Cours sur le produit scalaire - TS

Costantini

Description

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACEDans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés.Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première.1. Définition du produit scalaire et conséquencesOn donne ci-dessous une définition possible (et à mon sens la plus valable) du produit scalaire en terminale.1.1. DéfinitionOn peut noter les coordonnées des vecteurs enOn considère une base orthonormale de l'espace.colonne, ce qui facilite le calcul :r rx x¢Soient u (x ; y ; z) et v (x' ; y' ; z') deux vecteurs. r ru y et v y¢r r r r z z ¢On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u . v et défini par : r ru . v = xx' + yy' + zz'r ru . v = xx' + yy' + zz'r rExemple : avec u (1 ; 2 ; 3) et v (2 ; 3 ; 6), on obtient :r r u . v = 2 + 6 + 18 = 26Remarques :r r r r2 2 2 2• Pour tout vecteur u , on a : u . u = x + y + z = ||u ||r r2 2 On notera parfois (par convention) : u = ||u ||uuur uuur uuur2 De même, si A et B sont deux points, on a : AB AB = ||AB ||uuur uuur2 2On notera parfois : AB = ||AB ||r r r r• Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire est nul. Mais attention, l'égalité u . v = 0r r r rn'entraîne pas nécessairement u = 0 ou v = 0 . En effet, il suffit de considérer par exemple les vecteursr ru (1 ; 2 ; 0) et v (2 ; -1 ; 0) pour s'en convaincre.r r r r• Si les vecteursu et v sont colinéaires ( v = k u ) alors :r r r2 2 2 2u . v = x.kx + y.ky + z.kz = k( x + y + z ) = k ...

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Extrait

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du produit scalaire et conséquences On donne ci-dessous une définition possible (et à mon sens la plus valable) du produit scalaire en terminale. 1.1. Définition On considère une base orthonormale de l'espace. On peut noter les coordonnées des vecteurs en colonne, ce qui facilite le calcul : r r Soient u ( x ; y ; z ) et v ( x' ; y' ; z' ) deux vecteurs. r x r x ′ u y    et   v y ′ r r r r ′ On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u . v   et défini par : r r z z u . v =   xx'   +   yy'   +   zz' r r u . v =   xx' +   yy' +   zz' r r Exemple : avec u (1 ; 2 ; 3) et v (2 ; 3 ; 6), on obtient : r r   u . v = 2 + 6 + 18 = 26 Remarques : r • Pour tout vecteur u , on a : r u . u r =   x 2 +   y 2 +   z 2 =  || r u || 2   On notera parfois (par convention) : r u 2 = || r u || 2   même, si A et B sont deux points, on a : u A uu B ruuur || u A uu B r || 2   De . AB =     On notera parfois : u A uu B r 2 = || uuur 2   AB || r r r r • Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire est nul. Mais attention, l'égalité u . v = 0 r r r r n'entraîne pas nécessairement u = 0 ou v = 0 . En effet, il suffit de considérer par exemple les vecteurs r r u (1 ; 2 ; 0) et v (2 ; − 1 ; 0) pour s'en convaincre. r r r r • Si les vecteurs u et v sont colinéaires ( v =   k u ) alors : r r kx   +   y.ky    +   z.kz   =   k ( x 2 + 2 + z 2 ) =   k  || u r || 2 u . v =   x.   y

1.2. Théorème Autres expressions du produit scalaire 1. u r . r v =    1 2 || u r + v r || 2 − || u r || 2 − || v r || 2 =   2 1 || u r || 2 + || v r || 2 − || u r − v r || 2 =    1 4 || u r + v r || 2 − || u r − v r || 2 r → r → r r r r r r 2. Lorsque u ≠ 0 et v ≠ 0 : u . v =  || u || . || v || . cos( u , v ) r → rrrur 3. Lorsque u ≠ 0 : u . v =   u . v ′ ur r r où v ′ est le vecteur projeté orthogonal de v   sur la direction donnée par u .

