Cours de traitement du signal 1993.

C.N.A.V.T.S

Description

Ecole Polytechnique Universitaire de Paris èmeSpécialité Electronique Informatique ELI, 3 Année Cours de traitement du signal PREMIERE PARTIE ZARADER J.L 2008/2009 2 SOMMAIRE BIBLIOGRAPHIE ......................................................................3 I GENERALITES .......................................................................4 1°) - D EFINITIONS. ...................................................................4 2°) - C LASSIFICATION DES SIGNAUX...............................................5 3°) - Q UELQUES SIGNAUX IMPORTANTS............................................7 II SERIES ET TRANSFORMEE DE FOURIER................................. 10 1°) - S ERIES DE FOURIER......................................................... 10 2°) - D ISTRIBUTIONS. .............................................................. 13 3°) - T RANSFORMEE DE FOURIER (TF). ........................................ 16 III CONVOLUTION ET CORRELATION ....................................... 21 1°) - C ONVOLUTION................................................................. 21 2°) - C ORRELATION. 26 3°) - C AS DES SIGNAUX A PUISSANCE MOYENNE FINIE........................ 29 4°) - A NALYSE SPECTRALE......................................................... 30 5°) - F ILTRAGE. ..................................................................... 36 IV ECHANTILLONNAGE.................... ...

Informations

• Publié par: Jicel
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

E c o l e P o l y t e c h n i q u e U n i v e r s i t a i r e d e P a r i s S p é c i a l i t é E l e c t r o n i q u e I n f o r m a t i q u e E L I , 3 è m e  A n n é e                              

Cours de traitement  du signal  

P R E M I E R E P A R T I E  

                            Z A R A D E R J . L       

 2 0 0 8 / 2 0 0 9

S O M M A I R E

2

      B I B L I O G R A P H I E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3   I G E N E R A L I T E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4   1 ° )    D E F I N I T I O N S . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4   - 2 ° )   -   C L A S S I F I C A T I O N D E S S I G N A U X  5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 ° )   -   Q  I M P O R T A N T S S I G N A U XU E L Q U E S  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7   I I S E R I E S E T T R A N S F O R M E E D E F O U R I E R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0   1 ° )   -   S E R I E S D E  0F O U R I E R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1   2 ° )   -   D I S T R I B U T I O N S  1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .   3 ° )   -   T  E DR A N S F O R M E E F O U R I E R   ( T F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6   I I I C O N V O L U T I O N E T C O R R E L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1   1 ° )   -   C O N V O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2   2 ° )   - C O R R E L A T I O N  2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     3 ° )   -   C  I N I E F A P U I S S A N C E M O Y E N N E D E S S I G N A U XA S  9 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 ° )   -   A  P E C T R A L EN A L Y S E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 3   5 ° )   -   F I L T R A G E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   I V E C H A N T I L L O N N A G E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9   1 ° )   -   E C H A N T I L L O N N A G E I D E A L  3 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 ° )   -   R  S U DE C O N S T R U C T I O N I G N A L  2 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 ° )   -   S O U S - E C H A N T I L L O N N A G E  3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 ° )   -   E C H A N T I L L O N N A G E R A T I Q U E P . . 5 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   V T R A N S F O R M E E D E F O U R I E R D I S C R E T E ( T . F . D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0   1 ° )   -   T  E DR A N S F O R M E E F  DO U R I E R '  I G N A L SU N D I S C R E T E T P E R I O D I Q U E  5 0. . .   2 ° )   -   T R A N S F O R M E E D E F O U R I E R D I S C R E T E ( T F D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5   3 ° )   -   C  I S C R E T EO N V O L U T I O N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6   4 ° )   -   C O R R E L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9    

 

 

