Cours sur la mecanique des milieux continus : Cinématique

Fortunie

Description

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCINEMATIQUECadre généralEquilibre et continuitéÉquilibre d ’un solideContinuité de la matièreDescription d’une transformationConfigurationDescription lagrangienneDescription eulérienneLigne d’émissionTransport de quantitésCINEMATIQUETenseur gradient d’une transformationTransport d’un vecteur élémentaireTransport d’un volume élémentaireTransport d ’une surface élémentaireÉquations de bilanDérivées particulairesConservation de la masseExemples1 - Cisaillement simpleMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCINEMATIQUECadre géénnééralEquilibre et continuitéÉquilibre d ’un solideContinuité de la matièreDescription d’une transformationvConfigurationPuDescription lagrangienneDescription eulérienneLigne d’émissionPTransport de quantitésTenseur gradient d’une transformationTransport d’un vecteur élémentaireTransport d’un volume élémentairexTransport d ’une surface élémentaireÉquations de bilanXDérivées particulairesConservation de la masseExemples1 - Cisaillement simpleP : point « matériel »MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCINEMATIQUECadre généralEquilibre et continuitéÉquilibree dd ’’un solideContinuité de la matièreDescription d’une transformationConfigurationDescription lagrangienneDescription eulérienneLigne d’émissionTransport de quantitésTenseur gradient d’une transformationTransport d’un vecteur élémentaireTransport d’un volume élémentaireTransport d ’une surface élémentaireÉquations de ...

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Extrait

CINEMATIQUE

Cadre général

Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

CINEMATIQUE

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

P

X

u

x

P : point « matériel »

v P

CINEMATIQUE

Cadre général

Equilibre et continuité Équilibr e   d  un   s ol i de Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Le solide est en équilibre sous laction des forces extérieures

∗ Σ ( forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement ∗ Σ ( moments) = variation du moment de quantité de mouvement

CINEMATIQUE

Cadre général

Equilibre et continuité Équilibre d un solide C on t i nui t é   de l a m at i è r e Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière

* vision macroscopique * « masse » dun élément de volume : dm = ρ dv

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation C on f i gu ration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

C 0

configuration de référence :

C(t)

C 0 : description lagrangienne C(t) : descrition eulérienne

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

C 0

P

X

x

P

v

coordonnées d'un point : x = Φ
( X , t ) avec Φ
( X , 0 ) = X

vitesse d'un point : v = dx / dt = ∂Φ / ∂ t

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne D escr i ption eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple  

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

P

X

vitesse d'un point : v( x , t)

x

C(t)

v P

coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne L i gne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

maquette du Concorde (document ONERA)



ligne d'émission du point P

cargo échoué

trace produite sur la mer (ligne d'émission du cargo)

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités T enseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

P

X

u

x

P

* déplacement du point P : u ( X, t) = x - X * déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I

tenseur gradient de la transformation

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation T ransp o rt dun vecteur él émenta ir e Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

P

x = X + u

dX

X

u

x

P

dx

dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX

CINEMATIQUE

Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d un solide Continuité de la matière Description dune transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne démission Transport de quantités Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire T ransp o rt dun volume él éme n ta ir e Transport d une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

P

dV

dV = [dX, dY, dZ]

X

x

P dv

dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F)