DETECTION D’UNE MALADIE

Lermant

Description

DETECTION D’UNE MALADIE PAR MELANGE D’ECHANTILLONS Enoncé Il s’agit de détecter, par un minimum d’analyses d’échantillons (sanguins, par exemple), les individus malades d’une population. Intuitivement, on comprend que, si la maladie est rare, il ne sert a rien de tester un à un les échantillons et qu’il vaut mieux les mélanger par lots et tester les lots. La plupart des lots seront négatifs et pourront être écartés, et il suffira alors de re-tester les échantillons des lots positifs. NA partir d’une population de 2 individus, on se propose alors de procéder comme suit : N N-1On analyse le mélange des 2 échantillons. Si réactif, on prépare deux mélanges de 2 échantillons que l’on analyse à nouveau. Dès qu’un mélange est négatif, tous les individus sont sains et on l’abandonne. Si un mélange est réactif, on recommence la « dichotomie » en le scindant à nouveau en deux, etc … jusqu’à épuisement de la population. NSi la maladie est rare (1 cas sur 2 ), on aura fait N dichotomies et donc 2N + 1 analyses (2 par Ndichotomie plus la première) au lieu des 2 si on avait testé les individus un par un. N1) Quel est, selon cette méthode, le nombre d’analyses à effectuer pour sonder une population de 2 individus dont chacun à la probabilité p de présenter la maladie ? N+1Si la maladie est très fréquente, par exemple si p = 1, cela conduit à faire 2 – 1 analyses, ce qui est supérieur au nombre d’individus. On conçoit donc qu’il existe un « « seuil » ...

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Extrait

DETECTION D’UNE MALADIE PAR MELANGE D’ECHANTILLONS Enoncé Il s’agit de détecter, par un minimum d’analyses d’échantillons (sanguins, par exemple), les individus malades d’une population. Intuitivement, on comprend que, si la maladie est rare, il ne sert a rien de tester un à un les échantillons et qu’il vaut mieux les mélanger par lots et tester les lots. La plupart des lots seront négatifs et pourront être écartés, et il suffira alors de retester les échantillons des lots positifs. N A partir d’une population de 2individus, on se propose alors de procéder comme suit : N N1 On analyse le mélange des 2échantillons. Si réactif, on prépare deux mélanges de 2échantillons que l’on analyse à nouveau. Dès qu’un mélange est négatif, tous les individus sont sains et on l’abandonne. Si un mélange est réactif, on recommence la « dichotomie » en le scindant à nouveau en deux, etc … jusqu’à épuisement de la population. N Si la maladie est rare (1 cas sur 2), on aura faitN dichotomieset donc 2N+ 1 analyses (2 par N dichotomie plus la première) au lieu des 2si on avait testé les individus un par un. N 1)Quel est, selon cette méthode, le nombre d’analyses à effectuer pour sonder une population de 2 individus dont chacun à la probabilitépde présenter la maladie ? N+1 Si la maladie est très fréquente, par exemple sip– 1 analyses, ce qui est= 1, cela conduit à faire 2 supérieur au nombre d’individus. On conçoit donc qu’il existe un « « seuil » audelà duquel la méthode par dichotomie n’apporte plus rien. 2)Optimiser la démarche: monter que pourp < p 0 , il existen 0  dépendantdep telque, pour −n 0 minimiser le nombre d’analyses, il vaut mieux scinder la population en 2 échantillons de n 0 2 individus sur lesquels il faut démarrer l’analyse par mélange. Cas dep<< 1. Solution 1)L’analyse dichotomique n Appelonsp(néchantillons soit réactif. La probabilité qu' un) , la probabilité qu'un mélange de 2 n1n mélange de 2échantillons soit réactif sachant que la population mère (de 2échantillons) l'est p(n−1)p(A∩B)p(A) aussi, est:. Car:p(A/B)= =puisqueA⊂B. p(n)p(B)p(B) N Traçons alors un diagramme de probabilité de notre population 2en décrivant la séquence des opérations analyses / mélanges. On symbolisera par une analyse négative (absence de maladie) et par une analyse réactive (présence de maladie). Récréations mathématiquesJC Lermant – 02/02/07P. 1/3

n 2

Arrêt

n1 2

1p(n1)/p(n) n2 2

n2 2

n1 p(n1)/p(n) 2

er n1ème Le 1mélange 2étant négatif, le 2est forcément er n2 réactif, on le scinde en 2 et on analyse le 1mélange 2

er n1 On scinde le 1mélange 2(réactif) en deux er n2 et on analyse le 1mélange 2

ème n1 On ne sait à priori rien sur le 2mélange 2 que l'on analyse

ère 1 analyse sur Préparationdes 2 n n1 la population 2mélanges 2issus de n la population 2et analyse er du 1mélange n Si on appelleu(n)le nombre d’analyses à effectuer sur un mélange de 2échantillons que l’on sait réactifs et si on nommev(n)le nombre d’analyses à effectuer sur un même mélange dont on ne sait rien, le diagramme cidessusdevient : Arrêt

v(n)

u(n)

