Onrappellequel’e´quiprobabilit´ePsur un ensemble fini Ω est l’application de l’ensembleP(Ω) des parties de Ω dans [0,pera]1´dfiein CardA ∀A∈ P(Ω),P(A) =. Card Ω Cepremierexempledeprobabilit´evaˆetrel’occasionderappelerquelques´el´ementsdelath´eoriena¨ıvedesensembles, etlesprincipesdebasedud´enombrement.
1.2
1.2.1
Notions de bases sur les ensembles
D´efinitiond’unensemble
Pourd´ecrireunensembleedstlilal´´eesesepno,rennodtueatrolccenementsectso’uqsedae’c:lanappelled´efiniitno en extensiontpesn’lembseenUnisnia,e´nnodrosa.{1,3,2}et{1,2,3}sneelbmeaD.eecsntˆmmetnelirev´dce exemple, 2 est unlee´emtn´de{1,2,3}, ce qui se note
2∈ {1,2,3};
par contre,{1,3}estune partiede{1,2,3}; on dit que{1,3}estinclusdans{1,2,3}, ce qui se note
(noter que sixest dansA∪B, alorsxnadssla`eiofautpetrˆeAetdansB) Lar´euniond’unefamilled’ensemblescorrespondauquantificateur∃soit ((“il existe”): Ai)i∈Iune famille de parties d’un ensemble Ω. Alors [ x∈Ai⇔ ∃i∈I, x∈Ai. i∈I
L’intersection de deux ensembles correspond au lien logique “et”:
x∈A∩B⇔x∈Aetx∈B.
L’intersection d’une famille d’ensembles correspond au quantificateur∀(“pour tout”): soit (Ai)i∈Iune famille de parties d’un ensemble Ω. Alors \ x∈Ai⇔ ∀i∈I, x∈Ai. i∈I
c •leeneml´mpcoeriatdeAon,Ωsnadt´eeAop´seeedeiedcΩmostlapart,esaseniptnosdntqueΩels´me´e dansA: c Ω ={1,2, ...,10}, A={1,3,5,7,8,9,10}, A={2,4,6}.
c Lepassageaucompl´ementairecorresponda`lan´egationlogique:x∈A⇔x∈/ A. Remarquonsquelecompl´ementaired´ependdel’ensembleΩconsid´ere´,etque
c c A∪Aet= Ω A∩A=∅.
Propri´et´es1.1SoitA,BetCtrois parties d’un ensembleE.
c c c •(A∪B) =A∩B
c c c •(A∩B) =A∪B
•(A∪B)∩C= (A∩C)∪(A∩B)
•(A∩B)∪C= (A∪C)∩(A∪B)
D´emonstration:rpade`eocrpno,selbmesnexudedeit´eegalrl’´tnerruomopdouble inclusion, c’est a`direquesil’onsouhaiteprouverquedeuxensemblesAetBueobdrdaa’erqromtnnt´eso,onvgaux Aest inclus dansB, puis queBest inclus dansA. Montronsainsilapremie`reproprie´te´.SoitAetBdeux parties d’un ensembleE. c c c •Montrons que (A∪B) est inclus dansA∩Bmontrer qu’un ensemble. Pour Eest inclus dans un ensembleF,onmontrequehccanued´slee´emesdntEapa`ntiertpaFva donc montrer. On c c c iciquetout´ele´mentde(A∪B) est dansA∩B. c Soitxdans (A∪B) , alorsx6∈A∪B, doncx6∈Aetx6∈B, c c doncx∈Aetx∈B, c c doncx∈A∩B. c c c c c c Donctout´el´ementxde (A∪Bdans) est A∩B, donc (A∪B)⊂A∩B.