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Math´ematiquesavance´es:Analyse fonctionnelle Anne´e2009-2010
Angela Pasquale
Relectures et corrections par Philippe Bonneau
LaboratoiredeMathe´matiquesetApplications(LMAM),Universite´Paul Verlaine – Metz E-mail address:bonneau@univ-metz.fr
Tabledesmati`eres
Introduction 1. Notations et rappels Chapitre1.Op´erateursetformeslin´eaires 1.Op´erateursline´airesborne´s 2.Dualtopologiquedunespacevectorielnorm´e 3. Topologies faibles Chapitre2.Op´erateurscompacts 1.Op´erateursdeHilbert-Schmidt Chapitre3.Th´eoriespectraledesope´rateurscompactsautoadjointssurunespacede Hilbert Bibliographie
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Introduction
L’analyse fonctionnelleemsnedidoinesvespacielsctorte´iuqeseseleiduedtiaraplynaaeltles infinie surRou surCeugnitsiseseapec.seCuqdinslin´eairessurcleuqpasecilpoitaasiin lanalysefonctionnelledelalg`ebrelin´eaireestlerˆoleimportantjoue´parlatopologie.Sur lesespacesvectorielsdedimensionnietouteslesnormessont´equivalentes1, donc elles d´enissentlameˆmetopologie.Enoutre,touteapplicationlin´eaireestautomatiquement continue. Dans le cas de dimension infinie les choses ne sont pas aussi simples. Conside´ronsparexemplelespaceC([0,1]) des fonctions continues sur [0,a]l`av1rseu complexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normes 1 kfk1:=Z0xetkfk:=xs[u0,p1]|f(x)| |f(x)|d nesontpase´quivalentessurC([0,1,m])soaianlnie´agil´tekfk1≤ kfkpour toutfC([0,quertronuxdeesec1mruoP.)]valeequi,oncntesseenonmrap´sostnuiteelasd`eronsi de fonctions{fn}avecfn(x) :=xn. Alors 11 kfnk1=Z0xndx=+10 pourn→ ∞, n kfnk tout pour= 1n . Ainsi la suite{fn}crevnap0sevnoeegroptrrrpaa`k ∙ k1, mais elle ne converge pas uni-forme´mentvers0surlintervalle[0,1]. Sionconsid`eremaintenantlespaceX=C1([1,1]) des fonctions complexes de classe C1sur [1,1], muni de la normekfk= supx[1,1]|f(x)|, alors l’applicationT:XC de´nieparT(f) =f0(0) estC-lin´aire, mais pas continue. En effet, soit{fn}la suite de e fonctionsd´eniespourn1 par fn(x) = sin(n2x). n Alors{fn}vers0sur[grueinofmre´emtncveon1,1], maisT(fn) =nconverge verset pas versT(0) = 0.
