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§5 Généralisation et propriétés de l’intégrale définie 5.1 Aire algébrique bEn définissant l’intégrale définie f(x)dx , l’aire de la figure comprise entre le graphique G de f, l’axe des òaabscisses (OI) et les verticales x = a et x = b, la fonction f était positive sur l’intervalle [a,b]. Dans le cas où la fonction f est négative sur l’intervalle [a,b], la définition et le calcul de l’intégrale définie restent semblables mais, névidemment le résultat sera négatif ; en effet dans la somme S’ = f(x ) D x , les f(x ) sont négatifs n i i ii=1(lesD x restant positifs ). iL’intégrale définie garde son sens géométrique, mais cette aire est affectée d’un signe, soit le signe positif si le graphique est au dessus de l’axe des abscisses (OI), soit le signe négatif si le graphique est au dessous de (OI). bf(x)dx représente donc une aire algébrique. òa 5.2 Propriétés de l’intégrale définie b b b1) (a f(x) – b g(x)) dx = a f(x) dx – b g(x) dx , " {a,b} Ì r (découle de la propriété 1) des primitives) ò ò òa a aa b a2) i) f(x)dx = 0 ii) f(x)dx = - f(x)dx ò ò òa a bb c b b b iii) f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx iv) Si f(x) £ g(x) , "x˛[a,b], alors f(x)dx £ g(x)dx ò ò ò ò òa a c a a3) a) Si f est paire dans l’intervalle [-a,a], a a alors f(x)dx = 2 f(x) dx ò ò-a 0 b) Si f est impaire dans l’intervalle [-a,a], a alors f(x)dx = 0 ò-a démonstrations en exercice. 8 å×1§6 Notion de différentielle 6.1 Rappel : f (x) - f (x )0La ...

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§5

Généralisation et propriétés de l’intégrale définie

5.1 Aire algébrique   b En définissant l’intégrale définie ò f(x)dx  , l’aire de la figure comprise entre le graphiqueG de f, l’axe des a abscisses (OI) et les verticales x = a et x = b, la fonction f étaitospivitesur l’intervalle [a,b]. Dans le cas où la fonction f estneivatégsur l’intervalle [a,b], la définition et le calcul de l’intégrale définie restent semblables mais, n évidemment le résultat sera négatif ; en effet dans la somme S’ n  = å f(x i )×D i x , les f(x i ) sont négatifs i=1 (les D i x restant positifs ). L’intégrale définie garde son sens géométrique, mais cette aire est affectée d’un signe, soit le signe positif si le graphique est au dessus de l’axe des abscisses (OI), soit le signe négatif si le graphique est au dessous de (OI). b ò f(x)dx représente donc uneaire algébrique.  a

5.2 Propriétés de l’intégrale définie  

 

b b b 1) ò (af(x)± bg(x)) dx= a  ò f(x) dx± b  ò g(x) dx ,"{a,b}Ì  r(  1) des primitives tédécoule de la proprié ) a a a a b a 2) i) ò f(x)dx=0  ii) ò f(x)dx=- ò f(x)dx   a a b

 

3)  

 

 

   

 

 

 

b c b iii) ò f(x) dx=  ò f(x) dx+   ò f(x) dx   a a c

b b iv) Si f(x)£g(x) ,"xÎ[a,b], alors ò f(x)dx  £  ò g(x)dx   a a

a) Si f est paire dans l’intervalle [-a,a],    a a  alors ò f(x)dx=2 ò f(x) dx   -a 0

  b) Si f est impaire dans l’intervalle [-a,a], a alors ò f(x)dx=0   -a

  

 

 

 

démonstrations en exercice. 

