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Limite et continuité d’une fonction §1 Limites finies q Soit une fonction f et D son domaine de définition. f Définition 1 : On dit que le nombre réel x est un point adhérent de D si "h>0, $x˛D tel que | x - x |0, $d>0 tel que | x - x |0, $d>0 tel que 0 < | x - x |0, $d>0 tel que | x - x | A ...

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• Publié par: Viwyur
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

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Limite et continuité d’une fonction
§1 Limites finies
q Soit une fonction f et D son domaine de définition. f
Définition 1 : On dit que le nombre réel x est un point adhérent de D si "h>0, $x˛D tel que | x - x |<h 0 f f 0
(Û x - h < x < x + h). Le nombre x est dit isolé s’il n’est pas adhérent de D . 0 0 0 f
• remarques : - tout nombre x ˛ ]a,b[ est adhérent de ]a,b[. Les nombres a et b sont aussi adhérents de ]a,b[. 0
- si x ˇD , alors x peut être adhérent ou non : 3 est adhérent de [1,3[¨]3,7[ ( 7 aussi ) ; 0 f 0
mais 3 n’est pas adhérent de ]-¥.2]
• Définition 2 : Soit une fonction f , un nombre x adhérent de D et un nombre réel l . 0 f
On dit que la fonction f admet la limite l pour x tendant vers x ssi 0
"e>0, $d>0 tel que | x - x |<d Þ | f(x) - l |<e . 0
On note lim f (x) = l .
xfix 0
lim c = c• exemple : Fonction constante : f(x) = c
xfi x 0
En effet, "e>0, $d>0 tel que 0 < | x - x |<d Þ | c - c | < e . 0
• remarques : - en général d dépend de e et de x (le plus petit on prend e, le plus petit il faut prendre d). 0
- la valeur x = x est exclue de l’ensemble des nombres x pour lesquels on a 0
l’inégalité | f(x) - l |<e.
q Théorème 1 : La limite l est unique.
• démonstration :


§2 Limites infinies et à l’infini
q Soit une fonction f et D son domaine de définition. f
Définitions 3 : Soit une fonction f , un nombre x adhérent de D . On dit que : 0 f
lim f (x) = +¥ ssi "A>0, $d>0 tel que | x - x |<d Þ f(x) > A ; 0
xfix 0
lim f (x) = -¥ ssi "A>0, $d>0 tel que | x - x |<d Þ f(x) < -A ; 0
xfix 0
lim f (x) = l ssi "e>0, $B>0 tel que x > B Þ |f(x) - l | < e ;
xfi+¥
lim f (x) = l ssi "e>0, $ x < -B Þ |f(x) - l | < e ;
xfi-¥
lim f (x) = +¥ ssi "A>0, $B>0 tel que x > B Þ f(x) > A .
xfi+¥
( idem pour lim f (x) = -¥ , lim f (x) = +¥ , lim f (x) = -¥ ).
xfi+¥ xfi-¥ xfi-¥
• exemples :
Fonction réelle d’une variable réelle – Pierre Frachebourg 1 §3 Limites à droite, limites à gauche
q Soit une fonction f et D son domaine de définition. f
Définitions 4 : Soit une fonction f , un nombre x adhérent de D et un nombre réel l . 0 f
On dit que la fonction f admet la limite à droite l pour x tendant vers x si 0
"e>0, $d>0 tel que x < x < x + d Þ | f(x) - l |<e . On note lim f (x ) = l . 0 0
xfi x 0>
adhérent de D et un nombre réel l . 0 f
à gauche l pour x tendant vers x si 0
"e>0, $d>0 tel que x -d < x < x Þ | f(x) - l |<e . On note lim f (x ) = l . 0 0
xfi x
0<
• exemples :



§4 Propositions sur les limites finies
q Définitions 5 : Soit f et g deux fonctions et leurs domaines de définition respectifs D et D . f g
L’application f+g : D ˙ D fi r se nomme fonction somme de f et g . f g
x a (f+g)(x) = f(x)+g(x)
L’application lf : D fi r se nomme fonction produit de f par l . f
x a (lf)(x) = l× f(x)
L’application f × g : D ˙ D fi r se nomme de f et g . f g
x a (f× g)(x) = f(x) × g(x)
n
L’application f : D fi r se nomme fonction puissance de f . f
nn x a (f )(x) = [f(x)]
f
L’application : D ˙ D ˙{x˛r|g(x)„ 0} fi r se nomme fonction quotient de f et g . f g
g
f f (x)
x a (x) =
g(x)g
L’application g o f : {x˛r | x˛D et f(x)˛D } fi r se nomme fonction composée de f et g . f g
x a (gof)(x) = g[f(x)]
q Théorème 2 : Si f et g admettent chacune une limite en x , alors lim (f + g)(x) = lim f (x ) + lim g(x) 0
xfi x xfi x xfi x0 0 0
• remarques : - On démontre par récurrence que pour la somme, cette propriété s’étend à un
nombre quelconque de fonctions
- si lim f (x) = l , alors lim [f (x) - l ] = 0, car lim [f (x) - l ] = lim [f (x)+ (-l )] =
xfix xfix xfix xfix0 0 0 0
lim f (x)+ lim (-l ) = l + (-l ) = 0 .
xfix xfix0 0
q Théorème 3 : Si f admet une limite en x , alors lim (lf )(x) = l × lim f (x ) 0
xfi x xfi x0 0

