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Ł÷öÌ·ÌçÌ÷æ·ŁÌçççççłö÷ł·÷·÷·÷æAlgèbre linéaire & géométrie CoursC hap 2 Structures algébriques fondamentalesPartie 4 Structure d’anneau et de corpsI DéfinitionSoit A un ensemble muni de deux LCI + et .On dit que ( A , + , ) est un anneau lorsque :• ( A , + ) est un groupe abélien• est associative dans A• est distributive par rapport à + dans ASi de plus la LC I est commutative, l’anneau est dit commutatif.L’ élément neutre de A pour l’addition est appelé neutre de l’anneau, on le note 0 .AL’ élément neutre de A pour la multiplication, s’ il existe, est appelé unité de l’anneau, on le note 1 . L’ anneau est alors dit unitaire.AExemple 1Pour l’addition et la multiplication, chacun des ensembles ci-dessous est un anneau commutatif unitaire. ZZ ID Q IR C . Le neutre est 0. L’ unité est 1.Exemple 2( M ( IR ) , + , x ) est un anneau unitaire non commutatif.3,3 0 0 0O = 0 0 0Le neutre est . 0 0 01 0 0I = 0 1 0L’ unité est .0 0 1Page 15"˛ì·"·î··""˛""ï˛ï·"""˛˛î˛í˛ì˛·˛·ï·ï·í˛˛""˛"I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première a nnéeII R ègles d e calcul d ans un anneau1. Notion de multiple n termes égauxDéfinitionsi n> 0 alors n a = a + a + a + ... + asi n= 0 alors n a = 0An ZZ,a A ,si n< 0 alors n a = ( - n ) ( -a ) = ( -a ) + ( -a ) + ( -a ) + ... + ( -a )( - n ) termes égauxPropriétés (admises)n,m ZZ,a A ,na + ma = ...
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Algèbre linéaire & géométrie Cours
C hap 2 Structures algébriques fondamentales
Partie 4 Structure d’anneau et de corps
I D éfinition
Soit A un ensemble muni de deux LCI + et .
On dit que ( A , + , ) est un anneau lorsque :
• ( A , + ) est un groupe abélien
• est associative dans A
• est distributive par rapport à + dans A
Si de plus la LC I est commutative, l’anneau est dit commutatif.
L’ élément neutre de A pour l’addition est appelé neutre de
l’anneau, on le note 0 .A
L’ élément neutre de A pour la multiplication, s’ il existe, est appelé
unité de l’anneau, on le note 1 . L’ anneau est alors dit unitaire.A
Exemple 1
Pour l’addition et la multiplication, chacun des ensembles ci-
dessous est un anneau commutatif unitaire.
ZZ ? ID ? Q ? IR ? C . Le neutre est 0. L’ unité est 1.
Exemple 2
( M ( IR ) , + , x ) est un anneau unitaire non commutatif.3,3
0 0 0? ?
? ?
O = 0 0 0Le neutre est . ? ?
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I = 0 1 0L’ unité est .? ?
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première a nnée
II R ègles d e calcul d ans un anneau
1. Notion de multiple
n termes égauxDéfinition
si n> 0 alors n a = a + a + a + ... + a?
?
si n= 0 alors n a = 0? A
n ZZ,a A ,?
si n< 0 alors n a = ( - n ) ( -a )?
? = ( -a ) + ( -a ) + ( -a ) + ... + ( -a )?
( - n ) termes égaux
Propriétés (admises)
n,m ZZ,a A ,na + ma = (n + m)a
n,m ZZ,a A ,n(ma) = (nm)a
2. Notion de puissance
n facteurs égauxDéfinition
n
si n > 0 alors a = a a a ... a?
*
n IN ,a A ,?