1. On rappelle que deux normesk ∙ ketk ∙ k0sur un espace vectorielXsontivqu´esteenals’il existe deux constantesC >0 etC0>0 telles que pour toutxXon a Ckxk ≤ kxk0C0kxk. Cetteconditioneste´quivalente`alasuivante:Toutesuite{xn}inXconverge versxXpourk ∙ ksi et seulement si elle converge versxpourk ∙ k0. 5
1. Notations et rappels Dansceparagraphenouscommenc¸onsparintroduirelesnotationsquiserontemploye´es ensuiteetnousrappelonsbri`evementlesd´enitionsdespacesdeBanachetdeHilbert. Nousde´signeronsparN,Z,RetCles ensembles usuels de nombres. Ainsi,Rsera par exemplelensembledesnombresre´elsetCiulecbromsndelempcoesaLapex.s´reetreiunlled nombre complexezt´eeranoseeRz; la partie imaginaire dezotanersmIee´z. Onconside`redanscequisuitdesespacesvectorielssuruncorpsKqui seraRouC. Soit Xun espace vectoriel surK. UnenormesurXest applicationx7→ kxkdeXdans [0,[ quive´rielestroisconditionssuivantes: (1)kx+yk ≤ kxk+kykpour toutx, yX, (2)kλxk=|λ| kxkpour toutxXetλK, (3)kxk= 0 si et seulement six= 0. Un espace vectoriel muni d’une norme est dit unspacevecemre´otirleon. Exemple1 (Exemples en dimension finie).Pour toutx= (x1, x2, ..., xn)Knon pose : (1)kxk:= supi=1,...,n|xi|, (2)kxkp:= (Pin=1|xi|p)1/p(pourp1 ; pourp=,2noerrtuoevalnormeassoci´eeau produit scalaire euclidien ou hermitien usuel). Les applicationsk ∙ ketk ∙ kpsont des normes surKn. Exemple2 (Exemples en dimension infinie).(1) SoitXun ensemble non vide,M une tribu surXuressmlembseenesnnete)selba´emes´elntle(doe´lspplenoattnss soitµune mesure surM. Deux fonctions mesurables surXurscomplexesa`avel sontditese´quivalentes(etparlasuiteidentie´es)lorsqueellessontpresquepartout e´gales.Pour1p <+, l’espaceLp(X,M, µ) est l’espace vectoriel des (classes d´equivalencedes)fonctionsf:XCbalseelssesrruueemsumstanpeeci,d´er´e (X,M, µ) et pour lesquelles ZXµ1/p<. kfkp:=|f|pd Icikfkpade´isnglenormeLpdef. Suivant le contexte, les symbolesMetµpeuvent etre sous-entendus dans la notationLp(X,M, µon);sacecsnadarirce´Lp(X). ˆ (2) Soit (X,M, µapecemus)nuseutqfoune.r´diOnaruselbitcnemnof:XC estbontmelee´erneleitnesss’il existe un presque majorant de|f|,c-tsed-a`uerien constanteC0 telle que|f(x)| ≤Cesquetout´el´emeoprunrtpxX. Dans cecas,onde´nitlabornesupe´rieureessentiellesupess|f|comme l’inf des presque majorants. L’espaceL(X,M, µroeentablnteseeulctnenopiss´cda)es(classes d´equivalencede)fonctionsessentiellementborn´ees(larelationd´equivalencee´tant le´galite´presquepartout).Ilestmunidelanormekfk:= sup ess|f|. Unespacevectorielnorme´estunespacem´etriqueparrapporta`ladistanced(x, y) := kxyk. Une suite (xn)tediquristeeecapte´msnadsenusuite de Cauchysi pour tout >0 il existe unNNtel que pour tout > Nn, mon ad(xn, xm)< eriqu´mteapecnUse.X est ditcompletsi toute suite de Cauchy deXa une limite dansX. Unespace de Banach estunespacevectorielnorme´completpourladistanceissuedesanorme. 6
Exemple3.sesenodttes2el1sxempdesem´essnoresdcepapaessvcetoecelriseL Banach. PourλKtine´dnoλcenjugu´edommelecoλsiK=Cet commeλsiK=R. SoitX un espace vectoriel surK. Unproduit scalairesurXest une applicationh∙,∙i:X×XK i´ielesproprie´t´essuivantespourtoutx, y, x0Xetλ, µK: qu ver (1)hλx+µx0, yi=λhx, yi+µhx0, yi, (2)hx, yi=hy, xi (3)hx, xi ≥0 , (4)hx, xi= 0 si et seulement six= 0 . Unespace de Hilbertest un espace de BanachXdont la normek ∙ kdeupnoruddtei´oclu scalaireh∙,∙ipar la formulekxk=phx, xipour toutxX. Exemple4.Les espaces de Banach des exemples 1 et 2 sont des espaces de Hilbert pour p= 2. Les produits scalaires sont n hx, yi:=Xxjyj, j=1 hf=ZX(x)g(x)d , gi:f µ(x)
pourKn, et pourL2(X).
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