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Cours sur les variétés affines

29 pages
666Varietes a nesSoit F un corps algebriquement clos. Soit n un entier, n 0.n nEspace a ne de dimension n sur F , noteA ou simplementA , c’est l’ensembleFnF =FF =f(a ;:::;a )j a 2Fg1 n in(produit direct de n copies de l’ensemble F ). Elements deA sont appeles points. Pourntout point P = (a ;:::;a )2 A , les elements a ;:::;a sont les coordonnees du point1 n 1 nP .On note par A la F -algebre F [x ;:::;x ] des polyn^ omes a coe cients dans F en n1 nvariables x ;:::;x . Tout f2A determine une application (fonction)1 nnA !F; P = (a ;:::;a )7!f(P ) =f(a ;:::;a ):1 n 1 nL’ensemble des zeros de cette fonction, note Z(f), est appele l’ensemble des zeros dupolyn^ ome f. Ainsi doncnZ(f) :=fP2A j f(P ) = 0g:Plus generalement, pout tout sous-ensemble TA, on noteZ(T ) l’ensemble des zeroscommuns des polynomes^ de T :\nZ(T ) = Z(f) =fP2A j f(P ) = 0 8f2Tg:f2TComme dans le cas de T =ffg on prefere la notation allegee Z(f) a Z(ffg), on ecritaussi Z(f ;:::;f ) pour Z(ff ;:::;fg).1 r 1 rDe nition.nUn sous-ensembleYA est dit un ensemble algebrique, siY =Z(T ) pour unTA.Lemme.Tout ensemble algebrique est l’ensemble des zeros communs(1) d’un ideal aA;(2) d’un ensemble ni de polyn^ omes.Preuve. (1)Z(T ) =Z(a), ou a = l’ideal engendre parT . (2) L’anneauA est noetherien,l’ideal a est donc engendre par un nombre ni d’elements. Proposition.nLes ensembles algebriques sont les ensembles fermes d’une topologie surA ...
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Vari´et´esanes SoitFucnrospla´griebemqutcens.lotioSnun entier,n0. Espace affine de dimensionnsurF´en,toAFnou simplementAn, c’est l’ensemble Fn=F× ∙ ∙ ∙ ×F={(a1 . . .  an)|aiF} ´ (produit direct dencopies de l’ensembleFnest´lme.)EdeAnl´esappesontpoints. Pour tout pointP= (a1 . . .  an)Anstes,ll´´eenema1 . . .  ansont lescoordonn´eesdu point P. On note parAlaFlg-aebr`eF[x1 . . .  xnylopsed]snstades`anˆomciencoeFenn variablesx1 . . .  xn. ToutfAmierunneetd´ction)itnof(noaeppilac AnF P= (a1 . . .  an)7→f(P) =f(a1 . . .  an). Lensembledesze´rosdecettefonction,not´eZ(fduoserz´)appe,estesn´lledesemelb poly ˆ ef. Ainsi donc nom Z(f) :={PAn|f(P) = 0}. Plusg´ene´ralement,pouttoutsous-ensembleTA, on noteZ(Tbmelnees)ls´erodesz communsdespolynoˆmesdeT: Z(T) =\Z(f) ={PAn|f(P) = 0fT}. fT Comme dans le cas deT={f}´`fnonaio´ellanelatoteeg´Z(f)`aZ({f}irce´no,)t pre er aussiZ(f1 . . .  fr) pourZ({f1 . . .  fr}). De´nition. Un sous-ensembleYAnest dit unrbqieuensemblealg´e, siY=Z(T) pour unTA. Lemme. Toutensemblealg´ebriqueestlensembledeszeroscommuns ´ (1)dunide´alaA; (2)dunensemblenidepolynˆomes. Preuve. (1)Z(T) =Z(a`u),oa=liddn´rperae´laneegT. (2) L’anneauAesneir,eonte´ht lid´ealacengtdonesmorburnne´apnerdtseneml´´ednie.Proposition. Lesensemblesalg´ebriquessontlesensemblesferme´sdunetopologiesurAn. Preuve.(1)Lare´uniondedeuxensemblesalg´ebriquesestunensemblealg´ebrique: Z(T1)Z(T2) =Z(T1T2`o,)uT1T2:={f1f2|f1T1 f2T2}.En effet, si PZ(T1) ouPZ(T2), alorsPZ(T1T2 si). Inversement,P6∈Z(T1) etP6∈Z(T2), alorsf1(P)6= 0 etf2(P)6= 0 pour certainsf1T1etf2T2,do`uP6∈Z(T1T2) parce que (f1f2)(P) =f1(P)f2(P)6= 0. (2)Lintersectiondensemblesalg´ebriques(ennombreniouinni)estalge´brique: \Z(Ti) =Z([Ti). iI iI 1
