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Spécification des fonctions logiques
„ Multiplexeur „ Démultiplexeur „ Opérateur OU-exclusif „ Fonction majorité
andre.stauffer@epfl.ch
ET
ET
Rappel
OU
NAND
OU
NON
NOR
NON
1
Fonctions unité
a b z1 z2 z4 z8 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0
On appelle fonction unité ou minterme de deux variables chacun des quatre monômes z8=a’.b’, z4=a’.b, z2=a.b’ et z1=a.b Chaque minterme est un produit de toutes les variables prises sous forme vraie un complémentaire Toute fonction logique peut alors s’exprimer par la somme d’un ou de plusieurs mintermes
Fonctions unité
a b z1 z2 z4 z8 z9 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
Ainsi la fonction z9 peut s’écrire sous la forme: z9 = z8 + z1 = a’.b’ + a.b Cette somme de mintermes est appelée forme canonique algébrique Cette forme est unique pour une fonction logique donnée
2
On appelle démultiplexeur à n variables tout système combinatoire qui réalise les 2 n mintermes des n variables
x=1
a b
a’b’
a’b ab’ ab
Démultiplexeur à deux variables Le symbole du démultiplexeur à deux variables suggère que la variable d’entrée x est aiguillée sur l’une des quatre sorties selon l’état des variables de sélection a et b
x
00 01 10 11
a b
z0 z1 z2 z3
3
Démultiplexeur à deux variables Ainsi pour a,b=10, la constante x=1 à l’entrée est aiguillée sur la sortie z2=1
00 0 x=1101 11
a=1 b=0
z0=0 z1=0 z2=1 z3=0
Démultiplexeur à deux variables Pour disposer des mintermes z0=a’b’, z1=a’b, z2=ab’ et  z3=ab, il convient d’imposer la constante x=1 à l’entrée
x=1
00 z0=a’b’ 01 z1=a’b 10 z2=ab’ 11 z3=ab
a b
4
Démultiplexeur à deux variables Pour réaliser la fonction z9 = a’.b’ + a.b, il suffit ainsi d’un multiplexeur et d’une porte OU à deux entrées
00 10110 11
a b z9
Fonction logique universelle a b z1 z2 z4 z8 z 0 0 0 0 0 1 k0 0 1 0 0 1 0 k1 1 0 0 1 0 0 k2 1 1 1 0 0 0 k3 La fonction logique universelle de deux variables a et b est définie par l’expression algébrique: z(a,b;k0,k1,k2,k3) = k0.a’b’ + k1. a’b + k2.ab’ + k3.ab Dans cette expression, les variables auxiliaires k0, k1, k2 et k3 sont appelées paramètres En leur affectant la valeur 0 ou 1, il est possible de retrouver la forme canonique de n’importe quelle fonction de deux variables
5
On appelle système logique universel ou multiplexeur à n variables tout système réalisant la fonction logique universelle à n variables
k0
k1 k2
k3
a b
z
Multiplexeur à deux variables Le symbole du multiplexeur à deux variables suggère que la sortie z sélectionne l’une des quatre entrées k0, k1, k2 ou k3 selon l’état a,b
k0 k1 k2 k3
00 01 10 11
a b
z
6
Multiplexeur à deux variables Ainsi pour a,b=10, l’entrée k2 est aiguillée sur la variable de sortie z
k0 k1 k2 k3
00 0110z=k2 11
a=1 b=0
Multiplexeur à deux variables Pour retrouver la fonction z9, il suffit d’imposer k0=1, k1=0, k2=0 et k3=1
k0=1 00 k1=0 01 k2=0 10 k3=1 11
a b
z=z9
7
Fonction logique universelle La fonction logique universelle de deux variables a et b: z(a,b) = k0.a’b’ + k1. a’b + k2.ab’ + k3.ab peut aussi s’écrire: z(a,b) = (k0.b’ + k1.b).a’ + (k2.b’ + k3.b).a et permet ainsi de définir deux fonctions, valables l’une pour a=0 et l’autre pour a=1, ne dépendant que de la variable b: z(a=0) = k0.b’ + k1.b z(a=1) = k2.b’ + k3.b b z(a=0) z(a=1) 0 k0 k2 1 k1 k3
Trois multiplexeurs à une variable de sélection permettent de réaliser les fonctions: z(a=0) = k0.b’ + k1.b  z(a=1) = k2.b’ + k3.b z(a,b) = z(a=0).a’ + z(a=1).a
k0 k1
k2 k3
0 1
b 0 1
b
0 1
a
z
8
Multiplexeur à une variable La réalisation décomposée de la fonction z9 s’obtient en imposant k0=1, k1=0, k2=0 et k3=1
k0=1 k1=0
k2=0 k3=1
0 1
b
0 1
b
0 1
a
z=z9
Fonction logique universelle Pour la fonction z9 dont les variables auxiliaires valent respectivement k0=1, k1=0, k2=0 et k3=1, la table de vérité ne dépendant que de la variable b devient: b z9(a=0) z9(a=1) z9 0 1 0 a’ 1 0 1 a On se ramène ainsi à une table de vérité à une seule variable d’entrée b mais dont la variable de sortie z9 dépend de la variable a
9
Multiplexeur à une variable Il est par conséquent possible de réaliser la fonction z9 à l’aide d’un seul multiplexeur dont la variable de sélection est b mais dont les entrées dépendent de la variable a
a’ a
0 1
b
z=z9
Fonction XOR a b z6 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 La fonction XOR (en français: OU-exclusif) est définie algébriquement par la relation z6=a b Le symbole de la porte XOR s’apparente à celui de la porte OU
a b
a+b
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Fonction XOR b a a b a+b a b b a La porte XOR CMOS se compose de deux transistors NMOS et de deux transistors PMOS Les quatre transistors travaillent en transmission de variable
Fonction XOR La fonction XOR est associative et satisfait la relation: a ⊕ ( b c) = (a b) c = a b c La réalisation d’une fonction XOR à 3 variables peut donc être effectuée à l’aide de deux portes XOR à 2 entrées bazbaz cc
Les fonctions NAND et NOR ne sont pas associatives La réalisation d’une fonction NAND (resp. NOR) à 3 variables ne peut pas se faire à l’aide de deux portes NAND (resp. NOR) à 2 entrées
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