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Polyn^ omes a plusieurs variables. ResultantChristophe Ritzenthaler1 Relations coe cients-racines. Polyn^ omes symetriquesIssu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau integre.Pa1 anDe nition 1.1. Soit a2Anf0g. Le degre (resp. poids) du mon^ ome aX X est ai1 nP(resp. ia ). Le degre total (resp. poids total) d’un polyn^ ome non nul P est le maximumides degres (resp. poids) des mon^ omes non nuls dont il est la somme.De nition 1.2. Un polyn^ ome F2A[X ;:::;X ] est dit symetrique si pour toute permuta-1 ntion 2 on anF (X ;:::;X ) =F (X ;:::;X ):1 n (1) (n)Les polyn^ omesXS (X ;:::;X ) = X X ; 1knk 1 n i i1 k1i <

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Extrait

Polynˆomes`aplusieursvariables.Re´sultant

Christophe Ritzenthaler

1Relationscoefficients-racines.Polynˆomessym´etriques Issu de [MS] et de [Goz]. SoitAnunaegre.neauint` P a 1 a n D´efinition1.1.Soita∈A\ {0}. Leegder´(resp.poidsmunod)ˆomeaX∙ ∙ ∙Xesta i 1 n P (resp.ia i ). Leltato´egrde(resp.poids totalnu’dylopmoˆnnonenul)Pest le maximum desdegr´es(resp.poids)desmonˆomesnonnulsdontilestlasomme. D´efinition1.2.UnyeomˆpnloF∈A[X 1 , . . . , X n ]est ditetm´quriesysi pour toute permuta- tionσ∈Σ n on a F(X 1 , . . . , X n ) =F(X σ(1) , . . . , X σ(n) ). Lespolynoˆmes X S k (X 1 , . . . , X n ) =X i 1 ∙ ∙ ∙X i k ,1≤k≤n 1≤i 1 <∙∙∙<i k ≤n sontappel´esctonfm´synsioseuqirteneme´le´taires. Ledegr´ed’unpolynoˆmesyme´triqueparrapporta`n’importelaquelledesvariablesestlemˆeme etestappele´trape´rgedlie. Th´eor`eme1.1.tuopylˆnoPruottriqueomesym´eF∈A[X 1 , . . . , X n ]eded´egrdil existe un uniquepolynˆomeG∈A[X 1 , . . . , X n ]tel que F=G(S 1 , . . . , S n ). Gest de poidsdedte´rgtrapdleieegede´r´alegdeauF. Expliquonscommentcelaestfaitenpratique.Onpeutbiensuˆrproc´ederparidentification (carlepoidsestdonn´e)maiscelaestcouˆteux.Onpr´efe`redonclame´thodesuivante: 1.On´ecritFsommedepcomme(sidstohlonyoˆemon)destlg`moesenttnosuoˆnomsemo mˆemedegr´e.Ilsuffitderaisonnersuruntelpolynoˆme. a 1 a n 2. SoitFcnnois`drelemenoˆomeO.ene`gomohaX∙ ∙ ∙Xle plus grand pour l’ordre 1 n lexicographique ((b i )<(c i ) si et seulement si il existejtel queb j < c j etb i ≤c i pour i < j). PuisqueFanorte´euqiesymts a 1 ≥. . .≥a n . a 1 −a 2 a 2 −a 3 a n−1 −a n a n 3. Oncalcule alorsF(X 1 , . . . , X n )−aS S∙ ∙ ∙S SoˆemolyntunpC’es. 1 2n−1 n syme´trique,homoge`nemaistouscesmonˆomesontunordrelexicographiquestrictement a 1 a n plus petit que celui deaX∙ ∙ ∙X. 1 n

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Th´eor`eme1.2(Formules de Newton, [AF, p.428]).Soit ( k k X+. . .+X1≤k≤n 1n P k (X 1 , . . . , X n ) =. 0k > n On a k−1k P k −P k−1 S 1 +P k−2 S 2 +. . .+ (−1)P 1 S k−1 + (−1)kS k = 0,1≤k≤n et k−n+1k−n P k −P k−1 S 1 +P k−2 S 2 +. . .+ (−1)P 1 S k−1 + (−1)S n = 0, k≥n. n n Application 1([Gou99, p.204]).Si tr(M) =tr(N)pour toutnalorsMetNeemtnˆmo polynˆomecaracte´ristique. Corollaire 1.1.On a S 1 1 0. . .0 2S 2 S 1 1. . .0 3S 3 S 2 S 1 . . .0 P k =. . .. ..   kS k S k−1 S k−2 . . .S 1