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Démonstrations : r r 1. Notons ( x ; y ; z ) et ( x' ; y' ; z' ) les coordonnées respectives de u et v . On a alors : || r u + r v || 2 =     x + x ′ 2 + y + y ′ 2 +   z + z ′ 2 =   x 2 + 2 xx' +   x ′ 2 +   y 2 + 2 yy' +   y ′ 2 +   z 2 + 2 zz' +   z ′ 2 || u r + v r || 2 =   x 2 +   y 2 +   z 2 +   x ′ 2 +   y ′ 2 +   z ′ 2 + 2 ( xx' +   yy' +   zz' ) =  || u r || 2 +  || r v || 2 + 2 r u . r v r r D'où : u . v = 1 2 || u r + v r || 2 − || u r || 2 − || v r || 2    De même : || u r − v r || 2 =     ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 +   ( z − z ′ ) 2 =   x 2 − 2 xx' +   x ′ 2 +   y 2 − 2 yy' +   y ′ 2 +   z 2 + 2 zz' +   z ′ 2 r r || u r − r v || 2 =   x 2 +   y 2 +   z 2 +   x ′ 2 +   y ′ 2 +   z ′ 2 − 2 ( xx' +   yy' +   zz' ) =  || u r || 2 +  || v r || 2 − 2 u . v r r 1 || u r || 2 + || r v || 2 − || u r − v r || 2 D'où : u . v =    2 r r r r Et enfin, en utilisant ce qui précède : || r u + r v || 2 −  || u − v || 2 = 4 u . v D'où : r u . r 1 | r r 2 r r 2 v = 4 | u + v || − || u − v || Les trois relations ci-dessus (encore appelées "identités de polarisation") sont importantes. Elles montrent, en autres, que le produit scalaire est indépendant de la base orthonormée choisie, il ne dépend que de normes de vecteurs. 2 et 3. Établissons tout d'abord les expressions 2 et 3 dans un cas particulier : r r r r • Supposons u et v colinéaires : il existe un réel k tel que v =   k u r r On a alors : || v || = | k | || u || D'où : || u r | r r r || r || 2 r r | . || v || cos u , v =  | k | . u . cos u , v r r r r Or : cos u , v   = 1 si k > 0 et cos u , v   =   − 1 si k < 0 r r z Donc : | k | cos u , v =   k ement : || u r || . || r v || cos u r , v r = || r || 2 Et final k u Et d'après une remarque précédente : r r r r r r → || u || . || v || cos u , v =   u v k . → r r O j De plus, si u et v sont colinéaires, on a : → r ur r r ur r i u . v ′ =   u . v (puisque dans ce cas v ′ =   v ) r r r → • Supposons maintenant u et v non colinéaires (donc v   ≠ 0 ) → → r v ′ v Po ns r i u r → so =   r (possible car u ≠ 0 ) || u || → u r r r Soit j un vecteur coplanaire avec u et v tel que : r r i , r j   =  2 π et || j || 1 x =

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r r r r r r Soit k le vecteur orthogonal à i et j   tel que la base i , j , k soit directe. r r r r r r Nous avons ainsi construit une base i , j , k orthonormale directe. Dans cette base i , j , k , on a : r r r r r r r r r ur r r r u (|| u || , 0, 0), v (|| v || cos u , v , || v || sin u , v , 0) et v ′ (|| v || cos u , v , 0, 0) Et comme le produit scalaire est indépendant de la base orthonormée choisie, la définition 1.1. donne : r r r r r r r ur r r r r r r u . v =  || u || . || v || . cos( u , v ) et u . v ′ =  || u || . || v || . cos( u , v ) =   u . v Ce qui démontre les expressions 2 et 3. Exemple : ABCDEFGH est un cube d'arête a . uuur uuur Calculons de plusieurs façons le produit scalaire AE . DG : uuur • Avec la définition en considérant la base orthonormale   A A D D , u A A uu B B r , u A A uu E E r    :  F On a u A uu E r (0 ; 0 ; a ) et u D uu G r (0 ; a ; a ) d'où u A uu E r u D uu G r 2 . =   a . E • Avec le cosinus : u A uu E r . u D uu G r =   AE   ×   DG   × cos( u A uu E r , u D uu G r ) =   a   ×   a 2 × π 2 cos =   a . 4 B • Avec le vecteur projeté : u u A uu E r . u D uu G r =   u A uu E r . u A uu F r   =   u A uu E r . u A u E r =   AE 2 =   a 2 .   A

