COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 4champs électriques250 4.1 champs électrostatiques4.1.1 calcul direct du champLe champ crée par une charge ponctuelle q est¡¡!!¡ 1 qPM q !¡E(M)˘ ˘ e r3 24…" PM 4…" r0 0dans le cas d’une distribution continue de charges le champ s’écrit¡¡!!¡ 1 dq(P)PMdE(M)˘34…" PM0dans le cas d’une distribution volumique dq(P)˘‰(P)d¿ le champ est¡¡!!¡ 1 ‰(P)d¿PMdE(M)˘34…" PM0¡¡!Ñ1 ‰(P)d¿PM!¡E(M)˘34…" PM0dans le cas d’une distribution surfacique dq(P)˘¾(P)dS le champ est¡¡!!¡ 1 ¾(P)dSPMdE(M)˘34…" PM0¡¡!ˇ!¡ 1 ¾(P)dSPME(M)˘34…" PM0dans le cas d’une distribution volumique dq(P)˘‚(P)dl le champ est¡¡!!¡ 1 ‚(P)dlPMdE(M)˘34…" PM0¡¡!Z!¡ 1 ‚(P)dlPME(M)˘34…" PM011COURS MP-PC 10:35/3 septembre 20104.1.2 théorème de gaussle flux du champ électrique à travers une surface fermée est égale àla sommes des charges intérieures a cette surface divisé par"0PÓ!¡ Q!¡ intE.dS˘"0pour appliquer le théorème de gauss il faut suivre la démarche suivante!¡1.étudier les symétries du champ E,qui doit avoir une seule composante!¡255 2.étudier les invariances du champ E ,qui doit dépendre d’une seule coor-donnée!¡3.étudier éventuellement la parité du champ E4.choisir la surface fermée de gauss qui doit passer par le poit M ou ondésire calculer le champ et que le champ doit etre constant sur cette sur-260 face.la surface de gauss doit etre!¡ !¡ !¡ !¡i)soit parallèle au champ E//dS donc E.dS˘EdS!¡ !¡ !¡ !¡ii)soit perpendiculaire au champ E?dS donc E.dS˘ ...

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Extrait

250

Chapitre 4

champs lectriques

4.1

4.1.1

champs lectrostatiques

calcul direct du champ

Le champ crÉe par une charge ponctuelle q est −−→ −→ 1qqP M −→ E(M)= =e r 3 2 4πε 0 P M4πε 0 r dans le cas d’une distribution continue de charges le champ s’Écrit −−→ −→ 1d q(P)P M d E(M)= 3 4πε 0 P M dans le cas d’une distribution volumiqued q(P)=ρ(P)dτle champ est −−→ −→ 1ρ(P)dτP M d E(M)= 3 4πε 0 P M Ñ −−→ −→ 1ρ(P)dτP M E(M)= 3 4πε 0 P M dans le cas d’une distribution surfaciqued q(P)=σ(P)dSle champ est −−→ −→ 1σ(P)dS P M d E(M)= 3 4πε 0 P M Ï −−→ −→ 1σ(P)dS P M E(M)= 3 4πε 0 P M dans le cas d’une distribution volumiqued q(P)=λ(P)d lle champ est −−→ −→ 1λ(P)d l P M d E(M)= 3 4πε 0 P M Z −−→ −→ 1λ(P)d l P M E(M)= 3 4πε 0 P M

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4.1.2

thorme de gauss

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le flux du champ Électrique À travers unesurface fermeest Égale À la sommes des charges intÉrieures a cette surface divisÉ parε 0 Ó P −→ −→ Q int E.d S= ε 0

pour appliquer le thÉorÈme de gauss il faut suivre la dÉmarche suivante −→ 1.Étudier les symÉtries du champE,qui doit avoir une seule composante −→ 2.Étudier les invariances du champE,qui doit dÉpendre d’une seule coor- 255 donnÉe −→ 3.Étudier Éventuellement la paritÉ du champE 4.choisir lasurface fermede gauss qui doit passer par le poit M ou on dÉsire calculer le champ et que le champ doit etre constant sur cette sur- face.la surface de gauss doit etre 260 −→ −→ −→ −→ i)soit parallÈle au champE//d SdoncE.d S=E dS −→ −→ −→ −→ ii)soit perpendiculaire au champE⊥d SdoncE.d S=0 5.appliquer la formule pour dÉterminer le module du champ E il faut remarquer que le thÉorÈme de gauss est une Équation scalaire et ne remplace pas la formule du champ utilisÉe dans le calcul direct qui est 265 une Équation vectorielle

