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FONCTIONS POLYNÔMES
1. Fonction polynôme de degré quelconque
1.1. Définition
On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) de degrén (n) toute fonctionPdéfinie sur dont
l'écriture peut se ramener à la forme :
n n–1 P(x)=anx+an–1x+...+a1x+a0 oùa0,a1, ... ,anréels avecan0
p Le termeapxs'appelle monôme de degrép. On noten=deg(P).
Exemples et contreexemples : 6 4 La fonctionPdéfinie parP(x)=7x– 5x+3x– 11 est une fonction polynôme de degré 6. p Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers :p(x)=x(p) sont des fonctions polynômes de 0 degrép(avec la convention 0=1 lorsquep=0). Les fonctions affinesxaax+b, aveca0, sont des fonctions polynômes de degré 1. Les fonctions constantesxak, aveck0, sont des fonctions polynômes de degré 0. 31 La fonctionQdéfinie par :Q(x)=x+x+pas une fonction polynôme. n'est x 4 x1 Attention aux fauxamis ! La fonctiondéfinie par(x)=une fonction polynôme de degré 2, car est 2 x+1 4 2x1 après simplifications, on obtient(x)=x– 1. Cependant, la fonctiongdéfinie parg(x)= n'estpas 2 x1 une fonction polynôme car non définie pourx=±1. Remarques : Une fonction polynôme à coefficients réels est continue sur. (Voir leçon sur le calcul différentiel) n n–1 Une fonction du typeP(x)=anx+an–1x+...+a1x+a0où tous les coefficientsa0,a1, ... ,andes sont réels nuls s'appelle la fonction polynôme nulle. Une telle fonction polynôme n'a pas de degré. (En fait, on considère, par convention, que c'estafin d'assurer la comptabilité de certaines relations sur les degrés) On peut définir des fonctions polynômes avec des coefficients dans un ensembleAautre que. (Cela peut être par exemple le corps des nombres complexes). Cependant l'ensembleA doitposséder un certain (1) nombre de propriétés algébriques (A).doit être un anneau commutatif (1) Notion de groupeNotion d' anneau Un ensembleGUn groupe commutatif (est un groupe si il est muni d'une l.c.iA,+) est un anneau s'il est muni d'une seconde l.c.i. notée  (loide composition interne) vérifiant les troisgénéralement multiplicativement vérifiant les propriétés suivantes : propriétés suivantes :Associativité de la multiplication : Existence d'un élément neutree:x,y,zA, (x×y)×z=x×(y×z)=x×y×z xG,ex=xe=xDistributivité par rapport à l'addition : Associativité de la loi:x,y,zA, (x+y)×z=x×z+y×zetz×(x+y)=z×x+z×y x,y,zG, (xy)z=x(yz)=xyzExistence d'un élément neutre noté 1 : Existence d'un symétrique pour toutxdeE:xA, 1×x=x×1=x xG,yGtel quexy=yx=eSi de plus la seconde l.c.i. est commutative : Si de plus la l.c.i. est commutative :x,yA,x×y=y×x x,yG,xy=yxAlors l'anneau (A,+,×) est dit commutatif Alors le groupe (G,) est dit commutatif (ouUn anneau commutatifAdanslequel tout élément non nul est inversible pour la Abélien). Dans ce cas la loisera souvent notée+multiplication (, lexA,yAtel quex×y=1) est appelé un corps. (L'inverseydex 1 neutreenoté 0 et le symétriqueynotéx. serasouvent notéx) Un anneauAest intègre si :x,yA,xy=0 (x=0 ouy=0)
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On appelle polynômePsur un anneauA, toute suite (an) (n) d'éléments deAtous nuls sauf un nombre fini. L'indicen dudernier élément non nul de la suite (il existe en général puisque seuls un nombre fini d'éléments de la suite sont non nuls. Le seul cas où l'entiernn'existe pas est lorsque tous les éléments de la suite (an) sont nuls) s'appelle le degré deP. On noteX lepolynôme défini par la suite particulière (0 ; 1 ; 0 ; 0 ; ... ; 0 ; ...).Xs'appelle l'indéterminée (c'est un polynôme particulier). On montre alors que tout n n polynômeP dedegrén peuts'écrireP=anX+ ...+a1X+a0 oùX désigne; ... ; 0 ; 1 ; 0 ; ...)la suite (0 ème avec un "1" enn(c'est le cœur de la construction de la théorie des polynômes, mais la position démonstration n'est pas à la portée de ce cours ...). Enfin, précisons que si un polynômePtous ses a coefficients nuls, on dit queP estle polynôme nul et avec la même convention que pour les fonctions polynômes, on pose alors deg(P)=−∞. Il est d'usage de confondre fonction polynôme et polynôme. Cela est loisible lorsque les coefficients sont dans(ou dans un corps commutatif). Mais un tel abus peut tomber en défaut si les coefficients sont dans un anneauAnon intègre. (Voir divers encadrés cidessous)
