Cours sur les variables aléatoires réelles discrètes

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• Publié par: Sowyeg
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Extrait

Chapter 4

Variablesale´atoiresre´ellesdiscr`etes

Sommaire 4.1Variableal´eatoirer´eellediscre`te.....................................34 4.2Loid’unevariableal´eatoirere´elle....................................34 4.3 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.1 Fonction indicatrice et loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.2 Loi uniforme sur { 0   n } , avec n ∈ N ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.3Loibinomialedeparam`etres n et p , n ∈ N ∗ et p ∈ ]0  1[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.4Loige´ome´triquedeparame`tre p , avec p ∈ ]0  1[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.5LoidePoissondeparam`etre λ , avec λ ∈ R ∗ + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4Fonctiondere´partition..........................................37 4.5Esp´erancedesvariablesal´eatoiresr´eelles................................39 4.5.1D´efinitionetcalcul........................................39 4.5.2Rappelsetcomple´mentssurless´eriesdenombresre´els....................40 4.5.3Propri´ete´s.............................................41 4.5.4In´egalite´deMarkov.......................................43 4.6Varianceet´ecart-type..........................................44 4.6.1De´finitionetproprie´t´es.....................................44 4.6.2In´egalite´deTchebitcheff.....................................45 4.7 Calculs pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Objectifs: • Introduirelapossibilite´demanipulerunefonctiondure´sultatd’uneexp´erienceale´atoire,ou variableale´atoire.Comprendrelanotiond’esp´eranceetdevarianced’unevariableale´atoirer´eelle.Savoirles calculerpourdesvariablesdiscr`etes. ´ • Comprendrelanotiondeloietsavoirdonnerlaloid’unevariableal´eatoirereelledanslecasdiscret. • Savoircalculerlaloidelavariableale´atoirea`partirdesafonctiondere´partition,etre´ciproquement. Mots-cl´es: • variableal´eatoirediscrete. ` • loid’unev.a.,fonctiondere´partition. • espe´rance,variance.

Outils: • lin´earite´del’esperance: E ( aX + bY ) = a E X + b E Y . ´ • positivit´edel’espe´rance:si X ≥ Y alors E X ≥ E Y . • formule de calcul de E ( f ( X )) quand X estunev.a.discr`eteoua`densite´(the´or`emedetransfert). • non-line´arit´edelavariance:enge´ne´ralvar( X + Y ) 6 = var X + var Y et var( aX + b ) = a 2 var X . e • In´egalit´sdeMarkovetdeTchebitcheff.

4.1Variableal´eatoirer´eellediscre`te Unevariableale´atoireal´eatoirere´ellediscr`eteestunefonctionduhasarda`valeursdansunesous-ensemblefiniou de´nombrablede R : D´efinition4.1 Soit (Ω  F  P ) unespacedeprobabilite´.Uneapplication X de Ω dans R , ne prenant qu’un nombre finioude´nombrabledevaleursdiffe´rentes,estappele´e variableale´atoirere´elle . L’ensembledesvaleursprisesparlavariableale´atoire X est l’image de Ω par X ,etestnote´ X (Ω) : c’est un ensemblefinioud´enombrablede ⊂ R . ♠ Attention ! Onnotetraditionnellementlesvariablesal´eatoiresavecleslettres X Y Z T  U V W : il faut garder enteˆtequemalgr´eleurnom(variables),cesontdesapplicationsdeΩdans R .Les´ev´enementssonttraditionnelle- mentnote´savecleslettres A B C :gardonsa`l’espritlefaitquecesontdespartiesdeΩ. B Exemple : Sionlancetroisde´s,onpeutnoter X 1 ler´esultatdupremierde´, X 2 lere´sultatdusecondet X 3 le resultatdutroisie`me.L’introductiondecesvariablesale´atoirespermetalorsd’e´tudierplusfacilementparexemple ´ lasommedestroisde´s S = X 1 + X 2 + X 3 .Onpourraitnetravaillerqu’avecdese´ve´nements,maisilestbeaucoup pluspratiquedemanipulerdesvariablesal´eatoires.

4.2Loid’unevariableale´atoirere´elle D´efinition4.2 Soit (Ω  F  P ) unespacedeprobabilite´,et X unevariableale´atoirere´ellede´finiesur Ω . La loi P X delavariableal´eatoire X est la probabilit´e sur ( X (Ω)  P ( X (Ω)) de´finiepar: ∀ A ∈ P ( X (Ω)) P X ( A ) = P ( { ω ∈ Ω : X ( ω ) ∈ A } ) = P ( X ∈ A ) ♠ Attention ! aux notations probabilistes: la notation { X ∈ A } estuneb´eviationdel’´ecriture { ω ∈ Ω : X ( ω ) ∈ a r A } = X − 1 ( A ),plussimplea`manipulerdanslapratique.C’estunepartiedeΩ,dontonpeutle´gitimementvouloir calculer la probabilit´ e. Remarque : La loi P X estdoncuneprobabilite´surl’espaced’arrive´e( X (Ω)  P ( X (Ω)). On peut aussi dire que c’estlaprobabilit´e image delaprobabilit´e P parlavariableal´eatoire X .C’estaveccetteprobabilite´qu’onva travaillerquandonveute´tudierlavariableal´eatoire X ,oulephe´nom`eneal´eatoired´ecritpar X . ♠ Attention ! Nepasconfondrelavariableale´atoire(lafonctionduhasard)avecsaloi(laprobabilite´qui de´critsoncomportement”statistique”)!Sionlancedeuxd´es´ilibr´esind´ependants,qu’onnote X 1 ler´esultat equ dupremierde´et X 2 lere´sultatdusecond,alors X 1 et X 2 ontclairementmeˆmeloi–laprobabilit´euniformesur { 1  2      6 } , mais P ( X 1 = X 2 ) < 1,etlesvariablesal´eatoiressontdiff´erentes.

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