4.1.3 circulation du champ :potentiel scalaire −→ La circulation ÉlÉmentaire du champEentre deux points A et B est dÉfinie par −→ −→ −→ dC AB (E)=E.d l la circulation totale est Z B −→ −→ −→ C AB (E)=E.d l A

calculons la circulation du champ Électrostatique crÉe par une charge ponctuelle Z B −→ q −→−→ C AB (E(M))=e r .d r 2 A 4πε 0 r Z B −→ q C AB (E(M))=d r 2 A 4πε 0 r −→ q q C AB (E(M))= − 4πε 0 r A 4πε 0 r B

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−→ on constate que la circulation du champEest la diffÉrence en deux point q diffÉrents de la meme fonction+V 0 appelÉ potentiel Électrostatique 4πε 0 r −→ C AB (E(M))=V(A)−V(B) −−−→−→ commedV=gradV.d l −−−→−→ −→ −→ dV=gradV.d l= −E(M).d l

La relation locale entre le champ Électrostatique et le potentiel scalaire correspondant est −→ −−−→ E(M)= −gradV(M)

ouV 0 est une constante

4.1.4

4.1.4.1

Z −→ −→ V= −E(M).d l+V 0

dipÔle lectrostatique

potentiel et champ

c’est l’ensemble de deux charges de deux memes valeures,de signes op- posÉes observÉes À une distance r trÈs grande devant la distance qui sÉ- pare les deux charges notÉe a . Un dipole est caractÉrisÉ par son moment dipolaire −−−−→ −→ p=q A − A + qui a pour unitÉC.m. le moment dipolaire est une grandeur intrinsÈque c’est À dire indÉpendante du choix du repÈre le potentiel crÉe par un dipole est Égale a

qacosθpcosθ V(M)= = 2 2 4πε 0 r4πε 0 r qu’on peut aussi Écrire sous forme intrinsÈque −→−→ p.r V(M)= 3 4πε 0 r le champ crÉe par un dipole s’obtient aisement en utilisant la formule −→ −−−→ E(M)= −gradV(M)

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−→ 2pcosθpsinθ −→−→ E(M)=e r +e θ 3 3 4πε 0 r4πε 0 r

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ou sous forme intrinsÈque

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−→ 1 −→−→−→ 2 −→ E(M)=[3(p.r)r−r p] 5 4πε 0 r

un dipole est dit rigide si son moment dipolaire est constant

4.1.4.2 dipole passif −→ soit un dipole Électrostatique de moment dipolairep. On place ce dipole −→ dans un champ Électrostatique extÉrieurE 0 le dipole subit les actions extÉrieurs de la part de ce champ suivantes i)la rÉsultante des forcesqui tend À dÉplacer le dipole vers les rÉgions de champs intenses −→ −→ −→ −→ F=(p.∇)E 0 si le dipole est rigide la force s’Écrit −→ −−−→ −→ −→ F= −grad(p.E 0 )

ii)le moment rÉsultant qui tend À orienter le dipole dans la direction du champ −→ −→ −→ Γ =p∧E 0 −→ dans le cas ou le champ extÉrieurE 0 est uniforme la rÉsultante des forces est nulle l’Énergie potentielle d’interaction du dipole avec le champ est −→ −→ E p = −p.E 0

elle est minimale si le dipole est parallÈle et dans le meme sens que le champ ce qui correspond À la condition d’Équilibre stable

4.2

4.2.1

champs lectrique permanent

quation de maxwell gauss

En utilisant le thÉorÈme de green ostrogradski Ó Ñ Ñ −→ −→ −→ 1 E(M).d S=d iv E(M)dτ=ρ(M)dτ ε 0 Ñ Ñ −→ 1 d iv E(M)dτ=ρ(M)dτ ε 0

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ce rÉsultat est vraie∀le volume V donc

−→ ρ(M) d iv E(M)= ε 0

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cette relation est une relation locale qui relie le champ au point M À la densitÉ de charge au meme point M. C’est une relation qui relie le champ À ses sources 280 si on prend une sphÈre de rayon R chargÉe uniformÉment en volume avec une densitÉ de chargeρon a  −→ ρ  d iv E(M)=si r<R  ε 0   −→ d iv E(M)=0si r>R car dans la zoner>Ril n’y a pas de charges

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4.2.2

quation de maxwell faraday

comme la circulation du champ Électrostatique le long d’une courbe fer- mÉe est nulle I −→ −→ E(M).d l=0

en utilisant le thÉorÈme de stockes I Ï −→ −→ − −→ −→ → E(M).d l=r ot E(M).d l=0

cette relation est vraie∀la courbe fermÉe donc − −→ → →− r ot E(M)=0

c’est une relation locale qui nous renseigne sur la structure du champ Électrostatique . Les lignes du champs Électrostatiques sont des courbes ouvertes