H D

→   v

G C

Voyons maintenant un lien important entre le produit scalaire et le théorème de Pythagore. r r Soient u et v deux vecteurs orthogonaux. On a alors, d'après le théorème de Pythagore : → → r r r r || u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2 u + v r r r r r s la relation u . r v =  1 u + v − | u || − || v || , nous obtenon Et d'aprè  2  || || 2 | 2 2 s : → r r   u u . v = 0   Réciproquement, si u r . r v = 0 alors la même relation permet d'affirmer || u r + v r || 2 = || r u || 2 + || r v || 2 . r r Et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit l'orthogonalité des vecteurs u et v . Résumons : 1.3. Propriété r r r r u ⊥   v    ⇔    u . v = 0 r Remarque : si un vecteur u est orthogonal à tout vecteur, alors c'est le vecteur nul. r r En effet, on a alors en particulier : u . u = 0 r En notant ( x , y , z ) les coordonnées de u dans une base orthonormée, on a : x 2 +   y 2 +   z 2   = 0 D'où, nécessairement : x   =   y   =   z r r Et donc : u = 0    Produit scalaire dans l'espace Page 3 G. COSTANTINI    http://bacamaths.net/

2. Propriétés du produit scalaire 2.1. Propriétés r r Soient u et v deux vecteurs de l'espace. Soit λ un réel. On a les propriétés suivantes : r r r r • Symétrie : u . v =   v . u   Bilinéarité (linéarité par rapport aux deux places) : • r r ur r ur r ur r r r r ( u + v ) .   w =   u . w   +   v . w  et ( λ u ) .   v =   λ u . v   (linéarité par rapport à la première place) r r ur r r r ur r r r r u . ( v + w ) =   u . v +   u . w  et u . ( λ v ) =   λ u . v   (linéarité par rapport à la seconde place) r r r r • Séparation : si u . u = 0 alors u =  0 Démonstrations : • Symétrie : évident d'après la définition. rrur • Bilinéarité : notons ( x ; y ; z ), ( x' ; y' ; z' ) et ( x" ; y" , z" ) les coordonnées respectives de u , v et w dans une base orthonormée. On a alors : rrur ( u + v ) .   w   = ( x   +   x' ) x" + ( y + y' ) y" + ( z + z' ) z" =   xx" +   x'x" +   yy" +   y'y" +   zz" +   z'z" rrurrurrur ( u + v ) .   w =   xx" +   yy" +   zz" +   x'x"   +   y'y"   +   z'z" =   u . w   +   v . w r r r r ( λ u ) .   v =   λ xx' +   λ yy' +   λ zz'   =   λ ( xx' +   yy' +   zz' ) =   λ   u . v La symétrie livre la linéarité par rapport à la seconde place. • Séparation : a déjà été démontrée dans une remarque ci-dessus. uuuruuuruuuruuur Exemple : à l'aide de la linéarité, démontrer que : AB .   CD =   − BA . CD

Exercice 1 : ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a . (Chaque face est un triangle équilatéral de côté a ) Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. D 2 uuur uuur uuur uuur Remarquons que AB . AC =   AB   ×   AC   × cos( AB , AC ) =   a   ×   a   × cos π 3 =   a 2 . 2 ême uuur uuur a . De m , AB . AD =  2 2 2 A ur uuur uuu D'où : u A uu B r .   u C uu D r =   u A uu B r . ( u A uu D r −   u A uu C r ) =   u A uu B r . u A u D   AB . AC r =   a − a = 0. − 2 2 B Donc les arêtes [ AB ] et [ CD ] sont orthogonales. On procède de même pour les deux autres.