8

 

 

 

§6 Notion de différentielle 1  

6.1 Rappel:  La fonction f est dite dérivable en x 0  si  l    im f (x)-f (x 0 ) =f ' (x 0 ) x®x 0 x-x 0 existe dans r , avec f’(x 0 ) pente de la tangente t àG f  au point P(x 0 ,f(x 0 )). En d’autres termes, la droite t " approche " le graphiqueG f  au voisinage de x 0 , l’erreur commise sur les ordonnées étant négligeable en regard de l’accroissement h = x –x 0 (Û x = x 0 +h ). Une équation cartésienne de t est t : y = f(x 0  + f)  ' (x 0 ) (x –x 0 ) ;

6.2 Interprétation : 

x f  -- + im =  comme  x l ® im x 0 x )(xf - - x (f 0 0 ) =' (x 0 )Û   x l ® im x 0 f(x) x- -f( x 0 x 0 ) -f'(x 0 )=0Û   x l ®x 0 f(x) f(x 0 ) x-  f'( x 0 x 0 )(x x 0 0  )    et donc  l im f(x)- f(x 0 )+f'(x 0 )(x-x 0 )=0Û  l im f(x)- f(x 0 )+f'(x 0 )×h=0 x®x 0 x®x 0  Û  l im f(x)- f(x 0 )+f'(x 0 )×h=0Û  l im MN=0 x®x 0 x®x 0

Interprétation géométrique: si f est dérivable en x 0 alors il existe une droite t, contenant le point P(x, 0 ,f(x 0 )), telle que pour x proche de x 0 t ayant la même abscisse x ., le nombre f(x) est proche de l’ordonnée du point de

Interprétation analytique: si f est dérivable en x 0 , il existe une application linéaire, noté df x 0 définie derdans rtelle que df x 0 = f  '  x(ah, où a (h) =  0 ), et dont le graphique est la droite t, tangente àG f au point P(x 0 ,f(x 0 )) . Cette application df x 0 s’appelle ladifférentiellede f en x 0 : elle est l’unique approximation linéaire de f au voisinage de x 0 . Une telle fonction f est diteffdienérbaitelen x 0 . Note : d’après ce qui précède, les notions de dérivabilité et de différentiabilité en x 0 sont équivalentes.

Exemples : h    1) si f(x) = x , alors df x 0 (h) = 1×h =    2) si f(x) = c , alors df x 0 (h) = 0×h = 0      3) si f(x) = x 2 , alors df x 0 (h) = (2x 0 )×h et la différentielle df x 0 dépend ici de x 0 .  

 

   

 

 

6.3 De divers abus : Historiquement, la notion de différentielle comme application linéaire a été formulée bien après la mise au point du calcul différentiel. Pour les besoins de la pratique, on commet certains abus simplificateurs. Le plus important consiste, lorsqu’on a une fonction f donnée par y = f(x) , à noter cette fonction f par y (alors que y n’est que la valeur de la fonction f en un xÎD f ).

                                                  1 Si x est une quantité variable, ilDe façon beaucoup moins rigoureuse que Newton en apparence, Leibniz utilise la notion d’infiniment petit. note dx un accroissement inf d i y n   it = é   s 2 i x m d a x l     + d   e (   d c x e ) t 2 ndpedéy é it e n   t ( u d a nbziL ie p q     , e x u   d e   d t   i e c   e q A u  .  t  u,eaiv n enq iSu ét .nait 2 pmexe ra e y  ai el g x e   b = l   t esglné 2 2xd y e   t     d e  ( e x m = r  x a ) v + e d dl tn  a ,srol 2 x x –     et    2 le = x 2  (dx)+ 2xdx 2 et donc term le x) + considère tout simplement comme nul, d’où : dy = 2xdx. Le manque de rigueur annoncé se situe à ce niveau. A priori, une quantité est nulle ou ne l’est pas. Elle ne peut pas l’être quand on le désire et ne plus l’être quand on ne le veut pas. Cette difficulté fut levée par Cauchy au début du XIX ème siècle grâce à la notion de limite, mais elle fit perdre la richesse intuitive de l’idée d’infiniment petit. Elle évitait cependant bien des erreurs à ceux qu i n’arrivaient pas à acquérir facilement l’intuition de ce qu’est un infiniment petit. La difficulté ne fut résolue complètement que par Abraham Robinson dans la seconde moitié du XX ème avec l’analyse non standard. Il nomma son invention ainsi par opposition à l’analyse classique qui se trouve donc considérée comme standard. Dans cette analyse non standard, on manipule donc des infiniments petits "actuels" par opposition aux infiniments petits "potentiels" de l’analyse classique. Le mot potentiel signifie ici que, quel que soit le nombre e > 0 envisagé, il existe des nombres strictement plus petits. Derrière cette idée, la notion de limite n’est pas loin.    9

  1)       

 

 