1p(n1)/p(n) u(n1)

u(n1)

p(n1)/p(n) v(n1) ⎧ v=1+p(n)u n n ⎪ D'où: ⎨ ⎛ p(n−1) ⎞ p(n−1) u=1+1−u+ ( u+v ) ⎪ ⎜⎟ n n−1n−1n−1 p(n)p(n) ⎩ ⎝⎠ n 2 Avec:u=0 etp(n)=1− ( 1−p ) 0 n−1 2 2 p(n) ( p(n−1)−1 ) +v −1 ( p(n)+p(n−1 ) p n ( −p ) n ( )1 Soit:v = 1 + = 1 − + 2v n n−1 p(n−1)p(n−1) n−1 2 En remarquant que:p(n)=p(n−1) 1+(1−p) ( ) n n−1 2 2 v=1− ( 1−p ) − ( 1−p ) +2v n n−1 On a: v=1 0 2 2 v=f(n)+2v 1 n n−1 n pn− Soit, en posant:f(n)=1− ( 1−p ) − ( 1−p ) , p v=1 0 Récréations mathématiquesJC Lermant – 02/02/07P. 2/3

2)L’optimisation n w ww= Le nombre d'échantillons 2se comporte comme la suite: n =2 n− (avec 1). 1 0 n−1 2 2 Posons alors:f(X)=1−X−X, avec:X= ( 1−p ) , dont la courbe est étudiée ciaprès. p nn nn Quandncroit de 1 à∞,X n décroit de (1−p) à 0 2 p (X) etf(X) croit de−p+3p+1 à 1 p n 2 1 Si−p+3p+1<0 , c'est à dire, 3−5 pourp<p= =0, 382, alors: 0 2 1p −1+5 ∃Xtel quef(X)=0 , soitX= n pn0 0 0 X 2 X 0 1 On a alors, lorsqueXdécroit de (1−p) à 0: n 2 Si 1−p<X<X,p3p1f(X) 0 2n0 − + −< p n <  p +3p+1 SiX<X<0 ,0<f(X)<1 0n pn 1 En conséquence: Pourp < p 0 = 0,382 = + Au départ de la suite (n<n 0 ),f p (n)<0et le nombre de mélanges à analyser ( v f(n) 2v − ) n pn1 population (2n), plus vite. augmente moins vite que law n = w −1 ). Puis, pourngrand (n> 0 n ⎡ lnX ⎤ 0 ln ⎢ ⎥ 0 ln(1−p) −1+5 n 2 ⎣ ⎦ −1 On a alors:X=(1−p) ,soit: (1)n= avecX= =0, 618 0 00 ln 22 N N−n n 0 0 Donc, siN>nen 2, il faut scinder la population de 2mélanges de 2échantillons, les 0 n 0 tester chacun puis démarrer la méthode dichotomique à partir des mélanges 2 v nb d' analyses n N−n N 0 0 Le nombre d'analyses est alors:2v(<v<et le rapport2 )= n N 0 n 0 nb d' individus2 est minimum. n 0 Lorsqu :p= −X=. Il convient donc de démarrer la dichotomie epln(1, (1) s'écrit2 2 0 ) 0,962 lorsque lenombre d' individus du mélange×la fréquence d' apparition de la maladie1 , ce qui est un résultat assez intuitif. Pourp > p 0 = 0,382 Dans ce cas,f p (n)>0et le nombre de mélanges augmente plus vite que la population. La méthode N dichotomique n’apporte rien ( v>2 ) et il faut tester les individus un par un. N n+1 A l'extrême, pour=1= + ′ =′ ′ p, on a:v1 2v −1 , soit, en posantv v+1 :v=2v −1 =2 n nn nn n N+1N Le nombre d'analyses de la méthode dychotomique est donc:v=2−1>2 N

Récréations mathématiques

JC Lermant – 02/02/07

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