2Lere´sultantdeSylvester Unegrandepartieesttir´eedehttp://www.proba.jussieu.fr/pageperso/nourdin/ LeSiteDeLAgregatif/sur_resultant.html

2.1D´efinition P P m n i i Soientf(X) =a i Xetg(X) =b i XpospxuedylˆnmoseusurcnroK. Lorsque i=0i=0 fetgpe..lai,courunmmntnoviri`ssonedefnutetcaf=f 1 hetg=g 1 hl’´e,ion:quat uf+vg= 0 avecdeg(u)<deg(g) etdeg(v)<deg(f) (1) poss`edelessolutionsu=g 1 etv=−f 1 .R´ecipe,tupsiuqoruqmeneg|ufmais ne divise pasu, l’existence d’une solution non nulle implique l’existence d’un facteur commun non trivial. En projetantl’´equation(1)surlabasecanoniquedeK m [X]×K n [X], l’existence d’une solution nonnulleest´equivalente`alanullite´dude´terminant: a m b n a m−1 a m b n−1 b n . . . . a m−1 . b n−1 . . . . . . . .a m .b n (2) a 0 .a m−1 b 0 .b n−1 a 0 b 0 . . . . . . . .   a 0 b 0 (lesa i etp´´etrnoss´enfois et lesb i mfois). De´finition2.1.peapell´eLed´reteanim2(tntse)´ertltasnudefetget se note Res X (f, g). C’estun´el´ementdeK.

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2.2Propri´et´es The´ore`me2.1.use´reLsoptnatlteans:est´ivsuporpe´irde`ssele 1. Res X (f,0) = 0 mn 2. Res X (f, g) = (−1)Res X (g, f) 3. Sideg(f) =m≤n= deg(g)et sihest le reste de la division degparfon a n−m R Res X (f, g) =a m es X (f, h) 4. Res X (f, g) = 0si et seulement sifetgont un facteur non trivial 5.Onseplacedansunecloturealg´ebriqueKdeK. Si(α i )sont les racines defet(β j ) les racines degalors on a m nm n Y YY Y n mnm nm Res X (f, g) =a g(α i ) = (−1)b f(β j ) =a b(α i −β j ).(3) m nm n i=1j=1i=1j=1 Remarque 1.ntesultaolyntunpneitoˆemelcsrenentiefficoeesdLeesr´fetg, i.e. Res X (f, g)∈ Z[a 0 , . . . , a m , b 0 , . . . , b m ]. Ceci permet de le calculer dans un anneau (commutatif)Aquel- conque. Si on suppose queAnsda´eecntdeme`r´rpeteltoe´heisanutill,enorieaftcerte`tgetsni le corps de fraction Frac(A)ardelapr,ongt´´eriopueeqfetgont un facteur commun non trivial si et seulement si Res X (f, g) = 0iuqeelava`tnrenu,cuieqt´esacinecommunedans uneextensionalg´ebriquementclosedeFrac(A)aitrrlteasecsdeame´ehcrmrepedte.Cetted polynoˆmesenplusieursvariables,i.e.sif∈K[X 1 , . . . , X n ], on utilisef∈A[X n ]avec A=K[X 1 , . . . , X n−1 ]iuseittn.qtoacelrigr`etfee

2.3Re´sultantetPGCD Proposition 2.1.Soientf, g∈K[X]. Alors il existeA, B∈K[X]tels que Af+Bg=Res X (f, g). De plusA, Bylˆnmoseneitreesnlescoefficientsdestdonpoesfetg. Corollaire 2.1.f, gsont premiers entre eux si et seulement si Res x (f, g)6= 0. Exemple 1.´emontre1onpeutdtltausvilrree´usEoCtn.2.ritunasil7]20p.9,u9Got[an: ◦ Si on noteDl’ensemble des matrices diagonalisables deM n (C)alorsDest l’ensemble des matricesdiagonalisablesa`valeurspropresdistinctes.

2.4 Discriminant P m i Pourf=a i Xegreint`omnˆuresanunauneylopAd´efi,oneinltdiscriminantdef i=0 0m(m−1)/2 par Res X (f, f) = (−1)a m Discr(fdtee´´lmene.C’estun)A.

3Th´eoriedel’´elimination 3.1 Elimination Onsedonnedeuxpolynˆomesf, g∈A[X 1 , . . . , X r navieton´t,]lamaesderesuni`e m n X X i i , X) =g X f(X) =f i X r g( i r i=0i=0 avecf m g n 6= 0.

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