Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths

Costantini

Description

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien1.1. ThéorèmeLa fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et :x xlim e = 0 et lim e = +¥xfi-¥ xfi+¥Démonstration :• Continuité La fonction exponentielle est solution, sur  , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairementdérivable sur  et par conséquent continue sur  .• Stricte monotonieLa fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictementcroissante sur  .Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par :x ye  e ? x  y (Voir illustration, figure 1)Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des inéquations.• LimitesMontrons, tout d'abord, que pour tout x ˛  :xe  xPour cela, on étudie les variations de la fonction g définie sur  par : Technique à connaître : pour comparerdeux quantités, on étudie le signe dexg(x) = e - xleur différence.La fonction g est dérivable sur  et pour tout x ˛  :x x 0g'(x) = e - 1 = e - eComme la fonction exponentielle est croissante sur  , on en déduit :x 0x  0 ? e  e ? g'(x)  0D'où le sens de variation de la fonction g :x -¥ 0 +¥Signe de la dérivée g' 0- +Variations de la fonction g1La fonction g admet un minimum m strictement positif en 0 :0m = g(0) = e - 0 = 1Par conséquent la fonction g est strictement positive ...

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FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES
1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien
1.1. Théorème
La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et :
x xlim e = 0 et lim e = +¥
xfi-¥ xfi+¥
Démonstration :
• Continuité
La fonction exponentielle est solution, sur  , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement
dérivable sur  et par conséquent continue sur  .
• Stricte monotonie
La fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictement
croissante sur  .
Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par :
x ye  e Û x  y
(Voir illustration, figure 1)
Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des inéquations.
• Limites
Montrons, tout d'abord, que pour tout x ˛  :
xe  x
Pour cela, on étudie les variations de la fonction g définie sur  par : Technique à connaître : pour comparer
deux quantités, on étudie le signe dexg(x) = e - x
leur différence.
La fonction g est dérivable sur  et pour tout x ˛  :
x x 0g'(x) = e - 1 = e - e
Comme la fonction exponentielle est croissante sur  , on en déduit :
x 0x  0 Û e  e Û g'(x)  0
D'où le sens de variation de la fonction g :
x -¥ 0 +¥
Signe de la dérivée g' 0- +
Variations de la fonction g
1
La fonction g admet un minimum m strictement positif en 0 :
0m = g(0) = e - 0 = 1
Par conséquent la fonction g est strictement positive pour tout réel x, d'où :
xpour tout x ˛  , e  x
Fonctions exponentielles et logarithmes Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/Or, nous savons que x = +¥.lim
xfi+¥
Du théorème de comparaison des limites, on en déduit que l'exponentielle admet une limite en +¥ et :
x e = +¥lim
xfi+¥
Posons X = -x. Si x tend vers -¥ alors X tend vers +¥.
1 1xCompte tenu de la relation e = = nous avons :-x Xe e
1x Xe = = 0 (puisque e = +¥)lim lim limX
xfi-¥ X fi+¥ X fi+¥e
La courbe de la fonction exponentielle admet donc, en -¥, une asymptote horizontale d'équation y = 0.
Ce qui achève la démonstration du théorème 1.1.
Exercices :
x• Démontrer que, pour tout x ˛  : 1 + x  e
2x+ x• Démontrer que, pour tout x ˛  , on a : 1 + x +  e
2
• Déterminer l'approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.
1.2. Corollaire
*La fonction exponentielle est une bijection de sur  +
Démonstration :
On rappelle qu'une application ƒ : E fi F est une bijection lorsque tout élément l de F admet un et un seul
antécédent c dans E (ou de manière équivalente, l'équation ƒ(x) = l admet une unique solution c dans E).
* *Soit l ˛  . Comme la fonction exponentielle est continue et strictement croissante et à valeurs dans , le+ +
cthéorème de bijection assure l'existence d'un unique c ˛ tel que e = l.
y Cexp
3
e
2
Figure 1l
1
c 1 2 3 x-1
-1
Conséquence : l'exponentielle étant bijective, on a :
A Be = e Û A = B
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

1.3 Définition
On appelle fonction logarithme népérien la bijection réciproque de la fonction exponentielle. On la note ln.
*La fonction ln est donc définie sur  et à valeurs dans :+
ln(x) n'a de sens que pour x > 0
rr
Soit M(x, y) un point de la courbe de la fonction logarithme (voir figure 2) dans un repère orthonormé O;,ij.( )
*On a donc x ˛ et y = ln(x).+
yComme la fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, on a alors x = e . Donc le point
(1)M'(y, x) est situé sur la courbe de la fonction exponentielle. Or, le point M'(y, x) est le symétrique du point
M(x, y) par rapport à la droite D d'équation y = x. En conséquence :
Les courbes C et C sont symétriques par rapport à la première bissectrice D (droite d'équation y = x)exp ln
Cexp
y
M'
D : y = x3
e
2
Cln
M1
Figure 2
-1 1 2 e 3 x
-1
Puisque les fonctions exp et ln sont réciproques l'une de l'autre, on a :
xln e = x pour tout x ˛ ( )
ln(x) *e = x pour tout x ˛  +
B(B = ln(A) et A > 0) Û (A = e )
Et également : ln(e) = 1 ; ln(1) = 0
Exercices :
x• Démontrer que, pour tout x ˛  , on a : 2x  e
x x A-t-on : 3x  e pour tout x ˛  ? Soit a ˛  . En étudiant la fonction ƒ définie sur  par ƒ (x) = e - ax,a a
xdéterminer le plus grand réel a tel que : ax  e pour tout x ˛  . Interpréter graphiquement en terme de
tangentes (à des courbes que l'on précisera)
x 2 x 3• Comparer sur  , e et x . Puis e et x .

