cours sur les courbes paramétrées

Christophe Lacave

Description

Chapitre 6Courbes param´etr´ees41´ ´42 CHAPITRE 6. COURBES PARAMETREES6.1 Courbes d’´equation y = f(x)Pour ´etudier une courbe d’´equation y = f(x) (ou simplement ´etudier unefonction f), le sch´ema est le suivant :– On commence par chercher l’ensemble de d´efinition de la fonction f.Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, p´eriodique, on peutrestreindre l’intervalle d’´etude.– On cherche si on peut prolonger f par continuit´e.– On ´etudie la d´erivabilit´e de f. La plupart des fonctions «en pratique»!sont d´erivables (et mˆeme C ) sur leur ensemble de d´efinition, maisattention, ¸ca n’est pas toujours le cas (racine carr´ee, arcsin...). Si on aprolong´elafonctionf,on´etudie´egalementlad´erivabilit´eau(x)point(s)de prolongement.– On ´etudie les variations de la fonction f (la plupart du temps en ´etu-diant le signe de la d´eriv´ee).– On cherche les limites de f aux bornes de son ensemble de d´efinition.– On r´esume les deux ´etapes pr´ec´edentes dans le tableau de variations def.– Eventuellement, on ´etudie les asymptotes obliques (s’il y en a).– On trace la courbe. La courbe est un moyen de r´esumer graphiquementtoutes les ´etapes pr´ec´edentes. Il ne sert `a rien de placer ´enorm´ement depoints pour la tracer. Il faut (et il su!t de) placer les ´el´ements carac-t´eristiques d´etermin´es au cours de l’´etude : on trace les asymptotes, onplace les points ou` il y a des tangentes horizontales, des tangentes ver-ticales, ´eventuellement ...

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Extrait

Chapitre 6 Courbesparame´tre´es

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´ ´ 42COURBES PARAMETREESCHAPITRE 6. 6.1Courbesd’e´quationy=f(x)

Poure´tudierunecourbed’e´quationy=f(xmisumelpo()ruienet´enudet fonctionfhce´l,se)nt:uivatlesmaes

–Oncommenceparchercherl’ensembleded´efinitiondelafonctionf. Eventuellement,silafonctionestpaire/impaire,p´eriodique,onpeut restreindrel’intervalled’e´tude. – Oncherche si on peut prolongerfinntt´uipcoar.e –On´etudielade´rivabilit´edef. La plupart des fonctions«en pratique» ∞ sontde´rivables(etmˆemeCusremlbeur)esnd´efiledenom,initias attention,c¸an’estpastoujourslecas(racinecarr´ee,arcsin...).Siona prolong´elafonctionf)´no,dutee´eielagbalirevial´demtnnt(s)poiau(xit´e de prolongement. –One´tudielesvariationsdelafonctionf-utepmet´neslupartdu(lap diantlesignedelade´riv´ee). – Oncherche les limites defed´dbmelitnofieinnesdxborenseesonua. –Onre´sumelesdeuxe´tapespr´ece´dentesdansletableaudevariationsde f. –Eventuellement,one´tudielesasymptotesobliques(s’ilyena). –Ontracelacourbe.Lacourbeestunmoyendere´sumergraphiquement toutesles´etapespr´ec´edentes.Ilneserta`riendeplacer´enorme´mentde points pour la tracer. Il faut (et il suffitseneml´´eesrlcep)alted-carac te´ristiquesd´etermin´esaucoursdel’´etude:ontracelesasymptotes,on placelespointsou`ilyadestangenteshorizontales,destangentesver- ticales,e´ventuellementquelquespointsparticuliers(intersectionavec les axes, ou les asymptotes), et on relie les points en tenant compte du tableaudevariations.Eventuellement,sionacalcule´l’e´quationd’une tangente, on la trace.