Soit f une fonction différentiable en x 0 et df x 0 sa différentielle en x 0 : dans df x 0  on remplace f par y et on omet l’indice x 0 ou df ) la valeur de dy(h),et on note dy ( d’où :  dy = f  ' (x 0 )× dy est alors un nombre ( considéré comme " variable dépendante " de xh ; 0 et de h ). Voici quelques conséquences de cet abus : si l’on poseDy = f(x 0 + h) –f(x 0 ), on a : l im f(x)- f(x 0 )+f'(x 0 )×h=0Û  l im  f(x)-f(x 0 ) -   f'(x 0 )×h=0Û  l im   Dy - dy=0 x®x 0 x®x 0 x®x 0 d’où im D   =1 ; De plus, si f  ' (x 0 )¹0, on a x l ® im x 0 Dy yd  =  x l ® im x 0 f(x 0 f' + (x h 0  ) ) - × f h   x( 0 ) =  x l ® im x 0 f(x 0 +h x-  -) x 0 f(x 0 ) × (x'f   1 0 ) =1 x l ®x 0 yd y

c’est cette dernière relation qui incite le physicien à remplacer, pour h®0 (ou x®x 0 ),Dy par dy. 

  2)nena t  snm iatn(xdy = f  ' plApuoiq 0 )× à la fonction identité f = idh (*) r  : on obtientdy = 1×h.  Or, pour cette fonction f, on a y = x ; d’où, avec l’abus traditionnel:h= x  d    et la formule (*) devientx(f  '  dy = 0 ) dxde laquelle on tire(xf  ' 0 x dy   =  d ) Remarque :Si f est différentiable pour tout x d’un intervalle I, on note encore, par abus,  sa différentielle = ' fd yxdx( ) ( oudf(x)=xd )x ' (f, ou encoref  ' (x) =  dx dy )  exemples : si y = f(x) = cos(x), alors dy = -sin(x) dx  si y = f(x) = x 3 , alors dy = 3x 2 dx

Note :soit une fonction f et une de ses primitives F avec F’(x) = f(x) : on a notéF(x) =  ò f(x)dx ;

 

 

   

si l’on pose y = F(x), alors dF(x) = dy = F’(x) dx = f(x)dx et donc ò f(x)dx = ò F'(x)dx = ò dF(x) = F(x);  de même dF(x) =d( ò f(x)dx ) = f(x) dx ( ou encore ; dF=F et d f=f )  la différentiation et l’intégration sont donc deux applicationsinversesl’une de l’autre.

6.4 Quelques théorèmes

Les théorèmes sur les dérivées peuvent être reformulés à l’aide de la notion de différentielle ( en commettant plus ou moins les abus vus plutôt ) . 1) Soit f différentiable en x et g différentiable en y = f(x) ; soit z = g(y) = g[f(x)] .

 

 

 

 

 

 

 

Alors g o est différentiable en x et on a :f zd xd  =  zd yd  × dx   yd .

dém : On a y = f(x)  d’où dy = f  ' (x) dx et  f  ' (x) =  d d x y    z = g(y) d’où dz = g'(y) dy et  g'(y) =  d dz y    z = (g o  et  (gof)'(x)  =  dz  dz = (gof)'(x) dx f)(x) d’où dx  et (gof) ' (x) =     (')yg×f )   ' (x

10

    Þ

 

d d z x  =  zd d  × dy   dx   y

2)  

 

3)  

   

 

Soit f et g deux fonctions différentiables en x et définies par u = f(x) et v = g(x). Alors f×g est différentiable en x et on advdu + u  d v =v)(u.

démonstration en exercice.

D’une manière analogue, tous les théorèmes concernant la dérivabilité peuvent être transcrits en termes de différentiabilité :

a) d(u+v) = du + dv b) d(ku) = k du c) d  u = vdu-udv    v v 2

§7 Méthodes d’intégration

7.1 Par substitution

Exemples d’introduction : 

1)

   

 

2)  

