cours et exercices corrigés

Jean Lory

Description

·Annexe au Mathématiques d iscrètesChapitre 2Jean LoryA. Anneau des entiers mo dulo n1. Les entiers modulo 6On vous demande ici d’étudier cet exercice corrigé.1.Construire la table de Pythagore de l’addition dans Z .6 2.Construire la table de Pythagore de la multiplication dans Z .6 3 .Etudier la structure de ( Z , + , ).6 4.Préciser si l’ensemble des entiers modulo six possède des éléments diviseurs de zéro, inversibles, nilpotents ou encore idempotents.1. Table de Pythagore de l’addition dans Z . 6+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 42. Table de Pythagore de la multiplication dans Z . 6x 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 13 . Etude de l’additionL’addition est une loi de composition interne dans Z car dans chaque case 6on trouve un élément de Z et un seul.6˛·˛""I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première annéeL’addition est commutative dans Z car la table est symétrique par rapport à 6sa première diagonale.L’addition est associative dans Z , c’ est à dire que:6x,y,z Z , x + y + z = x + y + z( ) ( )6Ceci ne peut pas être prouvé avec la table et nécessite donc une preuve spécifique:x,y,z Z ,x + y + z = x + y + z( )6= x + y + z( )= (x + y) + z= x + y + z= x + y + z( )L’ensemble des entiers modulo 6 admet un élément neutre: pour 0l’addition, comme le montre le contenu de la seconde ligne et de la seconde ...

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Extrait

Mathématiques discrètes

A. Anneaudes entiers modulo n

1.Les entiers modulo 6 On vous demande ici d’étudier cet exercice corrigé.

Annexe au Chapitre 2

Jean Lory

1. Construirela table de Pythagore de l’addition dansZ 6 . 2. Construirela table de Pythagore de la multiplication dans Z 6 . 3. Etudierla structure de ( Z 6 , + ,´). 4. Précisersi l’ensemble des entiers modulo six possède des éléments diviseurs de zéro, inversibles,nilpotents ou encore idempotents. 1. Table de Pythagore de l’addition dans Z 6 . + 0 1 2 3 4 5 00 1 2 3 4 5 112 3 4 5 0 223 4 5 0 1 334 5 0 1 2 445 0 1 2 3 550 1 2 3 4 2. Table de Pythagore de la multiplication dans Z 6 . x 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 012 3 4 5 2 0 2 402 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 204 2 5 0 5 4 3 21 3. Etude de l’addition L’addition est une loi de composition interne dans Z 6  car dans chaque case on trouve un élément de Z 6 et un seul.

I.U.T. d’Amiens

D.U.T. Informatique

Première année

L’addition est commutative dans Z 6 car la table est symétrique par rapport à sa première diagonale.

L’addition est associative dans Z 6 , c’est à dire que: " x , y , z Î Z 6 , x # ( y # z ! 1 ( x # y ! # z Ceci ne peut pas être prouvé avec la table et nécessite donc une preuve spécifique: " x , y , z Î Z, x # ( y # z ! 1 x # y # z 6 x ( y z ! 1 ## x yz 1 ( # ! # 1 x # y # z 1 ( x # y ! # z

L’ensemble des entiers modulo 6 admet un élément neutre:pour 0 l’addition, comme le montre le contenu de la seconde ligne et de la seconde colonne.

Tout élément de Z 6 admet, dans Z 6 , un élément opposé comme le montre le tableau suivant qui a été complété en utilisant la table de Pythagore.

Elément x0 1 2 3 4 5 Opposé -x0 5 4 3 2 1

En résumé, on peut dire que l’ensemble des entiers modulo 6, muni de l’addition possède une structure de groupe abélien.

3.Etude de la multiplication La table de Pythagore de la multiplication dans Z 6 montre de même que cette opération est une loi de composition interne dans Z 6 qu’elle est , commutative dans cet ensemble et que l’élément neutre est. 1 Avec la même méthode que celle utilisée ci-dessus pour démontrer que l’addition est associative dans Z 6 , on prouverait facilement que la multiplication est associative dans Z 6 qu’elle est distributive par rapport à et l’addition dans Z 6 .

Par contre, on remarquera que tous les éléments ne sont pas inversibles.

3. Conclusion ( Z 6 , + ,´)a une structure d’anneau commutatif unitaire.

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Mathématiques discrètes

Travaux dirigés

Jean Lory

4. Eléments particuliers de cet anneau On trouve deux paires de diviseurs de zéro: et etaussi queet . 2 33 4 Ceci montre que l’anneau étudié n’est pas intègre et confirme ainsi qu’il ne s’agit pas d’un corps. On ne trouve que deux éléments inversibles: etqui sont leurs propres 1 5 inverses. C’est pour cette raison qu’il ne s’agit pas d’un corps.

On ne trouve aucun élément nilpotent, en effet si on calcule toutes les puissances de chacun des éléments non nuls de Z 6 , on ne trouve jamais la classe de zéro :

Nombre Puissancesde ce nombre 1 1 , 2 2 4 3 3 4 4 , 5 1 5 On trouve quatre éléments idempotents : 0 , 1 , 3 et 4 .

2.urtSederutcZ( n , + ,´) avec n quelconque Tout ce qui a été prouvé avec les entiers modulo 6 peut être prouvé avec des entiers modulo n. ( Z n , + ,´)anneau commutatif unitaire

Mais, si n n'est pas premier, certains éléments ne seront pas inversibles, on trouvera des diviseurs de zéro et il pourra éventuellement y avoir des éléments nilpotents.

B. Corpsdes entiers modulo n

1.Les entiers modulo 13 * On a déjà démontré que( Z 13 Zet (, + ) 13 ,´) sontdes groupes abéliens et on montrerait facilement que la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans Z 13 .

On en déduit que( Z 13 , + ,´)a une structure de corps commutatif.

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I.U.T. d’Amiens

D.U.T. Informatique

Première année

2.curteruted(ZS n , + ,´) avec n premier ( Z n , + ,´)corps commutatif Tous les éléments non nuls sont inversibles, aucun élément n'est diviseur de zéro et aucun élément n'est nilpotent. 3.Démonstration ( Z n , + ,´)premierssi ncorps commutatif. PreuveÞ ( H )n non premier n = p´< q < net 11 < p < nq avec p ´ q 1 p ´ q 1 n 0 1 p 0 ¹ q ¹ 0 ( Z n , + ,´) non intègre ( C )( Z n , + ,´) n’est pas un corps Donc, par contraposée :( Z n , + ,´)corps commutatifÞpremier n PreuveÜ ( H )n est premier on suppose que l’anneau possède deux diviseurs de zéro p ´ q 1 0 p ´ q 1 0 p´qº0 modulo n p´q est donc un multiple de n ( p est un multiple de n ) ou ( q est un multiple de n) ( pº0 modulo n ) ou ( qº0 modulo n ) p 1 0 ouq 1 0 ( C)( Z n , + ,´) est un anneau fini et intègre donc un corps

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