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Cours sur les triangles rectangle et cercle

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http://fsenicourt.free.fr 4G2 COURS - 1 - Triangle rectangle et cercle / Distance I. Pré requis 1) Médiane : Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. 2) Médiatrice : Définition : Dans un triangle, la médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu Propriété : • Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. C'est-à-dire, par exemple, si M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MB • Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. C'est-à-dire, par exemple, si M est un point tel que MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB] Activité : les médiatrices d’un triangle sont concourantes, une conjecture puis preuve. Propriété : Les médiatrices d’un triangle non aplati se coupent en un même point, on dit qu’elles sont concourantes. Le point de concours des médiatrices est le centre d’un cercle passant par les trois sommets de ce triangle. Définition : Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle. er nd1 cas : Si les 3 angles du triangle sont aigus, 2 cas : Si l’un des angles est obtu, alors le alors le centre du cercle circonscrit au triangle est centre du ...
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http://fsenicourt.free.fr 4G2COURS 1  Triangle rectangle et cercle / Distance I.Pré requis 1)Médiane : Définition :Dans un triangle, unemédianeest une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. 2)Médiatrice : Définition :Dans un triangle, lamédiatriced’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu Propriété :Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.  C'estàdire,par exemple,si M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MBRéciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. C'estàdire, par exemple,si M est un point tel que MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB] Activité : les médiatrices d’un triangle sont concourantes, une conjecture puis preuve. Propriété :Les médiatrices d’un trianglenon aplatise coupent en un même point, on dit qu’elles sontconcourantes. Le point de concours des médiatrices est le centre d’un cercle passant par les trois sommets de ce triangle. Définition :Ce cercle est appelécercle circonscritau triangle.
er nd 1 cas: Siles 3 angles du triangle sont aigus, 2cas : Sil’un des angles est obtu, alors le alors le centre du cercle circonscrit au triangle estcentre du cercle circonscrit au triangle est à à l’intérieur du triangle.l’extérieur du triangle.Question : Que se passetil donc lorsque le triangle est rectangle ? II.Triangle rectangle et cercle Activité : Conjecture du théorème suivant à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, puis preuve. Théorème :Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle qui lui est circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
http://fsenicourt.free.fr 4G22 COURS  Hypothèses :Conclusion :
Le triangle ABC est rectangle en ALe centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu O de son hypoténuse [BC] Autres énoncés : a.Si un triangle est rectangle, alors le sommet de l’angle droit appartient au cercle de diamètre l’hypoténuse b.Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse. Activité : Conjecture du théorème réciproque à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, puis preuve. Théorème réciro uele le cercle circonscrit a: Si dans un trianour diamètre un de ses côtés alors le triangle est rectangle(et ce diamètre est son hypoténuse) Hypothèses :Conclusion :
Le triangle ABC est rectangle en A A appartient au cercleع[BC] est un diamètre du cercleعAutres énoncés : Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre de ce cercle, alors on obtient un triangle rectangle. le mesure la moitié de ce côté alors leSi la médiane relative à un côté d’un trian triangle est rectangle (et ce côté est son hypoténuse)
http://fsenicourt.free.fr3  4G2COURS  III.Distance 1)Distance d’un point à une droite Activité : Conjecture de la propriété suivante à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, puis preuve. Propriété :Le point d’une droite le plus proche d’un point donné est le pied de la perpendiculaire menée duoint à la droite. La distance joignant alors ces deux points est appeléedistance du point à la droite. Exemple : La droite (AH) est perpendiculaire en H à (d). DoncAH est la distance de A à la droite (d).De plus, si M est un point quelconque de (d) différent de H, alorsAM > AH
2)Utilisation pour déterminer laosition relative d’une droite et d’un cercleSoit un cercle de centre O et de rayon r. Une droite (d) est perpendiculaire en H à l’un de ses diamètres. La distance OH est la distance du centre à la droite (d) Trois cas de figure sont alors possibles : a. OH < rb. OH = rc. OH > r
La droite estextérieureau cercle La droite esttangenteau cercle La droite estsécanteau cercle Ils n’ontaucun point en communIl n’y a alors qu’un seul point Ils ont alorsdeux points communsen commun: H 3)Tangente à un cercle en l’un de ses points Définition :Latangenteà un cercle en un point est la perpendiculaire au rayon en ce point.