Exercice : SoientPetQdes fonctions polynômes non nulles. Démontrer que : deg(P+Q)max(deg(P) ; deg(Q)) et deg(PQ)deg(P)+deg(Q) n n–1m m–1 NotonsP(x)=anx+an–1x+...+a1x+a0avecan0 etQ(x)=bmx+bm–1x+...+b1x+b0avecbm0. Pour la sommeP+Q, distinguons trois cas : n Sim<nalors,P(x)+Q(x)=anx+ ...donc deg(P+Q)=deg(P). m Sin<malors,P(x)+Q(x)=bmx+ ...donc deg(P+Q)=deg(Q). n Sin=malors,P(x)+Q(x)=(an+bn)x+... Sian+bn0 alors deg(P+Q)=n=deg(P). Sian+bn=0, alors deg(P+Q) <n, c'estàdire deg(P+Q) < deg(P). Bilan : dans tous les cas, on a deg(P+Q)max(deg(P) ; deg(Q)) n n–1m m–1 Pour le produitPQ, on écritPQ=(anx+an–1x+...+a1x+a0)(bmx+bm–1x+...+b1x+b0) n+m En développant, on obtient :PQ=anbmx+... (termes de degré inférieurs) En général (et notamment si les coefficients sont réels),anbm0 (puisquean0 etbm0). Donc, en général, deg(PQ)=n+m=deg(P)+deg(Q) . Si les coefficients ne sont pas réels, on peut ne pas avoir l'égalité deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) Dans ,considérerP= 2X etQ= 2X (deg(P)=deg(Q)=1) 42 PQ= 2X× 2X= 4X= 0 , donc deg(PQ)=−∞
2. Division euclidienne d'un polynômeA par un polynômeB(non nul)
Dans ce paragraphe, les polynômes considérés sont à coefficients réels (ou dans un corps commutatif).
On rappelle que dans ce cas, siAetBsont des polynômes non nuls, on a : deg(AB)=deg(A)+deg(B).
2.1. Théorème
SoientAetBdeux polynômes à coefficients réels (ou dans un corps commutatif) avecB0.
Il existe un unique couple (Q,R) de polynômes à coefficient réels tels que :
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A=BQ+Ret deg(R) < deg(B)
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Exemple et calcul pratique deQetR: 4 32 A=X7X+17X17X+6 2 B=X5X+4 On pose la division en utilisant les mêmes principes que pour la division des nombres : 4 32 2 X7X+17X17X+6X5X+4 4 3 22 X5X+4X X2X+3 3 2 2X+13X17X+6 3 2 2X+10X8X 2  3X9X+6 2  3X15X+ 12  6X6 2 On a doncQ=X2X+3 etR=6X6. Ce qui nous permet d'écrire : 4 32 22 X7X+17X17X+6=(X5X+4)(X2X+3)+6X6 Démonstration du théorème 2.1. Unicité du couple (Q,R) : Supposons qu'il existe des couples (Q1,R1) et (Q2,R2) de polynômes tels que : A=BQ1+R1=BQ2+R2 avec deg(R1) < deg(B) et deg(R2) < deg(B). Posons :Q=Q1Q2etR=R2R1 Ainsi :BQ=BQ1BQ2=R2R1=R Et comme et deg(R1) < deg(B) et deg(R2) < deg(B), on en déduit : deg(R) < deg(B) () Mais par ailleurs, siQ0, on a : deg(R)=deg(BQ)=deg(B)+deg(Q). Comme deg(Q)0 puisqueQdeg(0, on a :R)deg(B) (✳✳) La condition (✳✳) contredit () doncQ=0. On en déduitQ1=Q2et doncBQ=R=0 d'oùR1=R2, d'où l'unicité du couple (P,Q). Existence du couple (Q,R) : Notons : d A(x)=a x+... (termes de degrés inférieurs) avecd=deg(A) et donca0 n B(x)=b x+... (termes de degrés inférieurs) avecn=deg(B) et doncb0 Sid<n, alorsQ=0 etR=Aconviennent (puisqueA=B×0+Aavec deg(A) < deg(B)) Supposons désormaisnd: a dn Considérons le polynômesQ1défini par :Q1(x)=x(bien défini carb0) b adnn d On a ainsi :Q1B=x×(b x+...)=a x+... b Si on pose alors :A1=AQ1B, on obtient alors un polynôme de degréd1tel qued1<d. Maintenant, sid1<nalorsQ=Q1etR=A1conviennent (puisqueA=BQ1+A1avec deg(A1) < deg(B)) Sinon, on réitère le procédé comme cidessus en construisant des polynômesQ2etA2à partir deA1etB:
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a1d1n Q2(x)=xetA2=A1Q2B b a1désigne le coefficient principal deA1. Ainsi, on vérifie que : deg(A2) < deg(A1) < deg(A) etA=B(Q1+Q2)+A2. Et ainsi de suite... Le processus s'arrête nécessairement au bout d'un nombre finiNd'étapes (puisque la suite des degrés (dk) est une suite d'entiers naturels strictement décroissante, donc il existe un rangNtel quedN<n. On a alors : A=B(Q1+Q2+...+QN)+AN Les polynômesQ=Q1+Q2+...+QNetR=ANconviennent (puisque deg(AN) < deg(B)) Exemple : En reprenant 4 32 A=X7X+17X17X+6 2 B=X5X+4 2 et la division posée cidessus, on a :N=3,Q1=X;Q2=2XetX3=3. Cas particulier : siR=0, alorsA=BQ, on dit alors que le polynômeBdiviseA.
3. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme
3.1. Définition On appelle racine réelle d'une fonction polynômeP(à coefficients réels) tout réelλtel que : P(λ)=0.
Exemples : 2 Trouver les racines de la fonction polynômePdéfinie surpar :P(x)=(x– 1)(xx– 1). 2 Il y a une racine évidente :x1=1. Les autres s'obtiennent en étudiant le trinômexx– 1. 1+5 15 On aΔ=5 d'oùx2= etx3= . 2 2 er Les fonctions polynômes du 1degréxaax+b(oùaetbsont des réels aveca0) admettent toutes une b seule racineλ= −. a 2 Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemplex+ 1qui est strictement positif. Remarque : une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant (puisque continue).
3.2. Théorème Si une fonction polynômeP àcoefficients réels de degrén (n 1)a une racine réellex=λ, alors on peut factoriserP(x) par (xλ) : P(x)=(xλ)Q(x) oùQest une fonction polynôme de degrén– 1.
Exemple : ce théorème est quotidiennement illustré par les égalités remarquables: 2 2 xa=(xa)(x+a) 3 32 2 x+y=(x+y)(xxy+y) n nn–1n–2n–1 xa=(xa)(x+ax+...+a) (vérification facile)
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Démonstration : On effectue la division euclidienne dePparXλ. D'après le théorème, il existe un couple (Q,R) de polynômes tels que :P=(Xλ)Q+Ravec deg(R) < deg(Xλ) Or, deg(Xλ)=1, donc deg(R)=0 ou−∞.Rest donc une fonction polynôme constante. Par ailleurs,λest une racine deP. On a donc : 0=P(λ)=(λλ)Q(λ)+R(λ) DoncR(λ)=0. DoncRest la fonction polynôme nulle et le théorème est pratiquement démontré. Il reste encore à prouver que deg(Q)=n 1,ce qui est une conséquence de la relation deg(P)= deg(Xλ)+ deg(Q) (On a égalité puisque les coefficients sont réels) d'où :n=1+deg(Q), c.q.f.d.
3.3. Théorème
Une fonction polynômePde degrénà coefficients réels possède au plusnracines réelles.
Démonstration : Ce théorème peut ne pas être valable si les PuisquePa un degré,Pn'est pas la fonction polynôme nulle. coefficients sont non réels : 2 Raisonnons par l'absurde. Si la fonctionPpossèdepracines avecp>n, Dans ,considérerP=X 1 8en notantλ1, ... ,λpracines, on a, d'après le théorème de cesest de degré 2 et possède pourtant 4 racines : ~ ~ ~ ~ factorisation (appliquépfois) : P( 1)=P( 3)=P( 5)=P( 7)=0 P(x)=(xλ1)(xλ2) ... (xλp)Q(x) Qest une fonction polynôme de degrénp< 0, doncQ=0 et, par suite,P=0, ce qui contredit l'hypothèse initiale d'oùpn. La fonction polynômePpossède donc au plusnracines réelles.
3.4. Corollaire Une fonction polynômePà coefficients réels de degrénadmettant plus den(ou une infinité) de racines réelles est la fonction polynôme nulle.
Démonstration : SiPn'est pas la fonction polynôme nulle, alors elle a un degrénet d'après le théorème 3.3. admet au plus n racinesréelles. Donc si elle admet plus quen (ouune infinité) de racines réelles, elle est nécessairement nulle. Application : démontrer que deux fonctions polynômesP etQcoefficients réels de degré au plus àn qui coïncident enn+ 1 points sont égales. Il suffit de considérer la fonction polynômePQqui est de degré au plusnet qui possèden+1 racines réelles. Donc, d'après le corollaire,PQest la fonction polynôme nulle doncP=Q.
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