4.2.3 quation de Poisson et de Laplace −→ ρ(M) À partir de l’Équation de maxwell gaussd iv E(M)=et en rem- ε 0 −→−→ plaÇant le champEpar son expression en fonction du potentielE(M)= −−−→ −gradV(M) il vient

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−−−→ ρ(M) d iv(−gradV(M))= ε 0

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ρ(M) − Δ V(M)= ε 0 ρ(M) Δ V(M)+ =0 ε 0 appelÉ Équation de Poisson. La solution de l’Équation de Poisson est  Ð ρ(P)dτ 1  V(M)=  4πε 0 P M   V(∞)=0

dans le cas ou le milieu est vide de charges volumiquesρ=0 on obtient l’Équation de Laplace Δ V(M)=0

4.2.4

relation de passage entre deux milieux

a la limite de passage entre deux milieux les Équations locales du champ Électrostatique se transforment de la faÇon suivante 1.dans l’equation de maxwell gauss

−→ −→ −→ ρ(M) d iv E(M)= ∇.E(M)= ε 0 pour obtenir l’Équation de passage on remplace nabla par la normale al- −→ lant du milieu 1 au milieu 2 ,le champEpar la discontinuitÉ du champ −→ −→ −→ Δ E=E 2 −E 1 et la densitÉ volumiqueρde charge par la densitÉ de charge surfaciqueσ −→ −→ 1 ∇.E(M)=ρ(M) |{z} |{z} |{z} ε 0 −→ −→ n σ 12 ΔE d’ou l’Équation de passage

−→ σ(M) −→ n 12 . Δ E= ε 0 −→ siσ6=0 la composante normale deEest discontinue

σ(M) E 2n −E 1n = ε 0 2.si on applique la mme dÉmarche pour l’Équation de maxwell faraday − − − → →→− →− → r ot E(M)= ∇ ∧E=0

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−→ −→ −→ n 12 ∧ Δ E=0

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cette relation montre que la composante tangentielle À la surface de sÉpa- ration est continue E 2t =E 1t Remarque : ces relations de passage restent valables en rÉgime variable

−→ Pour une distribution volumique :Eet V sont dÉfinis en tout point de l’espace et ne prÉsentent aucune discontinuitÉ. Pour une distribution surfacique : V est continu partout dans l’espace ; −→ Epeut Éventuellement prÉsenter une discontinuitÉ À la traversÉe d’une surface chargÉe (continu partout ailleurs). −→ Pour une distribution linÉique :Eet V prÉsentent des discontinuitÉs sur les charges seulement Remarque : ces relations de passage restent valables en rÉgime variable.

4.2.5

mthodes de calculs du champ et du potentiel

♣Cas oÙ il existe des charges À l’infini. Cela signifie, en gÉnÉral, que la symÉtrie de la distribution des charges est importante. −→ 1. Etudier les invariances et symÉtries deEvecteur polaire. (Penser À Étudier la paritÉ). 2. Appliquer le thÉorÈme de Gauss À une surface fermÉe bien choisie, 305 passant par le point oÙ l’on dÉsire calculer le champ. Remarque : Dans le cas oÙ le champ ne dÉpend que d’un seul paramÈtre, on peut aussi −→ ρ chercher À rÉsoudre directement l’Équation diffÉrentielled iv E(M)= ε 0 −→ −→ 3. On obtient ensuite V par intÉgration dedV= −E.d len fixant arbi- 310 trairement le lieu oÙV=0. ♣cas ou il n’existe pas de charges À l’infini. 1. RÉduire le nombre des variables du problÈme : commencer par exploiter au maximum les propriÉtÉs d’invariances, de symÉtrie et de paritÉ du −→ champE 315 2. Si la symÉtrie est suffisante, (en pratique il faut un problÈme À symÉ- trie cylindrique, sphÉrique ou plane), utiliser comme prÉcÉdemment le thÉorÈme de Gauss, soit sous forme intÉgrale, soit en cherchant À rÉsoudre −→ ρ directement :d iv E(M)= ε 0 −→ −→ −→ d q(P)e P M −→ 1 3. Calcul direct deEa partir ded E(M)= 2 Projeterd E 320 4πε 0 P M suivant la direction Δ direction du champ rÉsultant en M dÉduite de

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l’etude des symÉtries, puis intÉgrer sur l’ensemble de la distribution des −→ charges l’expression scalaire :dE Δ =d E.e Δ (E Δ reprÉsente la composante utile du champ en M). On calcule ensuite le potentiel V(M) par integration de la circulation du −→ −→ champ :dV= −E.d lavec ici la condition supplementaire :V(∞)=0.

♣Calcul du champ À partir du potentiel. Équation de Poisson ou Équation de Laplace=⇒conditions aux limites=⇒ −→ Expression de V(ou a partir Calcul intÉgral)=⇒E

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