 

d) e)

f)

d(sin(u) = cos(u) du d(u 3 ) = 3u 2 du d(tan(u)) = (1 + tan 2 (u)) du

etc.…

soit à calculer  x 3 +2 2 3x 2 dx : on observe que (x 3 +2)' = 3x 2 donc si l’on pose f(x) = x, 3 +2, alors

l’intégrale s’écrit ò f 2 (x)×f'(x) dx= 1 3  f  3 (x)+c= 3 1 x(  3 +2) 3  +c . Si l’on pose t = f(x) = x 3 + 2, on a dt = 3x 2 dx, ce qui donne 3 2  2 2 3   ò  x+2 3x dx=  ò t dt= 1 3 t  +c=  1 3 (x 3 +2) 3  +c   soit à calculer sin 3 (x) dx : on a sin 3 (x) dx= sin 2 (x) sin(x) dx= (1-cos 2  dx(x) sin(x) . Si l’on pose t = cos(x), on a dt = -sin(x)dx, ce qui donne ò sin 3 (x) dx=   ò  (1-cos 2  dx(x) sin(x)= ò  1-t 2  (-dt)=  ò  t 2 -1 dt=  1 3 t 3  -t+c=cso 1 3   3 (x)-cos(x)+c  

Description de la méthode :

Soit à calculer h(x) dx I. Supposons de plus qu’il existe une, où h est une fonction définie sur un intervalle fonction f définie sur J dont on puisse facilement calculer les primitives et une fonction g : I®J telles que   g   de dérivée continue sur I etest dérivable et "xÎI, h(x) = f[g(x)]×g’(x) ( dans l’exemple 1) on a : h(x) = (x 3 +2)×3x 2 , f(t) = t 2  et g(x) = x 3 +2 )

Alors, si F est une primitive de f sur J, F o g est une primitive de h sur I. Preuve : (F o g)’(x) = F’[g(x)]×g’(x) = f[g(x)]×g’(x) = h(x)

Conséquence : 

On peut utiliser la méthode de substitution pour le calcul de h(x) dx si l’on peut reconnaître dans h(x) une expression g(x) telle queh(x) = f[g(x)]×g’(x), où g et f satisfont aux hypothèses décrites plus haut. On pose alors t = g(x) et par conséquent dt = g’(x) dx. On peut alors écrire :

h(x) dx= g'(x) dx f g(x)= dt f(t)=F(t)+c=F g(x)+c  

Remarque : Dans cette méthode, on introduit une nouvelle variable t qui est fonction de l’ancienne x  la fonction g fait correspondre à tout x un nouveau t .

 

11

Application au calcul d’une intégrale définie :

b Soit à calculer ò h(x) dx , où h est une fonction définie sur un intervalle I, avec queh(x) = f[g(x)]×g’(x); a posons t = g(x) , d’où dt = g’(x) dx ; on a alors :

b b  g(b) ò h(x) dx=  ò f[g(x)] ×g'(x) dx= [F(g(x))] b  = F(g(a))F(g(b)) -=  ò f(t) dt   a a a g(a)

Remarque :  Lors de la substitution donnée par t = g(x), les bornes d’intégrationaetbsont à changer eng(a)etg(b).

4 eit à calculer ò   2 2x 2 dx : Exempl :so 0 x+1 on remarque que (x 2 +1)’ = 2x ; posons donc t = x 2 +1 et dt = 2x dx , de plus si x = 4 alors t = 4 2 +1 = 17 et si x = 0, alors t = (0) 2 + 1= 1 ;  

alors

7.2 Intégration par " parties "

4 17 0 ò  x 2 2 + x 1 2 dx=   1 ò t   1 2 dt= t -1   1 7  1  = -1  () 17 -( -  ) 1 1 = 7 1-    1 +1=s.u  61 71  .  

 

Si u et v sont deux fonctions dérivables ( donc différentiables ) sur un intervalle I, nous avons vu que

Exemples : 

 

 

   

1)

2)

 

d(uv) = v du + u dv  

d’oùu dv = d(uv) - vdu 

et alors u dv= d(uv) - vdu= vdu - d(uv)= vduuv -  

ou encore  dxu(x) v'(x)= u'(x) dxu(x) v(x) - v(x)  

soit à calculer x cos(x) dx :

posons le s " parties " :

u = x    du dx =

dv = cos(x) dx   v = sin(x)  

D’où x cos(x) dx= dx sin(x) -x sin(x)= - (-cos(x))x sin(x)+c=x sin(x)+cos(x)+c .

pour les intégrales définies on a :

 

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b b ò u dv=  [ u v ] b a -  ò v du   a a