fi fi
(1) En effet, le milieu du segment [MM'] est bien sur D et d'autre part les vecteurs MM ¢ (y - x ; x - y) et u (1 ; 1) sont bien orthogonaux.
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
1.4. Théorème Autres limites avec des exponentielles
xe*• Pour tout n ˛  : lim = +¥
nxfi+¥ x
n x lim x e = 0
xfi-¥
xe• En particulier : lim = +¥
xfi+¥ x
xlim x e = 0
xfi-¥
xe - 1• Tangente à l'origine : lim = 1
x fi0 x
x x xe e e
Exemple : lim = lim · x = +¥ car lim = +¥ et lim x = +¥.
xfi+¥ xfi+¥ x xfi+¥ x xfi+¥x
Démonstration :
xe• Montrons : lim = +¥
nxfi+¥ x
XOn sait que pour tout X ˛  : e  X
x
x x
n+1En particulier pour X = :  e
n +1 n +1
n+1Par croissance de l'application t a t sur  , on a pour tout x ˛  :+ +
n +1xxe 
n +1(n + 1)
xe x*D'où, pour x ˛  :  + n n +1x (n + 1)
x
Comme lim = +¥, on en déduit facilement par comparaison que :
n +1xfi+¥(n + 1)
xe
lim = +¥
nxfi+¥ x
nun xEn posant u = -x, on en déduit : lim | x e | = lim = 0
uxfi-¥ ufi+¥ e
n xD'où : lim x e = 0
xfi-¥
xe x• En particulier pour n = 1, on a : lim = +¥ et lim x e = 0
xfi+¥ x xfi-¥
• Pour la troisième limite, nous reconnaissons l'accroissement moyen de la fonction exponentielle en 0, sa
0
limite est donc égale au nombre dérivé en 0 à savoir e = 1 :
x 0x e - e 0e - 1
lim = lim = exp' 0 = e = 1
x - 0x fi0 x x fi0
Fonctions exponentielles et logarithmes Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/Conséquence des deux dernières limites : Soit P un polynôme différent du polynôme nul (P „ 0).
xe xOn a alors : lim = +¥ lim P(x) e = 0
xfi+¥ xfi-¥|Px()|
Preuve : notons n le degré de P. On sait qu'alors :
n+1x
lim = +¥
xfi+¥|Px()|
xe
Par ailleurs, d'après 1.4. : = +¥lim n+1xfi+¥ x
xe
D'où, par produit : lim = +¥
xfi+¥|Px()|
n xPour la deuxième limite, il suffit de développer et d'utiliser le résultat lim x e = 0
xfi-¥
xe - 1
Exercice : Étudier la limite suivante : lim
x fi0 x
xx xe - 1e - 1 e - 1
(On écrit simplement = · x et on en déduit, par produit : lim = 1 · 0 = 0)
x x fi0x x
2. Étude de la fonction logarithme népérien
2.1. Théorème
La fonction ln transforme les produits en somme :
pour tous réels A et B strictement positifs : ln(AB) = ln(A) + ln(B)
Démonstration :
Comme l'exponentielle transforme les sommes en produits, on a :
ln(A) + ln(B) ln(A) ln(B)e = e e = AB
D'où : ln(A) + ln(B) = ln(AB)
2.2. Corollaire
1æöPour tous A et B strictement positifs : ln = - ln(B)ç÷ŁłB
Aæöln = ln(A) - ln(B)ç÷ŁłB
pln(A ) = p ln(A) (p ˛  )
1
ln A = ln(A)( )
2
Démonstration :
1æö• D'après 2.1. : ln + ln(B) = ln(1) = 0ç÷
BŁł
Fonctions exponentielles et logarithmes Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/1æöD'où : ln = - ln(B)ç÷ŁłB
Aæö• De même : ln + ln(B) = ln(A)ç÷
BŁł
AæöD'où : ln = ln(A) - ln(B)ç÷ŁłB
p• Si p  0, une récurrence élémentaire donne : ln(A ) = p ln(A)
1p -pSi p  0, alors : ln(A ) = ln = -ln(A )- pA
-pMais comme -p 0 : ln(A ) = -p ln(A)
pD'où : ln(A ) = p ln(A)
• Comme A > 0 : ln(A) = ln AA= ln A + ln A = 2ln A( ) ( ) ( ) ( )
1
D'où : ln A = ln(A)( )
2
2.3. Théorème Continuité du logarithme
*La fonction ln est continue sur  .+
Démonstration :
On pourrait utiliser le théorème de la continuité