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ETUDE DU V-LONGITUDINAL Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur le Vlongitudinal sans jamais oser le demander. Cette étude propose une formulation analytique du calcul du Vlongitudinal d’un planeur à profondeur pendulaire (ce qui dans ce cas correspond à l’étude du fonctionnement de la commande de profondeur). Dans un premier temps on considère le cas d’une trajectoire rectiligne, puis cette approche est généralisée au cas d’une trajectoire courbe (mouvements autour d’une trajectoire rectiligne, virage, boucle,…) Tout cela n’a rien de bien compliqué mais les calculs sont quelque peu fastidieux. …alors attachez vos ceintures ! FORMULE DU VLONGITUDINAL GENERALISE Vlongitudinal pour une trajectoire rectiligne aa-aa-a»-l»laaaaaaapaPar définition le Vlongitudinal est l'angle entre l'aile et le stabilisateur horizontal. Si on prend l’écoulement de l’air comme référence on peut également observer que cet angle répond à la relation suivante : Vlongi = e (1) a s Avec : : incidence de l'aile, a: incidence du stab se : déflexion de sillage. L'étude du Vlongitudinal revient donc à calculer chacun de ces termes en fonction du Cz de vol et des paramètres propres au planeur. Incidence aile Selon l'approximation linéaire et en supposant une distribution de portance proche de l’ellipse on a : aC = A .( ) avec A C . za a a a0 a z0+ 2a Si et sont ...

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ETUDE DU V-LONGITUDINAL  

                  Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur le Vlongitudinal sans jamais oser le demander.         Cette étude propose une formulation analytique du calcul du Vlongitudinal d’un planeur à profondeur pendulaire (ce qui dans ce cas correspond à l’étude du fonctionnement de la commande de profondeur). Dans un premier temps on considère le cas d’une trajectoire rectiligne, puis cette approche est généralisée au cas d’une trajectoire courbe (mouvements autour d’une trajectoire rectiligne, virage, boucle,… ) Tout cela n’a rien de bien compliqué mais les calculs sont quelque peu fastidieux. … alors attachez vos ceintures !         FORMULE DU V LONGITUDINAL GENERALISE     Vlongitudinal pour une trajectoire rectiligne        

   

 

Par définition le Vlongitudinal est l'angle entre l'aile et le stabilisateur horizontal. Si on prend l’écoulement de l’air comme référence on peut également observer que cet angle répond à la relation suivante :   Vlongi = a a % a s % e  (1)     Avec :   a a : incidence de l'aile, a s : incidence du stab e : déflexion de sillage.   L'étude du Vlongitudinal revient donc à calculer chacun de ces termes en fonction du Cz de vol et des paramètres propres au planeur.       Incidence aile     Selon l'approximation linéaire et en supposant une distribution de portance proche de l’ellipse on a : C za = A a . a a % a a 0 !  avec A a » C z 0 a . l a l # a 2 Si a a et a a 0 sont exprimés en radians alors C z 0 a 1 2 ϑ . Si ces angles sont exprimés en degrés alors C z 0 a » 0.11 D'où : a a C za # a  (2) = a 0 A a       Incidence stabilisateur     Le rôle du stabilisateur horizontal est d'équilibrer le couple généré par la portance de l'aile. De la même manière que pour l’aile, l'incidence du stab peut être calculée à partir de sa portance. Celle-ci peut être déterminée en posant les équations d’équilibre du planeur. Pour ce calcul il est pratique de considérer le schéma ci-dessous représentant un planeur à l'équilibre.  F est le foyer du planeur complet, Fa le foyer de l'aile, Fs le foyer du stab, Ff le foyer du fuselage seul et M% la marge statique (position relative du CG par rapport au foyer F). C m 0 : coefficient de moment de l’aile (assimilable au C m 0 profil en l’absence de flèche et de vrillage)          

         

        L'équation d'équilibre des moments par rapport au centre de gravité peut alors s'écrire :   GF a . C za . S a # GF f . C zf . S f # C . C m 0 . S a 1 GF s . C zs . S s     ' C . X CG % 0.25 ! . C za . S a # C . X CG % X fus . C zf . S f # C . C m 0 . S a 1 L # 0.25 % X CG ! . C ! . C zs . S s   ' t respectivement la position rel i e du de Gravité et la X CG et X fus son at v Centre position du foyer fuselage par rapport au bord d’attaque et à la longueur de la corde aérodynamique moyenne d’aile. Nota : X ' fus ne doit pas être confondu avec X fus que nous avons utilisé dans les calculs de centrage (voir : « le centrage c’est presque simple » septembre 2006) et qui représente également la position relative du foyer du fuselage mais mesurée par rapport au nez et à la longueur du fuselage. Ces 2 grandeurs sont liées par la relation :   ' L fus X X   X fus = . fus % av    avec L fus : longueur fuselage    et X av : distance relative nez fuselage BA corde moyenne     En faisant apparaître le volume de stab V 1 C L . S S s a , l’équation d’équilibre s’écrit : . ! ' f zf f a m CG ! ! zs X CG % 0.25 . C za # X CG % X us . C . S S # C 0 1 V . 1 # 0.25 % X . C L . C    

 