q Lemme 1 : Lorsque x tend vers x , si l’un des facteurs d’une fonction produit a pour limite 0 et que l’autre 0
reste en valeur absolue strictement inférieur à un nombre réel, ce produit tend vers 0 .
Fonction réelle d’une variable réelle – Pierre Frachebourg 2
q Théorème 4 : Si f et g admettent chacune une limite en x , alors lim (f × g)(x ) = lim f (x )× lim g(x) 0
xfi x xfi x xfi x0 0 0
• remarque : On démontre par récurrence que cette propriété s’étend à un nombre quelconque de fonctions.
n
æ* n En particulier : "n˛n , lim f (x) = lim f (x )
xfi x x fi x0 0Ł ł
n *
q Théorème 5 : Si f admettant une limite en x est telle que f est définie pour n˛n -{1}, 0
n alors lim f (x) = . lim f (x)nxfi x 0 x fi x 0

q Lemme 2 : Lorsque x tend vers x , si le numérateur d’une fonction quotient a pour limite 0 et que le 0
dénominateur reste en valeur absolue supérieur à un nombre réel positif non nul,
ce quotient tend vers 0 .
q Théorème 6 : Si f et g admettent chacune une limite en x , la limite de g étant différente de 0, 0
lim f (x)
x fi x0f
alors lim (x) = .
xfi x 0 g lim g(x )
x fi x0
• remarque : Tous ces théorèmes s’appliquent aussi pour les limites à droite et à gauche.

§5 Calcul des limites des fonctions élémentaires
lim x = x• Fonction identité : f(x) = x
xfi x 00
En effet, "e>0, $d>0 tel que 0 < | x - x |<d Þ | f(x) – x | = | x – x | < e en prenant d=e. 0 0 0
n nn lim ax = ax• Fonction monôme : f(x) = ax
xfi x 00
næ
n æ n n En effet, lim ax = a lim x = a × lim x = ax
xfi x xfi x 0Ł ł0 0 x fi x
0Ł ł
n n-1 n-2 1
• Fonction polynôme : f(x) = a x + a x + a x + × × × +a x + a 0 1 2 n-1 n
n n - 1 n - 2lim f (x) = a x + a x + a x + × × × + a x + a alors
xfi x 0 0 1 0 2 0 n - 1 0 n0
En effet, il suffit d’appliquer le théorème 2 et la limite d’un monôme.
• Fonction irrationnelle : cf. le théorème 5 .
• Fonction fractionnaire : cf. le théorème 6 .
• remarque : Tous ces résultats s’appliquent aussi pour les limites à droite et à gauche.
Fonction réelle d’une variable réelle – Pierre Frachebourg 3
÷ ç÷ ç ÷ çö÷ ç
ö
÷ ç
÷ çö§6 Propositions sur les limites infinies
q Théorème 7 : Si f et g admettent chacune une limite finie, la limite de g étant différente de 0,
lorsque | x | tend vers +¥ , alors
lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x )
x fi+¥ x fi+¥ x fi+¥
lim (lf )(x) = l × lim f (x)
x fi+¥ x fi+¥
lim (f × g)(x) = lim f (x) × lim g(x )
x fi+¥ x fi+¥ x fi+¥
lim f (x)
x fi+¥f
lim (x) = et lim g(x) „ 0 .
x fi+¥ x fi+¥g lim g(x)
x fi+¥
• remarque : On peut voir, dans la démonstration du théorème 7, que les raisonnements sont analogues pour les
limites en x ou les limites pour –¥ . 0
Aussi, dans les théorèmes suivants, on omet parfois de le préciser.
q Théorème 8 : Si dans une fonction somme l’une des fonctions a pour limite +¥ ( resp. -¥ ) et l’autre est
bornée inférieurement ( resp. bornée supérieurement ), alors la fonction somme a pour limite +¥ ( resp. -¥ ) .
q Théorème 9 : Si dans une fonction produit l’une des fonctions admet une limite infinie et l’autre est bornée
inférieurement en valeur absolue par un nombre réel positif non nul, alors la fonction produit
admet une limite infinie.
q Théorème 10 : Si dans une fonction quotient le dénominateur admet une limite infinie et le numérateur est
borné supérieurement en valeur absolue par un nombre réel positif, alors la fonction quotient a pour limite 0 .

§7 Formes indéterminées ( ou indéterminations )
On peut résumer les théorèmes précédents par les "opérations algébriques" suivantes sur les limites :
Si lim f (x) = a et lim g(x) = b alors lim (f + g)(x) = a + b
Si lim f (x) = a et lim g(x) = b alors lim (fg)(x) = ab
f aæSi lim f (x) = a et lim g(x) = b (b„0) alors lim (x) =
g bŁ ł
f
Si lim f (x) = a (a„0) et lim g(x) = 0 alors lim (x) = +¥
g
f 0æ æSi lim f(x) = 0 et lim g(x) = 0 alors ( ? ) (non définie) lim (x) =
g 0Ł ł Ł ł

Fo