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Cours - Fonctions usuelles

11 pages
777c Christophe Bertault - MPSIFonctions usuellesLes résultats de ce chapitre doivent être connussur le bout des doigts. Beaucoup d’entre eux sont de simples rappels.1 Fonction valeur absolueDéfinition (Fonction valeur absolue) √ x si x> 02• Soit x∈R. On appelle valeur absolue de x le réel : |x| = x = −x si x< 0.h iPour tout x∈R : |x|> 0 et |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 . y =|x|Egalement, pour tous x,y∈R : |xy| =|x|.|y|.∗• La fonction valeur absolue est paire, continue surR et dérivable surR — pas en 0.• Une valeur absolue peut toujours s’interpréter comme une distance : pour tous réels x et y,|x−y| est la distance entrex et y sur la droite réelle.ε ε yx−ε x x+εInégalité triangulaire : |x|−|y| 6|x±y|6|x|+|y|. |x−y|Enfin pour tous x,y∈R et pour tout ε> 0 :|x−y|<ε ⇐⇒ x−ε 1(x+1)−2x−(x−1) = 2−2x si 06x< 1Pour tout x∈R : f(x) = (x+1)+2x−(x−1) = 2x+2 si −16x< 0 −(x+1)+2x−(x−1) = 0 si x<−1.2 Fonctions puissances (entières), polynomialeset rationnelles2.1 Fonctions puissances (entières)Définition (Fonctions puissances (entières))n n• Soient x∈R et n∈N. On appelle x puissance n, noté x , le réel x =x×x×...×x.| {z }n fois1n nSi n est un entier strictement négatif, alors−n∈N et on appelle x puissance n, notée x , le réel x = ...
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c Christophe Bertault - MPSI
Fonctions usuelles
Les résultats de ce chapitre doivent être connussur le bout des doigts. Beaucoup d’entre eux sont de simples rappels.
1 Fonction valeur absolue
Définition (Fonction valeur absolue) √ x si x> 0
2• Soit x∈R. On appelle valeur absolue de x le réel : |x| = x = −x si x< 0.h i
Pour tout x∈R : |x|> 0 et |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 . y =|x|
Egalement, pour tous x,y∈R : |xy| =|x|.|y|.
∗• La fonction valeur absolue est paire, continue surR et dérivable surR — pas en 0.
• Une valeur absolue peut toujours s’interpréter comme une distance : pour tous réels x et y,|x−y| est la distance entre
x et y sur la droite réelle.
ε ε yx−ε x x+εInégalité triangulaire : |x|−|y| 6|x±y|6|x|+|y|.
|x−y|Enfin pour tous x,y∈R et pour tout ε> 0 :
|x−y|<ε ⇐⇒ x−ε<y < x+ε |x−y|6ε ⇐⇒ x−ε6y6 x+ε
et⇐⇒ y∈ ]x−ε,x+ε[ ⇐⇒ y∈ [x−ε,x+ε].
Exemple La fonction x→| x+1|−2|x|+|x−1| est représentée sur la figure ci-contre.
Eneffet Notonsf cettefonctionetdéterminons-enuneexpressionexplicite.
(x+1)−2x+(x−1) = 0 si x> 1
(x+1)−2x−(x−1) = 2−2x si 06x< 1
Pour tout x∈R : f(x) = (x+1)+2x−(x−1) = 2x+2 si −16x< 0 −(x+1)+2x−(x−1) = 0 si x<−1.
2 Fonctions puissances (entières), polynomiales
et rationnelles
2.1 Fonctions puissances (entières)
Définition (Fonctions puissances (entières))
n n• Soient x∈R et n∈N. On appelle x puissance n, noté x , le réel x =x×x×...×x.| {z }
n fois
1n nSi n est un entier strictement négatif, alors−n∈N et on appelle x puissance n, notée x , le réel x = .
−nx nn 1 1m+n m n mn m n n n −n• Avec des notations évidentes : x =x x , x = x , (xy) =x y et x = = .
nx x
n• Pour tout n∈ Z, la fonction x→ x a la même parité que n. Elle est définie et dérivable (donc continue) sur son
∗ n−1ensemble de définition (R si n> 0,R si n< 0) et sa dérivée est la fonction x→ nx .
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• Allure des courbes représentatives et positions relatives :
n = 4
n = 3↓ւ
← n = 2
← n = 1
n pair > 0 n impair> 3 n = 0ւ
n =−1ւn =−2ց
n =−2←
n =−3→ տ
n =−3ր
n =−1
n pair < 0 n impair < 0
Les positions relatives se lisent sur les courbes. Retenez bien la séparation des cas [0,1] et [1,∞[.
1 1 14 3 2Pour tout x∈ ]0,1] : 06 ...6 x 6 x 6 x 6 x6 16 6 6 6...