2 (3) L’ensemble vide∅ ⊂Anaede´alitatotquelinsiAnnetnbmesosiqbrs:uesale´elg =Z(1) =Z(A) etAn=Z(0) =Z().D´enition. La topologie surAnainsi obtenue s’appelle latopologie de Zariski. Exemple-Exercice. La topologie de Zariski sur la droite affineA1, c’est latopologie cofinie, c.-a-d., la ` topologie dont les ouverts non-vides sont les sous-ensembles du complement fini. Cette topologie n’est p´e´ear(= n’est pasHausdorff). assep De´nition. Un espace topologiquenon-videXest ditebltiucedr´ri, siX6=X1X2srm´eefsuotruop propresX1 X2(X. Exercice. 1)A1tse´rricudelbite. 2)Xelrridu´eibct⇐⇒tous deux ouverts non-vides ont intersection non-vide. 3)Xbielictdu´err⇐⇒tout ouverts non-vide estdense. 4)Xel,ctib´eduirrUXun ouvert non-vide =Uparrap(elbitcuder´irsteport`ala topologie induite). ¯ 5)Xquelconque,YXrielde´rne-sbmesuounslb=ecuitl’erenchde´aYdeYest aussiirre´ductible. De´nition. Unevaque)aneire´´t(ela´gbeireiqu´errctduleibesneelbm´glairbe,cestuneacspneu(d ane).Unevarie´te´quasi-affinetunoces,deuv-dintnovureeat´e.nvane´eri A part de l’applicationZassocie`qui-sneesbmtauostuoelTAle sous-ensemble Z(T)Anorsndie´lpcilpanationsco,Iqutdaniagialsertusnesqteeasuicisoate`tou sous-ensembleYAnle sous-ensembleI(Y)ArudseopylˆnmoesquisannulentsY: I(Y) :={fA|Z(f)Y}. L’ensembleI(Ye)tse´lanudiannedelauAposel,sunoitare´sEnpl.ZetIinversent les inclusions: T1T2=Z(T1)Z(T2) etY1Y2=I(Y1)I(Y2). Finalement,ellestransformentlesre´unionsenintersections: Z(STi) =TZ(Ti) etI(STj) =TI(Tj). iI iI jJ jJ Concernantlesdeuxcompos´eesdecesdeuxop´erations,ona Proposition. (1)Pourtoutide´alaAon a I(Z(a)) =a`a:={fA|fmapour unm1}est leradicaldiled´ealae´laestunid(c ou contenanta.),tnmelera´eeng´usPlI(Z(T)) =p(To)`u(Taprrde´gnneealeid´):=lT.
3 ¯ (2) Pour tout sous-ensembleYAnon aZ(I(Y)) =Y . Preuve.(1)Linclusione´videnteaI(Z(a)) entraˆıneapI(Z(ad`ou),)aI(Z(a´dilaearcequel))pI(Z(a)) estradical¨ınc.,covecsideapoernorpac)larid..-(c-d`a L’inclusion inverse provient duNullstellensatzci-dessous. (2)Z(I(Yst)efeun´ermntconanet)Yem´ertfuoteuqrertnomedcI.uslnodtZ(T) contenantYcontient aussiZ(I(Y)): Z(T)YTI(Z(T))I(Y)Z(T)Z(I(T)).Theorem (Nullstellensatzde Hilbert). Soientf;f1 . . .  frAavecZ(f)Z(f1 . . .  fr). Alorsfp(f1 . . .  frc,-.)-d`ail., existentg1 . . .  grAt.q.fm=g1f1+∙ ∙ ∙+grfravec unm1. Nousabandonspourlinstantlapropositionci-dessus(sa2e`mepartieserad´emontre´e plus tard) et nous concentrons sur la preuve du Nullstellensatz. Elle se base sur Th´eor`eme. Danscethe´or`emelecorpsdebaseFssimdnoilarepatneuemrbqilg´etreaasˆeenep clos. SoitKun corps contenantF. SiKest d’engendrement finicommeF-g`alreeb, alors Kest une extensionalg´ebriquedeF(et donc une extensionfiniedeF). Preuve. On suppose queKesquurtpasnesebrialg´Fanscen--c.d.a-,e´rgrtedeuq,edel ` dance tr.degFKsotivieeseptelqurentmo´endtoaFerbe`gla-Kn’est pas d’engendrement fini. SoitF0reeenttnnuroecprisairi´mdeFetKt.q. tr.degF0Konemd´deertr=tuslI.1 que laF0-la`gbeerKleererstpasdengendremnels,itduonecd´sitneA.inisnicnod caso`utr.degFK= 1. Danscecas,ilexisteune´l´ementxKtranscendant surFet t.q. l’extensionK/F(x) est finie. Le corpsF(x) est le corps des fractions rationnelles d’une variable. Soientf1 . . .  fmel´edes´sdementKnne(rbmoinelI.)tsud´deonemertruqlea Fa-gle`rbeAueeqitetsplutpesengendr´eepareuxK. Soient encoree1= 1 e2 . . .  erune base deKanstomtcace`inetseemecape´´rsndioc ´ vectoriel surF(x.Ecrivo)ocpmsotiosnisenldse´ (1)fi=Praijej j=1bij ´ avecdespolynoˆmesaij bijF[xivcrsaonE].nsitiopmsoe´oceldssuis k rcijek (2)eiej=k=P1dijk toujoursavecdespolynˆomescijk dijkF[x]. Tout´ele´mentaAanibnosi´nilriaeeunstomecroduedepeitsdf1 . . .  fma`tsicneoce dansF faisant la substitution (1), on voit que. Enaest une combinaison li ´ i e d nea r e produits dee1 . . .  ersnadstneice`acoF(x minateurs) t.q. les diviseurs premiers d s d´ e eno descoecientssetrouventparmilesdiviseurspremiersdespolynˆomesbij. Maintenant, enfaisantlasubstitution(2),onsed´ebarrassedesproduitsetlonvoitqueaest une combinaisonlin´eairedee1 . . .  ersansdntiecoeca`F(x diviseurs premiers des les) t.q. d´enominateursdescoecientssetrouventparmilesdiviseurspremiersdespolynˆomesbij etdijk.
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