Exercice 2 : ABCDEFGH est un cube dont les sommets sont disposés comme sur la figure ci-dessous. uuuuruuur Les vecteurs AH et CE sont-ils orthogonaux ? F G

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E H

B C

C

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uuuur uuur uuuur uuur uuur Il suffit d'écrire : AH .   CE =   AH . ( CD + DE ) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Par linéarité : AH .   CE = AH . CD +   AH . DE uuuuruuuruuuuruuuur Or, les vecteurs AH et CD sont orthogonaux puisque AH est orthogonal à la face ( ADH ) et les vecteurs AH et uuur DE le sont également (diagonales d'un carré) d'où : uuuuruuur AH .   CE = 0 uuuuruuur Les vecteurs AH et CE sont orthogonaux.

Poursuivons maintenant ce paragraphe avec des propriétés qui sont à la limite du programme de TS.

2.2. Théorème Inégalité de Cauchy-Scwharz r r on a : | r r | || u r || || v r || Pour tous vecteurs u et v , u . v    Démonstration : on sait que : r r r r r r u . v =  || u || . || v || . cos( u , v ) r r Or : | cos( u , v )|  1 r r | || u r || || r v || D'où : | u . v   

Cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz : r r | r || || r v || ⇔  | r r r r r r | u . v   = || u cos( u , v )| = 1 ⇔  ( u , v ) = 0 [ π ] ⇔    u et v colinéaires

Application : la perpendiculaire commune. r r Dans l'espace, on considère deux droites D et D' dirigées par des vecteurs u et v non colinéaires. Montrer que, dans ces conditions, il existe une unique droite Δ perpendiculaire à D et D' .

→ u

→ v Si r et v r sont colinéaires, alors D et D' u sont parallèles. Il existe alors une infinité de perpendiculaires communes.

Δ

r r Si D et D' sont coplanaires (et donc sécantes en un point O puisque u et v sont non colinéaires) alors la droite Δ passant par O et orthogonale au plan contenant D et D' convient et c'est la seule. Pour la suite, on considère que D et D' ne sont pas coplanaires (donc non sécantes) Soit A un point fixé de D et A' un point fixé de D' . (Et nécessairement, A'   ≠   A ) Soit I un point quelconque de D et I' un point quelconque de D' . (Et nécessairement I'   ≠   I ) Produit scalaire dans l'espace Page 5 G. COSTANTINI    http://bacamaths.net/

uur uur uuur uuuur D'après la relation de Chasles : II ′ =   IA +   AA ′ +   A ′ I ′ uur r uuuur r Notons, par ailleurs : IA =   α u  et A ′ I ′ = β v   uur r uuur r Ainsi : II ′ =   α u + AA ′ +    β v Montrons qu'il n'y a qu'un seul point I de D et un seul point I' de D' tels que ( II' ) soit perpendiculaire à D et D' . r uuur r r La condition u I u I r ′ .   u r = 0 équivaut à : α   u r 2   +    u . AA ′   +   β u . v = 0 uur r r r r uuur β r v 2 La condition II ′ .   v = 0 équivaut à : α   u . v +   v . AA ′ +    = 0 La droite ( II' ) est donc une perpendiculaire commune à D  et D'  si et seulement si α  et β  sont solutions du système α + β  ′ ( S ) :    r u 2 r u . r v = − u u r . u A uu A r   u r . v r β v r 2 = − r . uuur ′ α + v AA ce système est δ   = r 2 r 2 ( r u . r v ) 2 Or, le déterminant δ de : u   ×   v   − r r Et comme, par hypothèse, u et v sont non colinéaires, l'inégalité de Cauchy-Schwarz est stricte. En conséquence ce déterminant est non nul. uur r uur r Il existe donc un unique couple ( α , β ) satisfaisant les conditions II ′ .   u = 0 et II ′ .   v = 0. Autrement dit, il existe un unique point I  de D  et un unique point I'  de D'  tel que la droite Δ   =  ( II' ) soit perpendiculaire à D et D' .