B i b l i o g r a p h i e

3

    L . S c h w a r t z : " T h é o r i e d e s d i s t r i b u t i o n s " ; E d . H e r m a n n   E . R o u b i n e : " D i s t r i b u t i o n s S i g n a l " ; E d . E y r o l l e s   J . M a x : " M é t h o d e s e t t e c h n i q u e s d u t r a i t e m e n t d u s i g n a l " ; 2 T o m e s ; E d . M a s s o n   F . d e C o u l o n : " T h é o r i e e t t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x " ; E d . D u n o d   A . S p a t a r ü : " T h é o r i e d e l a t r a n s m i s s i o n d e l ' i n f o r m a t i o n " ; E d . M a s s o n   M . B e l l a n g e r : " T r a i t e m e n t n u m é r i q u e d u s i g n a l " ; E d . M a s s o n   M . K u n t : " T r a i t e m e n t n u m é r i q u e d e s s i g n a u x " ; E d . D u n o d

 

 

I G é n é r a l i t é s

4

  1 ° ) - é n i t i o n s . D f i    L es i g n a l u i qn o m è n e h é  p e s t l d ' u n p h y s i q u e e p r é s e n t a t i o n a r é v o l u e d a n s l e t e m p s o u d a n s l ' e s p a c e .    L e T . S ) s u ( i g n a l t r a i t e m e n t d ue s t e  tc h n i q u e d n ec i p l i n e i s q u i a p o u r o b j e t l ' é l a b o r a t i o n , l a d é t e c t i o n e t l ' i n t e r p r é t a t i o n d e s s i g n a u x p o r t e u r s d ' i n f o r m a t i o n s .    C e t t e d i s c i p l i n e s ' a p p u i e s u r l a u d h é o r i e t s i g n a l o n n e u i d q u n e d e s c r i p t i o n m a t h é m a t i q u e d e s s i g n a u x . C e t t e t h é o r i e f a i t e s s e n t i e l l e m e n t a p p e l à l ' a l g è b r e l i n é a i r e , l ' a n a l y s e f o n c t i o n n e l l e , l ' é l e c t r i c i t é e t l ' é t u d e d e s p r o c e s s u s a l é a t o i r e s .    H i s t o r i q u e m e n t , l e t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x a p p a r a î t a u d é b u t d u  XX ième  s ê m e t e m p s q i è c l e , e n m L E M I N G , ( F l u et r o n i q u e ' é l e c 1 9 0 5 , d é t e c t i o n e t a m p l i f i c a t i o n d e s i g n a u x f a i b l e s ) . O n p e u t c e p e n d a n t n o t e r d e s p r e m i e r s t r a v a u x a u XIX ième  ' i n v e n t i o n d u l a v e c t é l é g r a p h e é l e c t r i q u e ( M O R S E , C O O K E , W H E A T S T O N E , 1 8 3 0 ) , d u t é l é p h o n e ( B E L L , 1 8 7 6 ) e t d e l a r a d i o ( M A R C O N I , P O P O V , 1 8 9 5 ) .    H o r m i s l a c o n t r i b u t i o n a p p o r t é e p a r F O U R I E R ( 1 8 2 2 , T r a v a u x s u r l a p r o p a g a t i o n d e l a c h a l e u r ) , l a t h é o r i e d u s i g n a l a p p a r a î t e n 1 9 3 0 a v e c l e s p r e m i e r s t r a v a u x d e W I E N E R e t K I N T C H I N E s u r l e s p r o c e s s u s a l é a t o i r e s , e t c e u x d e N Y Q U I S T e t H A R T L E Y s u r l a q u a n t i t é d ' i n f o r m a t i o n s t r a n s m i s e s u r u n e v o i e t é l é g r a p h i q u e .    L e s c o n t r i b u t i o n s e s s e n t i e l l e s , a u t r a i t e m e n t d u s i g n a l e t à l a t h é o r i e d u s i g n a l n ' i n t e r v i e n n e n t q u ' a p r è s l a s e c o n d e g u e r r e m o n d i a l e . I n v e n t i o n d u t r a n s i s t o r e n 1 9 4 8 , t r a v a u x d e S H A N N O N s u r l a c o m m u n i c a t i o n , d e W I E N E R s u r l e f i l t r a g e o p t i m a l e t d e S C H W A R T Z s u r l e s d i s t r i b u t i o n s .    L e s a p p l i c a t i o n s d u t r a i t e m e n t d u s i g n a l s o n t n o m b r e u s e s ( T é l é c o m m u n i c a t i o n , G é o p h y s i q u e , R e c o n n a i s s a n c e d e s f o r m e s , B i o m é d i c a l , A c o u s t i q u e , e t c . . . ) .   E x e m p l e s     * C o n t r ô l e R a d a r : I c i l ' a n a l y s e f r é q u e n t i e l l e j o u e u n r ô l e f o n d a m e n t a l .  

