à l’intervalle [ f ( a ); f ( b )] , il existe un réel c de l’intervalle [ a ; b ] tel que f ( c ) = k .
II. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE.
f(b)
k
87
1 0 1 a c b Remarque 6 Comme on peut le voir sur le graphique, il peut y avoir plusieurs nombres qui sont solution de l’équation f ( x ) = k dans l’intervalle [ a ; b ] . Mais, il est possible dans un cas d’avoir l’unicité de ce nombre c : b. Le cas particulier des fonctions strictement monotones. Théorème 3 C’est une démonstration à savoir. Soit f une fonction définie , continue et strictement monotone sur [ a ; b ] , alors, quel que soit le nombre k compris entre ( a ) et f ( b ) , il existe un unique nombre c de l’intervalle [ a ; b ] tel que f ( c ) = k .
f(b) k
1 0 1 a
c
b
Preuve: Existence de la solution : comme f est une fonction définie , continue sur [ a ; b ] , alors, quel que soit le nombre k compris entre ( a ) et f ( b ) , le théorème des valeurs intermédiaires indique qu’il existe un nombre c de l’intervalle [ a ; b ] tel que f ( c ) = k .
88
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION.
Unicité de la solution : on va utiliser le fait que f est strictement monotone. On va traiter le cas où f est strictement croissante. X Si x I et x < c alors, comme f est strictement croissante, f ( x ) < f ( c ) donc f ( x ) 6 = k . X Si x I et x > c alors, comme f est strictement croissante, f ( x ) > f ( c ) donc f ( x ) 6 = k . Ainsi, x 6 = c = f ( x ) 6 = k . c est donc la seule solution sur [ a ; b ] de l’équation f ( x ) = k .
c. Utilisation pour la résolution numérique d’équations. Ce théorème est utilisé pour démontrer l’existence et l’unicité de solution d’une équation du type f ( x ) = k . Par exemple :
Exercice 1. Montrer que l’équation cos( x ) = x admet une solution unique, α dans l’intervalle [0; 2 π ] . Déterminer à l’aide de votre calculatrice un encadrement d’amplitude 10 3 de α .
Exercice 2. Faire l’exercice n 19 page 137.
d. Un exemple d’utilisation des suites adjacentes : la méthode de dichotomie. Mettons nous dans le cas où f ( a ) × f ( b ) < 0 , c’est à dire que f ( a ) et f ( b ) n’ont pas le même signe. On définit alors deux suites de la manière suivante : X a 0 = a et b 0 = b ; X Si f ( a n ) × f a n 2+ b n < 0 , alors a n +1 = a n et b n +1 = a n 2+ b n ; X Si f ( a n ) × f a n 2+ b n > 0 , alors a n +1 = a n 2+ b n et b n +1 = b n .
Exemple 4 Prenons f ( x ) = e x + x 3 . On remarque que : X f est continue est strictement croissante sur [ 1; 0] ; X f ( 1) < 0 et f (0) = 1 > 0 . On en déduit que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [ 1; 0] . On pose a 0 = 1 et b 0 = 0 . Voici les premières étapes visuelles de cette méthode :
II. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE.
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On peut alors montrer que les suites ( a n ) et ( b n ) sont des suites adjacentes, elles convergent vers le nombre α qui vérifie f ( α ) = 0 .
e. Extension du corollaire à d’autres intervalles. On admettra que les deux théorèmes précédents sont encore vrais si l’intervalle n’est pas du type fermé borné comme [ a ; b ] . Dans ce cas, il faut remplacer la valeur de f en a (ou en b ) par la limite de f en a ou en b . Ici, a et b peuvent éventuellement être égaux à + .
Exemple 5 1 Exercice 3. Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f ( x ) = 3 + 1 . x + x Montrer que l’équation f ( x ) = 3 admet une solution unique dans ]0; + [ . Montrer que, quel que soit y dans ]1; + [ , il existe un unique x dans ]0; + [ tel que f ( x ) = y .
90
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION.
Exercice 4. Faire les exercices n 18, n 21 et n 22 page 135 . Exercice 5. Faire les exercices n 32 et n 33 page 139.
f. Fabriquer de nouvelles fonctions.
Remarque 7 En reprenant l’exercice 2, on remarque qu’à tout nombre y de ]1; + [ , on peut associer un unique nombre x de ]0; + [ tel que f ( x ) = y . On définit ainsi une nouvelle fonction. Notons la g . On obtient l’équivalence :
f ( x ) = y ⇐⇒ x = g ( y )
Que se passe-t-il pour les représentations graphiques de ces deux fonctions ? Ici le repère utilisé est un repère orthonormé. Si M ( x ; f ( x )) est un point de la courbe C f , alors comme y = f ( x ) et x = g ( y ) , M ( g ( y ); y ) . Ainsi, comme M est le symétrique du point N ( y ; g ( y )) (qui est sur C g ) par rapport à la droite d’équation x = y .
y
x
M
x
y
N
x=y
Les courbes C f et C g sont donc symétriques par rapport à la droite d’équation x = y .
III. DE NOUVELLES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE : LES FONCTIONS PUISSANCES N IÈME
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III De nouvelles fonctions de référence : les fonctions puis sances n ième 1 Définition des fonctions puissances n ième . n est un nombre entier naturel non nul. Soit f : x 7x n . On sait que : f est continue sur R + ; f est strictement croissante sur R + = [0; + [ ; f (0) = 0 et limitex + f ( x ) = + . Donc quel que soit y [0; + [ , il existe un unique réel x tel que x n = y . à tout y de [0; + [ , on peut associer un unique nombre x de ]0; + [ tel que x n = y . On définit ainsi une nouvelle fonction. Définition 3 On appelle racine n ième du nombre réel positif y l’unique nombre x qui vérifie x n = y . Notation: On note n y la racine n ième du nombre réel positif y . On obtient ainsi : x n = y ⇐⇒ x = n y Remarque 8 Si n = 2 , 2 y = 2 . Définition 4 La fonction x 7n x définie sur [0; + [ est appelée fonction racine n ième. Remarque 9 Si n est un entier naturel impair, alors on peut faire le même raisonnement pour R , la fonction x 7n x définie sur R .
2 Propriétés des fonctions puissances. Propriété 1 n 0 = 0 et lim n x = + . x + x 7n x est continue et strictement croissante sur [0; + [ . Les courbes représentant les fonctions x 7x n et x 7n x sont symétriques par rapport à la droite d’équation x = y .