Remarques : –Lacourbedoitˆetrelacourberepr´esentatived’unefonction,i.eilne doitpasyavoirplusieurspointsaveclameˆmeabscisse. –Unecourbedoitˆetretrace´edemani`erepr´eciseetsoigne´e. ! x+ 1 Exemple :lecautidde´’uobrtioneeq´unaOy= (x+ 5). x−1

´ ´´ ´ 6.2. COURBESPARAMETREES EN COORDONNEES CARTESIENNES43 6.2Courbesparame´tr´eesencoordonn´eescar- t´esiennes Danslapartiepre´c´edente,l’ordonn´eee´taitunefonctiondesabscisses:on avaity=f(xicsbeessnodea’lt’otlr-.)ourbUnecam´eepareetsrte´uobrnuce donn´eesonttouteslesdeuxdesfonctionsd’unparame`tret, i.e il s’agit d’une " x=f(t) courbedontl’e´quationestdelaformeo`utest la variable. y=g(t) Physiquement,celas’interpre`tecommelatrajectoired’unpointenfonc- tiondutemps:`atouttempstcorrespond une position (f(t), g(t)). ´ 6.2.1 Etudedes branches infinies 2 SoitM:I→Rouecunte´rte´eebrperamaa∈I. On noteM= (x, y).

De´finition.On dit queMs`oseuneedpbranche infinie au voisinage de asilim$M(t)$= +∞. t→a Plusieurs cas sont possibles : –Premier cas :seule l’une des deux limites limx(t) ou limy(t) est t→a t→a infinie (l’autre est finie). 1. Silimx(t) =m∈Ret limy(t) =±∞qe´’itauordadeti,lonx=m t→a t→a estappele´easymptotedeMena. 2. Silimx(t) =±∞et limy(t) =m∈Ret’de´uq,alrdioioatny=m t→a t→a estappele´easymptotedeMena. –Second cas :les deux limites limx(t) et limy(t) sont infinies. t→a t→a y(t) 1. Silim =0, on dit queMede`enupossbranche parabolique x(t) t→a dans la direction (Ox). y(t) 2. Silim =±∞, on dit queMeunde`essopbranche parabo- x(t) t→a liquedans la direction (Oy). y(t) 3. Silim =m∈R: x(t) t→a # $ (a) si limy(t)−mx(t) =±∞, on dit queMde`ssopeune t→a branche paraboliquedans la directiony=mx; # $ (b) silimy(t)−mx(t) =p∈R,alrdioet’d´equationy=mx+p t→a estappel´eeasymptotedeMena.

´ ´ 44COURBES PARAMETREESCHAPITRE 6. 6.2.2R´eductiondudomained’´etude Onconsid`eretoujoursunecourbeparame´tre´edonn´eeencoordonne´escar- 2 te´siennessurunintervallere´elI:M= (x, y) :I→Rap.Lre`emireepate´ desone´tudeconsistea`reduirel’intervalled’e´tudeens’appuyantsurunep´e- riodicite´ou/etdessyme´tries.Plusieurscassontpossibles.Lalistesuivante n’est pas exhaustive. 1.C`osauI=Reto`uxetyirdoqieudspee´ireodsontp´eT:alors pour toutt∈R, le pointM(t+T) co¨ıncide avec le pointM(t’D`ou.)

Etude sur un intervalle de longueurT

2.u`osaCI´mystse`taorppraarepquriet0ute`oxetysont paires :alors pour toutt∈I, le pointM(−tpoinecletciınavdeo ¨ )c M(t`ou).D’ Etude surI∩R + 3.uo`asCI`a´eymtsesapeuqirttropparr0eto`uxetysont impaires :alors pour toutt∈I, le pointM(−tse)usdeelutqei´rmyt pointM(t.DaOt`orppraar)po’u`

Etude surI∩R + eparetrisym´puisOappar`tro

4.osaC`uIetm´quriesystro`taperaarpp0teo`uxest paire ety est impaire :alors pour toutt∈I, le pointM(−tuqeteir)esym´stle du pointM(tD.)xu`o’pa)aprrrtpo(O`a

Etude surI∩R + peraarppro`t(axO)puissym´etri

5.Csa`ouI´etriqueparrappoa`trsestmy0oteu`xest impaire et yest paire :alors pour toutt∈I, le pointM(−t)ese´myselteuqirt du pointM(tppraar)p).D’o`uort`a(Oy

Etude surI∩R + piussa`tr)yO(rrpapoap´eymietr

6.aCu`osI`tapproraarquepetrisym´est0te`oux(−t) =y(t)et y(−t) =x(t):alors pour toutt∈I, le pointM(−tiruqest)esyleetm´ du pointM(t)parrapport`aladre´’detionoitauqy=x`u’o.D

Etude surI∩R + upsiteirys´mrappeparaort`y=x