Voyons maintenant une autre inégalité importante découlant de l'inégalité de Cauchy-Schwarz : 2.3. Conséquence Inégalité triangulaire r r r r r r Pour tous vecteurs u , v on a : || u + v ||  || u || + || v || Démonstration : r r || 2 r r . ( r u + r v ) =  || u r || 2   + 2 u r . r v   + || r v || 2    || r u || 2   + 2 || u r || || v r || + || r v || 2   = (|| u r || + || v r ||) 2 || u + v   = ( u + v ) La fonction racine carrée étant croissante sur  + : r r r r || u + v ||  || u || + || v || Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire : r r Si u ou v est nul, il est clair qu'il y a égalité. r r r r r r Supposons u et v non nuls et : || u + v || = || u || + || v || Alors : || u r + r v 2 (|| u r || + || v r ||) 2 || =   || u r || 2   + 2 r u . r v r || 2 =  || r u || 2   + 2 || r u || || v r || + || v r || 2   + || v   r r r r u . v = || u || || v || Et donc, a fortiori : | r u . r | = || r r || v   u || || v r r On a donc égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz. On en déduit que u et v sont colinéaires : r r Il existe k   ∈    tel que v =   k u

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Montrons que k est positif : r r r r r D'une part : || u + v || = || u +   k u || = |1 +   k | || u || r r r r r D'autre part : || u || + || v || = || u || + || k u || = (1 + | k |) || u || r r D'où : |1 +   k | || u || = (1 + | k |) || u || r r Et comme on a supposé u ≠  0 : |1 +   k | = 1 + | k | • Si k      − 1 alors cela donne − 1 −   k   = 1 −   k , ce qui est absurde. • Si − 1    k < 0 alors cela donne 1 +   k   = 1 −   k d'où k   = 0, ce qui est contradictoire. r r On a donc bien k    0 et par suite u et v sont colinéaires de même sens (on dit encore "positivement liés"). r r Réciproquement, supposons : u et v sont colinéaires de même sens : r r Il existe k   ∈    + tel que v =   k u r r r r r r D'une part : || u + v || = || u +   k u || = |1 +   k | || u || = (1 +   k ) || u || r r r r r r D'autre part : || u || + || v || = || u || + || k u || = (1 + | k |) || u || = (1 +   k ) || u || r r r r On a donc : || u + v || = || u || + || v || r r r r → → Bilan : || u + v || = || u || + || v || ⇔  Il existe k   ∈    + tel que v =   k u

Exemple d'application de l'inégalité triangulaire ABC est un triangle. On note I , J et K  les milieux respectifs de [ BC ], [ AC ]et [ AB ].

C

Démontrer que : AI  +  BJ  +  CK    AB  +  BC  +  CA uur uuur uuur On a : 2 AI =   AB +   AC uur uuur uuur En passant à la norme : 2 || AI || = || AB +   AC || uur uuur uuur Et d'après l'inégalité triangulaire : 2 || AI ||  || AB || + || AC || C'est-à-dire : 2 AI      AB   +   AC De même en raisonnant par rapport aux autre médianes : 2 BJ      BC +   BA 2 CK      CB   +   CA Et en additionnant les trois inégalités ci-dessus : AI   +   BJ   +   CK      AB   +   BC   +   CA (L'inégalité est même stricte lorsque le triangle n'est pas aplati)

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