Introduction Lame´caniquequantiqueestuneth´eoriephysiquequisechargedelade-scriptiondel’infinimentpetit.Cetteth´eoriepre´ditdesphe´nome`nesquecer-tainsphysiciensetinformaticiensontimagin´epouvoirutiliserpourre´aliser descalculs.Cettepossibilite´estaujourd’huipresqueuniquementspe´culative maisdes´etudesth´eoriquestententdecernercequ’apporteraitcenouveau typedecalcul.Cetravails’inscritdanscetted´emarche´etudiantl’id´eede programmeviralpourcemod`eledecalcul. Dansunpremiertempsnousallonspr´esenter,demanie`resynth´etique, lesideesphysiquesutilise´eseninformatiquequantique.Ensuitenousintro-´ duironslemod`eledesmachinesdeTuringquantiquesquiapourobjectifde pre´senterunmod`eledecalculpuisnousintroduironsquelquesre´sultatsqui faciliteront la ”programmation” effective de telles machines. Nouspre´senterons,enfin,lesre´sultatsobtenuslorsdecestage.Nous proposeronsunede´finitiondevirusquantique(etd’uneclasseplussp´ecifique devirus:lesvirusforts)ge´n´eralisantcelledeFredCohensurlesmachinesde Turingclassiques.Ensuite,nouse´tudieronsquelquesproprietes´el´ementaires ´ ´ des ensembles viraux et nous donnerons deux exemples de quines quantiques. Enfinnousmontreronsunr´esultatsurprenantpuisquelade´tectionparfaite des virus quantiques connus est impossible (dans le cadre des machines de Turingquantiques),maisilestpossibledes’enprote´ger.Noustoucherons ainsi l’aspect fondamental du calcul quantique. Enfin nous ouvrirons une r´eflexionplusinformellesurunepolitiquedes´ecurit´epourdesmachinesde Turing quantiques.
1Lesbasesd´ecaniquesquantiques e m ´ 1.1 Etat quantique Contrairementa`unsyste`meclassique,unsyst`emequantiquepeutˆetre dansdeuxe´tatssimultane´ment:enunesuperpositiond’´etats.Plusformelle-ment:`atoutsyste`mephysiqueisole´onpeutassocierunespacevectoriel munid’unproduitscalaire(quel’onnommera”espacedese´tatsdusysteme”) ` etlesyst`emeestenti`erementde´critparsonvecteurd’e´tat.Cevecteurest denorme1dansl’espacede´tatsassoci´ es es. Parexemple:pouruneparticule,lespinpeuteˆtre1ou0(upou down).Enm´ecaniquequantiquelaparticulepeutalorseˆtreensuperpo-sitiond’´etats:unecombinaisonlinaire(unitaire)del’´etat0etl’e´tat1.Par exemple:l’´etatsuperpos´e √ 12 ( | 0 i + | 1 i )estun´etatpossible;o`u | 0 i et | 1 i sont
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lesvecteursorthonormauxd´esignantles´etats0et1.Untelsyst`emeavec deux´etatssuperposables( | 0 i et | 1 i ) sera ce que l’on appelle dans la suite unqubit.L’´etatd’unqubitpeutdoncs’e´crire α | 0 i + β | 1 i avec α 2 + β 2 = 1. Danslasuitenousverronscommenttravailleravecplusieursqubitsenmˆeme temps. 1.2L’e´volution Lessyst`emesquantiquesferme´se´voluentseulementselondestransforma-tions admissibles. Ces transformations admissibles sont les transformations unitairesdel’espacevectorieldese´tats. C’est`adirequesi | ϕ i estl’e´tatdusyst`emea`uninstant t 1 ,alors,a`un instant t 2 sone´tatsera | ϕ 0 i tel qu’il existe une transformation unitaire U pour laquelle | ϕ 0 i = U | ϕ i et comme U est unitaire on a U ∗ .U = I . Onremarquealorsquetouteslestransformationsdessyste`mesferm´es (sanseffectuerdemesure)sontr´eversibles.Ceciseraunfaitimportantdans lemode`ledesmachinesdesTuringquantiques. Un exemple de transformation d’un qubit est : H = √ 12 11 − 11 H transforme donc | 0 i en √ 12 ( | 0 i + | 1 i ) et | 1 i en √ 12 ( | 0 i − | 1 i ). Cette trans-formationintroduitdoncunesuperpositiond’´etatsa`partird’uneentre´e classique. 1.3St`emescomp´ ys oses L’espacevectorieldese´tatsd’unsyste`mephysiquecompose´desous syst`emesestleproduittensorieldesespacesdese´tatsdessoussyste`mes. Ainsil’espacedese´tatsdedeuxsyst`emesdontl’espacedes´etatsest A et B aurapourespacedes´etats A ⊗ B . Habituellement on note | a 1 i ⊗ | a 2 i ⊗ ... ⊗ | a k i = | a 1 a 2 ...a k i . Ainsiparexemple,unsyste`meconstitu´ededeuxqubitsaurapourespace l’espacege´n´ere´parlesvecteurs | 0 i⊗| 0 i = | 00 i , | 0 i⊗| 1 i = | 01 i , | 1 i⊗| 0 i = | 10 i et | 1 i ⊗ | 1 i = | 11 i . Un espace de n qubits sera donc de dimension 2 n . C’est ce point qui permet de mieux comprendre la puissance du calcul quantique car en quelque sortelapuissancedecalculdoubleavecchaquequbitsupple´mentaire. 1.4 Les mesures Unsyste`meensuperpositionpeutsubirunemesurequivar´eve´leral´eatoirement unetunseuldes´etatsavecuneprobabilit´ed´efinieparl’e´tatdesuperpo-sition,etensuitel’e´tatdusyst`emeseraexactementceluiquia´ete´mesur´e. Ainsilamesurefaite´voluerlesyste`medemanie`reirre´versible. 3