Cours sur les suites arithmétiques et géométriques

Eliane Bazillais

Description

˛„··˛··„··˛„·²··˛˛··˛·Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques Suite Arithmétique Suite Géométrique Une suite numérique (u ) est une suite arithmétique s'il Une suite numérique (u ) est une suite géométrique s'il existe n nexiste un réel r tel que pour tout entier naturel n : un réel q (non nul) tel que pour tout entier naturel n : u = u + r. Le réel r est appelé raison de la suite. u = q u . Le réel q est appelé raison de la suite. n+1 n n+1 n u u u u u u 0 1 2 3 4 5 u u u u u u0 1 2 3 4 5 • • • • • • • q q q q q + r + r + r + r + r + r On passe d’un terme de la suite On passe d’un terme de la suite au au terme suivant, en ajoutant r . terme suivant, en multipliant par q . Si (u ) est une suite arithmétique de premier terme u et Si (u ) est une suite géométrique de premier terme u et de n 0 n 0de raison r, alors : raison q, alors : pour tout n : u = u + …… pour tout n : u = u …… n 0 n 0 pour tout n : u = u + …… pour tout n : u = u …… n 1 n 1 pour tout n : u = u + …… pour tout n : u = u …… n 5 n 5 Méthode : Pour savoir si une suite est arithmétique, il Méthode : Pour savoir si une suite est géométrique, il suffit suffit de montrer que pour tout entier naturel n que la un+1de ...

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Extrait

Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques Suite ArithmétiqueSuite Géométrique Unesuite numérique (u) estune suite arithmétique s'ilUnesuite numérique (u) estune suite géométrique s'il existe n n existe un réelr telquepour tout entier natureln: unréelq(non nul) tel quepour tout entier natureln: u=u+r. Le réelrest appelé raisonde la suite. u=q´u. Le réelqest appelé raisonde la suite. n+1n n+1n u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5  qq qq q  +r +r +r +r +r +r On passe d’un terme de la suite On passe d’un terme de la suite au au terme suivanten a outant. terme suivant, en multipliant parq. Si (u) estune suite arithmétique de premier termeuet Si(uune suite géométrique de premier terme) estuet de n 0 n 0 de raisonr, alors :raisonq, alors : pourÎ=utout…… pournΠ:u=u´…… toutn:u 0 + n 0 n toutnÎu=u´……pour toutnÎ:u n 1 =u+ …… pour: n 1 pour toutn:u n = 5 ……pour toutn:u n =u 5 ……Îu+Î ´ Méthode : Pour savoir si une suite est arithmétique, ilMéthode :Pour savoir si une suite est géométrique, il suffit suffit de montrer quepour tout entier naturelnque la u n#1 de montrerpour tout entier naturelnque le quotient différenceu–une dépend pas denet est constante. n+1n u n ne dépend pas denet est constant.(attention,u¹0) n Somme des termes d'une suite arithmétique . Exemple : Somme des entiers naturels de 1 àn. La somme des entiers naturels de 1 ànest égale à+ 2 + 3 + 4………..+: 1n= …………. Propriété : Si (u) estune suite arithmétique, alors pour tout entiern, la somme S n n (S =u+u+u+……………u) desn+1 premierstermes de cettesuite est donnée par la formule : n 0 12 n er u+u 0 n de la somme + dernier terme1 terme S =(n+1)´l'on peut retenir sous :S =(nombre de termes) que´ . n n 2 2 Exemple : 7 1.uet de premier termeest une suite arithmétique de raisonu= − 3. 0 ( Calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite. 2.uest une suite arithmétique de raison 2 et telle queu= 1. 0  a.Calculeru,u,uetu. 10 11 12100  b.Calculer la somme S =u+u+u+ ………..+u 10 1112 100 Somme des termes d'une suite géométrique. Propriété : Si (uune suite géométrique de raison) estqavecq ¹ 1, alors pour tout entiern, n la somme S(S =u+u+u+……………u) desntermes de cette suite est donnée par la formule :+1 premiers n n 012n nombre de termes n+1 1 –q er 1 –(raison) S =ul'on peut retenir sous :S = que(1 termede la somme)´ . n 0 n 1 –q 1 – raison n+1 1 –q 3 n Exemple : En particulier,pour tout réelq¹1 : 1+q+q² +q………..+q= . 1 –q Exemple : 1 1.uet telle queest une suite géométrique de raisonu= 1. Calculer la somme S =u+u+u+ ... +u. 0 56 750 ( 2 310 2. Calculer T = 5+ 5+ ... + 5.

Limite d'une suite géométrique de raison positive n La suite (qest une suite géométrique de raison )q,qstrictement positif , n ·Si 0 <qlim< 1 , alorsq= 0 n| #¥ n n ·Siq= 1 , alors pour tout n ,q= 1 et donclimq= 1 n| #¥ n ·Siqlim> 1 , alorsq= +¥ n| #¥ Exemple : n La suite (u n ) définie paru n = 2limest une suite géométrique de raison …… supérieur à 1 ; on a doncu n = +¥ n| #¥ Limite d'une suite géométrique de raison positive n La suite (q )est une suite géométrique de raisonq,qstrictement positif , n ·Si 0 <qlim< 1 , alorsq= 0 n| #¥ n n ·Siq= 1 , alors pour tout n ,qlim= 1 et doncq= 1 n| #¥ n ·Siq> 1 , alorslimq= +¥ n| #¥ Exemple : n La suite (u n ) définie paru n = 2limest une suite géométrique de raison …… supérieur à 1 ; on a doncu n = +¥ n| #¥ Limite d'une suite géométrique de raison positive n La suite (q )est une suite géométrique de raisonq,qstrictement positif , n ·Si 0 <q< 1 , alorslimq= 0 n| #¥ n n ·Siq= 1 , alors pour tout n ,qlim= 1 et doncq= 1 n| #¥ n ·Siqlim> 1 , alorsq= +¥ n| #¥ Exemple : n La suite (u n ) définie paru n = 2limest une suite géométrique de raison …… supérieur à 1 ; on a doncu n = +¥ n| #¥ Limite d'une suite géométrique de raison positive n La suite (q )est une suite géométrique de raisonq,qstrictement positif , n ·Si 0 <q< 1 , alorslimq= 0 n| #¥ n n ·Siq= 1 , alors pour tout n ,qlim= 1 et doncq= 1 n| #¥ n ·Siqlim> 1 , alorsq= +¥ n| #¥ Exemple : n La suite (u n ) définie paru n = 2est une suite géométrique de raison …… supérieur à 1 ; on a donclimu n = +¥ n| #¥