 

5 * C o d a g e d e l a P a r o l e : L a r e c o n n a i s s a n c e d e l a p a r o l e n é c e s s i t e l e t r a i t e m e n t d ' u n e g r a n d e q u a n t i t é d e d o n n é e s . L e c o d a g e p e r m e t d e r é d u i r e c e t t e q u a n t i t é , e n é l i m i n a n t l e s r e d o n d a n c e s e t e n c o n s e r v a n t l ' i n f o r m a t i o n u t i l e .   * L e s T é l é c o m m u n i c a t i o n s : S i l e s 1 7 M i l l i o n s d ' a b o n n é s a u t é l é p h o n e é t a i e n t r e l i é s 2 à 2 i l f a u d r a i t ( 1 7 M ) 2  â b l e s . c/ 2 H e u r e u s e m e n t l e s t r a v a u x s u r l a m o d u l a t i o n , l ' é c h a n t i l l o n n a g e e t l a t r a n s m i s s i o n p e r m e t t e n t d ' é m e t t r e , s u r u n e m ê m e v o i e , d e s m i l l i e r s d e m e s s a g e s .   2 ° ) - C l a s s i f i c a t i o n d e s s i g n a u x .   I l e x i s t e d i f f é r e n t s m o d e s d e c l a s s i f i c a t i o n :    a ) M o r p h o l o g i q u e : O n d i s t i n g u e i c i l e s s i g n a u x q u i p r e n n e n t d e s v a l e u r s à c h a q u e i n s t a n t t ( S i g n a lc o n t i n u u i q e s l i g n a u x s ) t e n ' o n t d e v a l e u r s q u ' à c e r t a i n s i n s t a n t s t i ( S i g n a ld i s c r e t) .   x(t) x(t)

t0 t t t1 0 Continu Discret      b ) S p e c t r a l e : O n c l a s s e l e s s i g n a u x s u i v a n t l a b a n d e d e f r é q u e n c e s q u ' i l s o c c u p e n t .   x(t) x(t)

t

t

    S i g n a l à v a r i a t i o n s l e n t e s S i g n a l à v a r i a t i o n s r a p i d e s S i g n a l " B a s s e s F r é q u e n c e s " S i g n a l " H a u t e s F r é q u e n c e s "      c ) E n e r g é t i q u e : L e s s i g n a u x p e u v e n t ê t r e à i n i e fé n e r g i e o u à mp u i s s a n c e i n i e . o y e n n e f  

6   L e s s i g n a u x à é n e r g i e f i n i e v é r i f i e n t l a c o n d i t i o n :   W x  = ∫ + ∞ x(t) 2  +dt < ∞ − ∞   O n d i t a u s s i q u ' i l s s o n t d e c a r r é s o m m a b l e . L e s s i g n a u x à s u p p o r t b o r n é , c ' e s t à d i r e d e d u r é e l i m i t é e , s o n t à é n e r g i e f i n i e .   L e s s i g n a u x à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e s o n t t e l s q u e :   = lim 2 x(t) dt 0 < P x    T→ ∞ ⎣ ⎢ ⎡ 1 T ∫ − 2 2 T T ⎦ ⎤ ⎥  < +∞     L e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s s o n t à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e .   R e m a r q u e s :   - U n s i g n a l à é n e r g i e f i n i e a u n e p u i s s a n c e m o y e n n e n u l l e ( P x = 0) . - U n s i g n a l à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e ( n o n n u l l e ) p o s s è d e u n e é n e r g i e W x  i n f i n i e .   O n d é f i n i t , p a r a i l l e u r s : - L a p u i s s a n c e i n s t a n t a n é e ( d ' i n t e r a c t i o n ) .   P x (t) = x(t) x * (t)   *   P xy  (t) y(t) = x(t)   - L a p u i s s a n c e m o y e n n e ( d ' i n t e r a c t i o n ) s u r u n e d u r é e T .   P x (t 0  =T)   T 1 ,   ∫ t t 0 0 +T x(t) x * (t) dt   P xy (t 0 , T) =  1 ∫ t t 0 +T x(t) y * (t) dt T 0   - L ' é n e r g i e m o y e n n e ( d ' i n t e r a c t i o n ) s u r u n e d u r é e T .   W x (t 0  P, T) = T x (t 0 , T)  W y (t 0  P = T, T) xy (t 0 , T) x    d ) T y p o l o g i q u e : O n d i s t i n g u e i c i l e s s i g n a u x s u i v a n t q u e l e u r é v o l u t i o n e s td é t e r m i n i s t e o ua l é a t o i r e .     S i g n a l d é t e r m i n i s t e : r é d i t p a r p e u t p t r e ê d i g n a le r m i n i s t e é t  sU n u n m o d è l e m a t h é m a t i q u e c o n n u . O n d i s t i n g u e d e u x s o u s c l a s s e s :  - L e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s x ( t ) = x ( t T ) . +  - L e s s i g n a u x n o n - p é r i o d i q u e s .    