2 3x x x
1 1 1 2 3 4et pour tout x∈ [1,∞[ : 06 ...6 6 6 6 16x6 x 6 x 6x 6...
3 2x x x
2.2 Fonctions polynomiales et rationnelles
Définition (Fonctions polynomiales et rationnelles)
n n−1 2• On appelle fonction polynomiale toute fonction deR dansR de la forme x→ a x +a x +...+a x +a x+an n−1 2 1 0
où a ,a ,...,a ∈R. Si a = 0, où n est la puissance la plus élevée présente dans l’expression de la fonction, alors on dit que0 1 n n
la fonction polynomiale en question est de degré n.
Toute fonction polynomiale est définie et dérivable (donc continue) surR.
• On appelle fonction rationnelle toute fonction quotient de deux fonctions polynomiales dont le dénominateur n’est pas
n n−1 2a x +a x +...+a x +a x+an n−1 2 1 0
la fonction constante égale à 0, i.e. toute fonction deR dansR de la forme x→
m m−1 2b x +b x +...+b x +b x+bm m−1 2 1 0
où a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b ∈R avec b = 0.0 1 n 0 1 m m
Toute fonction rationnelle est définie et dérivable (donc continue) sur son ensemble de définition. Les points d’une fonction
rationnelle en lesquels elle n’est pas définie, qui sont les zéros de son dénominateur, sont appelés ses pôles.
Explication A quoi ça ressemble, une fonction polynômiale? Vous connaissez le cas des fonctions polynomiales de
degré 0 (fonctions constantes), 1 (fonctions affines, dont le graphe est une droite) et 2 (paraboles). Et en général?
n n−1 2Soit f une fonction polynomiale, disons x→ a x +a x +...+a x +a x+a avec a ,a ,...,a ∈R et a = 0 — doncn n−1 2 1 0 0 1 n n
f(x) a a a f(x)n−1 1 0
f est de degré n. Pour tout x∈R : = 1 + +...+ + , donc lim = 1. Il en découle qu’aux
n n−1 n nx→∞a x a x a x a x a xn n n n n
nvoisinages de∞ et−∞, f se comporte à peu près comme la fonction x→ a x . Cela ne veut pas dire que les graphes de cesn
fonctions viennent se coller l’un contre l’autre, mais qu’ils ont même allure. Poursuivons maintenant sur des exemples.
Trois
bosses
UneUne bossebosse
Quatre
bosses 14 3 2 4 5 4 3 2 5y = x −5x +5x +5x −6x+8y =x −7x +14x −8x+2 y =x y =x
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On voit bien sur ces quatre courbes que les deux premières ont la même allure aux voisinages de−∞ et∞, de même que les
deux dernières. On observe « au milieu » un certain nombre de « bosses » (tangente horizontale). Y a-t-il ici une règle? Oui.
′Reprenons notre fonction polynomiale f de degré n. Le graphe de f a autant de bosses que f a de racines distinctes, puisque
′chaque bosse est le signe d’une tangente horizontale. Or f est polynomiale de degré n−1, donc a au plusn−1 racines distinctes.
Les deux premières courbes, qui représentent des fonctions polynomiales de degré 4, ne pouvaient avoir que 4−1 = 3 bosses au
4maximum. On voit bien sur le graphe de x→ x que ce nombre maximum de trois bosses n’est pas forcément atteint.
Enpratique Nousconservonsicilesnotationsdelaremarqueprécédente.Commentcalculerleslimitesdef en±∞?
tend vers 0 quand x tend vers±∞z }| { a a a an−1 2 1 0n nOn factorise par le terme dominant : f(x) = a x 1+ +...+ + + . Ainsi limf = lim a xn n
n−2 n−1 na x a x a x a x ∞ x→∞n n n n
net limf = lim a x . On procède de même avec les fonctions rationnelles en factorisant au numérateur et au dénominateur.n
−∞ x→−∞
3 Fonctions exponentielle, logarithme
et puissances (quelconques)
3.1 Fonctions exponentielle et logarithme
Définition (Fonctions exponentielle et logarithme)
′• La fonction exponentielle exp est définie et dérivable (donc continue) surR et : exp = exp.
1Le nombre e est noté e. Il vaut environ e≈ 2,718.