n
si n = 0 alors a = 1? A
Puissances d’exposant négatif
Quand l’élément a est inversible et seulement dans ce cas :
-n
n -1
a = a ( )
( - n ) facteurs
-1 -1 -1 -1
égaux= a a a ... a
Propriétés (admises)
* n m n + m
n,m IN ,a A ,a a = a
* n m nm
n,m IN ,a A ,(a ) = a
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Mathématiques di scrètes Cours Jean Lory
3. Régles de calcul dans un anneau
i) a ( b - c) = a b - a c
ii) ( b - c) a = b a - c a
iii) a 0 = 0A A
iv) 0 a = 0A A
v) a ( - b ) = ( - a ) b = - ( a b )
vi) ( - a ) ( - b ) = a b
vii) ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d
2 2 2
viii) ( a + b ) = a + a b + b a + b
Preuve de i)
a ( b - c) + a c = a ( ( b - c ) + c )
= a b
a ( b - c) = a b - a c
Preuve de iii)
remplacer b par c dans i)
Preuve de v)
remplacer b par 0 dans i)A
4. Formule d u binôme d e Newton (admise)
Dans un anneau commutatif ( A , + , ), on a :
p = n
n p p n p
a,b A , n IN, a + b = C a b( ) ? n
p = 0
Remarque
Valide aussi dans un anneau non commutatif à condition que les
éléments a et b vérifient a b = b a.
Rappel
n!p
C =
n
(n p)!p!
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première a nnée
III Eléments particuliers d ’u n a nneau
1. Exercice
0 0 0 0 0 0? ? ? ?
? ? ? ?
0 0 0 615 0 0C alculer le produit ? ? ? ?
? ? ? ?
148 0 0 222 2562 0
0 0 0? ?
? ?
M = 6 0 0C alculer les puissances successives de la matrice .? ?
? ?
2 3 0
2. Eléments i nversibles
A u moins 1 , s’ il existe, est inversible.A
3. Eléments d iviseurs de zé ro
Définition
Deux éléments a et b d’ un anneau ( A , + , ) sont des
diviseurs de zéro lorsque :
• a 0A
• b 0A
• a b = 0A
Définition
Un anneau sans diviseurs de zéro est dit intègre.
Les anneaux ci-dessous sont tous intègres.
ZZ ? ID ? Q ? IR ? C
Pour l’ensemble des réels par exemple :
a,b IR, a b = 0? a = 0oub = 0
4. Eléments n ilpotents
Un élément a d’ un anneau ( A , + , ) est nilpotent lorsque :
• a 0A
* n• n IN , a = 0A
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Mathématiques di scrètes Cours Jean Lory
IV L’e nsemble d es entiers m odulo n
Théorème (admis)
( Z , + , ) a une structure d’anneau commutatif unitaire.n
V Structure d e corps
1.D éfinition
Un corps est un anneau unitaire dont tous les éléments non
nuls sont inversibles.
Exemples
Pour l’addition et la multiplication, chacun des ensembles ci-
dessous est un corps commutatif.
Q ? IR ? C
2. Théorème (immédiat)
( K , + ) groupe abélien?
? *
( K , + , ) corps ssi ( K , ) groupe?
?
distributive par rapport à + dans K?
Remarque
Dans un anneau, il est « naturel » d’ introduire une soustraction
définie par :
x,y A ,x y = x + ( y)
Dans un corps commutatif, on peut en plus définir une division de la
façon suivante :
x
* 1
x K,y K , = x y
y
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première a nnée
3. Théorème
Tout corps est intègre.
Preuve
Supposons que deux éléments a et b de ce corps vérifient
a b = 0 et a 0K K
-1 -1
a ( a b ) = a 0K
-1
( a a ) b = 0K
1 b = 0K K
b = 0K
On a donc bien
a,b K, a b = 0? a = 0oub = 0
4. Théorème
Tout anneau intègre et fini est un corps.
Preuve
Soit un anneau ( A , + , ) intègre et fini.
*
Soit a A un élément fixé dont on cherche l’inverse.
*
On considère l’application f définie dans A par f( u ) = a u.
( H ) f( u ) = f ( v )
a u = a v
a u - a v = 0A
a ( u - v ) = 0A
u - v = 0A
( C ) u = v
*
u , v A , f( u ) = f ( v ) ? u = v
On a montré que f est injective, comme la source et le but sont finis
et ont le même nombre d’ éléments, on en déduit que f est bijective.
L’ élément 1 a donc un unique antécédent a’ qui vérifie donc:A
a a’ = 1 a’ est l’inverse à droite de aA
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Mathématiques di scrètes Cours Jean Lory
On montrerait de même a admet aussi un unique inverse à
gauche a’ ’ :
a’ ’ a = 1A
C alculons maintenant
a’ ’ ( a a’ ) = ( a’ ’ a ) a’ =

L'associativité donne
a’ ’ ( a a’ ) = ( a’ ’ a ) a’
c'est à dire
a’ ’ = a’
On a donc prouvé que :
* *
a A ,!a' A ,a a' = a' a = 1
A
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