7 S i g n a l A l é a t o i r e : a u n c o m p o r t e m e n t L s e a i g n a lé a t o i r e l i m p r é v i s i b l e . O n l e d é c r i t g r â c e à d e s o u t i l s s t a t i s t i q u e s ( d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é s , m o y e n n e , v a r i a n c e , . . . ) .   3 ° ) - Q u e l q u e s s i g n a u x i m p o r t a n t s .   - P o r t e : Π T (t) 2   ⎨ ⎪ ⎧ ⎡ ⎢ ⎣ T T ⎤ Π T (t) ∈  = ⎩ ⎪              s 1 2 -  t i    2 0   , rseullAi ⎦⎥   2

Π T (t) 2

-T T 2 2   - E c h e l o n d ' H e a v y s i d e : u ( t )   u(t) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 si t  0 s<i t  ≥ 0    0      

  - S i g n e : s g n ( t )   ⎧ ⎪ 0 > t i 0 s 1 sgn(t) = ⎨  =0 si t ⎩ ⎪  < 0- 1 si t  

 

u(t)

1

 

1

t

t

 

 

    - T r i a n g u l a i r e :Λ T (t)   Λ T (t) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧             sruelliA  0 T  < T  si t  1 -  t  

-T

  - G a u s s i e n n e : g ( t )   −t 2 1 2σ 2 g(t) = e y   σ y 2π   1 M = σ 2π

  - S i n u s C a r d i n a l : s i n c ( t )   sinc(t)= )(tsni t    

1 -1

sgn(t)

Λ T ( )

T

g(t)

 

σ

t

61 % M

 

t

 

t

 

8

sinc(t) 1

t

 

9

  - R è g l e d e l ' H o p i t a l :   S o i e n t f ( t ) e t g ( t ) d e u x f o n c t i o n s c o n t i n u e s e t d é r i v a b l e s e n t 0 e t t e l l e s q u e : lim f (t) = lim g(t) = 0 (resp±   ∞) t→t 0 t→t 0 A l o r s : ' lim 0 ⎩ ⎧ ⎨ f (t) ⎫ ⎭ ⎬  = lim 0 ⎨ ⎧ ⎩ () ft t ⎫ ⎭ ⎬   t→t g(t) t→t  )g' ( E x e m p l e :   l t im 0 ⎧ ⎨ ⎩ sin(t) ⎫ ⎬ ⎭  l = t im 0 cos(t) = 1 → t →  

 