1∗ ∗ ′• La fonction logarithme (népérien) ln est définie et dérivable (donc continue) surR et : ∀x∈R , ln (x) = .+ + x
∗• La fonction exponentielle réalise une bijection (strictement croissante) de R sur R . Sa réciproque est la fonction+
∗logarithme, qui réalise donc une bijection (strictement croissante) deR surR. Bref :+
x ∗ lnx∀x∈R, lne =x et ∀x∈R , e =x.+y =x
e
• Transformation somme/produit :
x+y x y∀x,y∈R, e = e e ,
1 ∗et ∀x,y∈R , ln(xy) = lnx+lny.+xy =e
En particulier :
e1 1 1−x ∗∀x∈R, e = et ∀x∈R , ln =−lnx.+xe x
• Limites usuelles :
xe lnx−xy = lnx lim =∞, lim xe = 0, lim = 0 et lim xlnx = 0.
x→∞ x→∞ x→∞ x→0x x
x$$$ Attention ! e , ce n’est pas « e multiplié x fois par lui-même », car en général x n’est pas un entier naturel. Que√
xsignifierait « e multiplié 2 fois par lui-même »? La notation « puissance » de e n’est qu’une notation. On l’utilise par souci
de commodité parce que l’exponentielle transforme les sommes en produits comme le font les puissances classiques. Mais dans
xce cas, qu’est-ce donc qu’e si ce n’est pas « e multiplié x fois par lui-même »? C’est un mystère pour le moment.
3.2 Fonctions puissances (quelconques)
nJusqu’ici, nous avons seulement défini x pour n entier. Nous généralisons à présent ce point de vue.
∗Définition (Puissances quelconques d’un réel strictement positif) Soient x∈R et y∈R. On appelle x puissance y,+
y y ylnxnoté x , le réel x =e .
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$$$ Attention !
y ylnx• Cette nouvelle définition des puissances « x =e » n’est valable que pour des valeurs strictement positives de x.
y• Ici aussi, la notation « puissances » n’est qu’une notation : x n’est pas le produit de x, y fois.
y yIl n’existe aucune autre définition de x dans le cas où y est un réel quelconque. Par conséquent, quand vous voyez x
y ylnxquelque part, l’exponentielle et le logarithme doivent vous sauter aux yeux : x =e .
Le théorème suivant montre que notre nouvelle notion de puissance est une généralisation de la notion classique.
Théorème (Propriétés algébriques des puissances)
∗(i) Pour tout x∈R n net pour tout n∈N :+ x =x
ր տDéfinition classique : Nouvelle définition :
n n nlnxx =x×x×...×x x =e| {z }
n fois
∗ y(ii) Pour tout x∈R et pour tout y∈R : ln x = ylnx.+
′ ∗ ′(iii) Pour tous x,x ∈R et pour tous y,y ∈R :+ y′′ ′ ′ 1 1yy+y y y yy y ′ y y ′y −yx =x x , x = x , (xx ) =x x et x = = .
yx x
Démonstration
n foisz }| {
n n nlnx(i) Notons x le nombre x×x×...×x et x le nombre e . Les ... désignant n occur-
classique nouveau
rences dans tous les cas :
n nlnx lnx+lnx+...+lnx lnx lnx lnx n
x nouveau =e =e =e ×e ×...×e =x×x×...×x = x .classique

y ylnx(ii) ln x = ln e = ylnx.
 ′ ′ ′ ′ ′y+y (y+y )lnx ylnx+y lnx ylnx y lnx y y x =e =e =e e =x x . ′ ′ ′ ′ y (ii) yyy yy lnx y ln(x ) y x =e = e = x .
′ ′ ′(iii) ′ y yln(xx ) ylnx+ylnx ylnx ylnx y ′y(xx ) =e =e =e e =x x . y 11 1 1 −y −ylnx −y −ylnx yln( )
x x =e = = et x =e =e = .
ylnx ye x x
Théorème (Etude des fonctions puissances) Soit α∈R.
← α> 1
α(i) La fonction x→ x est définie et dérivable (donc continue) sur← α = 1 ∗ α−1R . Sa dérivée est la fonction x→ αx .+
α ∗ ∗(ii) Si α = 0, la fonction x→ x réalise une bijection deR surR .+ +
1
αSa réciproque est la fonction x→ x .
(iii) Allure des courbes représentativeset positions relatives:← 0<α < 1
Les positions relatives se lisent sur les courbes. Retenez bien la séparation
des cas ]0,1] et [1,∞[.
α = 0← β αPour tous x∈ ]0,1] et α,β∈R : α6β =⇒ x 6 x .
α< 0 α β← Pour tous x∈ [1,∞[ et α,β∈R : α6β =⇒ x 6 x .
αDémonstration Pour tout α∈R, notons f la fonction x→ x .α
∗(i) Soit α∈ R fixé. La fonction ln est définie et dérivable sur R ; la fonction m : x→ αx est définie et+ α
dérivable sur R; la fonction exp est définie et dérivable sur R. Par composition de ces trois fonctions, la
∗ ∗fonction f = exp◦ m ◦ ln est définie et dérivable sur R . Alors pour tout x∈R , d’après la formule deα α + +
α′ αlnx −1 α α−1dérivation des fonctions composées : f (x) = e = αx x =αx .α
x
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