1 0

  I I S é r i e s e t t r a n s f o r m é e d e F O U R I E R        O n p r é s e n t e r a d a n s c e c h a p i t r e l e s p r i n c i p a u x o u t i l s m a t h é m a t i q u e s n é c e s s a i r e s a u t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x .   1 ° ) - S é r i e s d e F O U R I E R .     C o n s i d é r o n s l e s f o n c t i o n s g n  é f i n i e s(t) d a r p :   nt g n (t) = e +2πj T = e +2πjnν 0 t  avec,ν 0 n te   T 1   =∈ Ζ     O n p e u t f a c i l e m e n t m o n t r e r q u e c e s f o n c t i o n s s o n t o r t h o g o n a l e s , c ' e s t à d i r e :   g n (t), g m * =   1    T  t)( ∫ ( T) g n t)( g m *  =(t) dt ⎨ ⎩ ⎧ 0 n is   = nsi1  ≠m      m   D e m :      T − t 2π g n (t), g * m =  t)(    1 T ∫ T 2 e )( T mn j  dt - 2   π − − π − π 0 g n (t), g m * )t =   2 (  πm-n ( ( e )j 1  m)j( n   −e j( n m)   ) ) n-m) (n-m  =   sin( ⎨ ⎧ = s  i=n  isn  1 ≠ m m ⎩   π    S o i t f ( t ) u n s i g n a l p é r i o d i q u e d e p é r i o d e T ( T > 0 ) . S i f ( t ) p o s s è d e u n n o m b r e f i n i d e s a u t s s u r u n e p é r i o d e , a l o r s i l e x i s t e u n e s u i t e C n  e l l e t u e q :   +∞+∞ nt + πj f (t) = ∑ C n g n (t) = ∑ C n e T 2     n = -∞n = -∞    C e t t e s é r i e c o n v e r g e v e r s f ( t ) , s i f ( t ) e s t c o n t i n u e e n t . E l l e converge vers  2 1 f(t + ) + f (t − ) ,  s i f ( t ) . t e s L C o s s è d e p n u a u t s n e n s o n t c o u r a m m e n t a p p e l é e s a r m o n i q u e s o o m p o s a n t e s h u cr a i e s ,d u s i g n a l e t s e c a l c u l e n t p a r p r o j e c t i o n :   nt C n  (t), g = f n *   1 T    =t) ( ∫ ( T)  ef (t) −2π T j  dt  

 

1 1

1   - C 0  T  co s a n t e = o n t i n u e : o m p  c ∫ (T)  dtf (t) - C 1  : 1 ére  H a r m  ( t ) . f i g n a l s u da m e n t a l e o n d  f u oo n i q u e n ième - C n  h a a r m o n i q u e . e l o n t r i b u t i o n d : c   P r o p r i é t é s :   - S i f ( t ) r é e l l e a l o r s C n  = C * n  = f (t) (f * (t))    S i f ( t ) r é e l l e e t p a i r e a l o r s C n  (t) = f r é e l (f * (t) = f (-t)) - - S i f ( t ) r é e l l e e t i m p a i r e a l o r s C n  (f (t) i m a g i n a i r e f (-t) = f = - * (t) )   N o t e : L ' e x p r e s s i o n e n t r e p a r e n t h è s e s e s t u n e i n d i c a t i o n p o u r l a d é m o n s t r a t i o n .   E x e m p l e s :   1 ) S o i t C n  s u i t e u n e p a r : d é f i n i e C 1 = C −1   C  te A  = 2 n  n si ,= 0≠(1, -1) . D é t e r m i n e r f ( t ) ?   2 j A 2 2 t f (t) = + n= ∑ ∞ ∞ C n e + π nt T  =  2  (e πj t T  e + − πj t T T 2  = A   )cos( π ) -   2 ) O n c o n s i d è r e l e s i g n a l c a r r é p é r i o d i q u e f ( t ) d é f i n i p a r :   f(t)

1 -T −τ τ T 2 2  2  2   C a l c u l e r s o n s p e c t r e . τ nt −j ⎡ e 2π T 2 T nt  nt C =  1  f t 2 j  T = 1  T 2 j  T ∫ − 2 2 T ( ) e − π  T  dt ∫ − 2 + 2 τ τ e − π  t  T  d 1  =  ⎣ ⎢ −2πj ⎤ ⎦ ⎥ T − 2 τ   n n sin 2  n C n  =  1 T   π ⎜ ⎝ ⎛ n π 2T ⎟ ⎠ ⎞ τ  =  T τ sinc (π T nτ ) T  

 

t