. 5 # 1 C za % 0 2 # % ' . z . f a m 0 (3)    C zs X CG V ( (1 ! # (0 X .2 CG 5 % X X C fu G s ). C C f L S ! S C     On notera V CG le dénominateur, soit :   V CG = V(1+(0.25-X CG ).C/L)   V CG peut être considéré comme le volume de stab relatif au bras de levier CG –foyer stab. Sa valeur dépend donc du centrage, même si leurs valeurs sont proches il est important de ne pas confondre V CG avec le volume de stab classique V lié à la distance foyer aile –foyer stab.     C za X CG % 0.25 ! # X CG % X ' fus . C zf . S f S a # C m 0 1   C zs V   CG     En restant dans le cadre de la théorie linéaire des profils et en supposant un stab à profil symétrique avec une distribution de portance elliptique, on a :   C zs 1 A s . a s  avec A s » C z 0 a . l l s 2 s # D'où l’incidence du stabilisateur :   C za X CG % 0.25 ! # X CG % X ' fus . C zf . S f S a # C m 0 a s 1 V CG A s        De même on admet que la portance du fuselage est liée à l’incidence de l’aile suivant une relation linéaire du type : C zf 1 A f .( a a % b ) où A f est le coefficient de portance angulaire du fuselage et le calage de l’aile par rapport à l’angle de portance nulle du fuselage (si on suppose que le fuselage se comporte comme un profil symétrique est alors égal au calage de l’aile par rapport à l’axe du fuselage)   Soit en exprimant C za et C zf en fonction de l'incidence de l'aile:     2 ! ' X CG 0. 5 A a . ( 0 ! %  (4) a s 1 V CG . A s a a % a a + X CG X V f C us G . A A s f . S f S a . . ( a a % b ! + V C C G m . 0 A s               

Déflexion de sillage   L'allongement de l'aile n'étant pas infini, la portance génère un effet de sillage. Le stab se retrouve donc dans un flux aérodynamique dévié vers le bas. On admet (théorie de Prandtl) que cette déviation e dépend du Cz de l'aile selon la relation :     e = a . 2 ϑ . C l z a    e = a . 2. . A l a a . ( a a % a a 0 !  (5) ϑ   Le coefficient a n’apparaît pas dans la théorie de Prandtl. J’ai introduit ce coefficient afin de disposer d’un moyen pour tenir compte de la position relative du stab par rapport à l'aile (distance, hauteur)       Vlongitudinal    En utilisant les relations (1), (4) et (5) on peut écrire :   Vlongi = a a % a s % e     2 = a % X CG V CG 0. A s 5 ! A a . ( a a % a a 0 ! % X CG % X V ' f C u G s . . A A s f S f S a . a a % b   A % C 0 % a 2. a a % a   V CG m . A s . ϑ . l a . ( a a 0 !     % # % % % +    =   1 ( X CG 0.25 ). A a V C X G C A G s X ' fus ! . A f . S f S a a . ϑ 2 . A l a a     . a a # m X CG % X fus A f . S f S a     ( X CG V % CG 0. A 2 s 5). A a a . 2 ϑ . A l a a    . a a 0 % C 0 + ' . b  V CG A s V CG A s   En utilisant la relation (2), il vient:   Vlongi =   1 ( X CG % 0.25). A a # C X G C A G s % X ' fus . A f . S f S a % a 2 A a a    C A z a a % +   .  . V ϑ . l  % X CG % X fus A f S f S a     1 % X CG X V ' f C us G ! . A S s f S a . A f     . a a 0 % V C m 0 A + ' CG . s . . b  CG s V A     En exprimant X CG en fonction de X f   (position relative du foyer du planeur complet) et M% (marge statique), soit X CG 1 X f % M % , on a alors:  

  1 ( X M % 0.25). A X M % X ' . A S S 2 A a . . Vlongi =     % F % % a # V CG F A s % % fus f f a % ϑ . l a a     C A z a a + %  X CG % X ' fus S f S A   C m 0 ' a % + X CG X fus . A f . S f . b  (5)        1 % V CG . . A s a . f   . a 0 V CG A s V CG A s . S a     Cette formule se simplifie notablement en remarquant que lorsque le centrage est neutre (soit CG=F et donc M%=0) le Vlongitudinal en vol rectiligne ne dépend plus du Cz de vol. On a alors :     1 % % a . =0    ( X F % 0.25). A a # X F % X ' fus A f S f S a 2 A a      V F . A s ϑ . l a   Ou encore :   2    1 % a . A a a    =     ( X F % 0.25). A a # V F X . F A s % X ' fus . A f S f S a       ϑ . l   Cette relation correspond en fait à la définition du foyer du planeur complet.     On note L F la valeur du bras de levier foyer planeur – foyer stab et V F la valeur de V CG   lorsque le planeur est centré au foyer. En remarquant que l’on peut écrire : V CG 1 V F . 1 # M %. C / L F ! , la relation (5) peut alors s'écrire sous la forme:     = A S A S X F M X F M X fus A f S f A a S a Vlongi     ( X F % 0.25) # ( X V F F . % A s X ' fus ) f . f a a % ( % % % 0.2 V 5) .1 # ( # M % % . C % L % A ' ). .     . C za   F F s   % + . b    % X CG V % CG X ' A fus S A f S f    a CG m A s ' +   1 ..  a C 0 X CG % X fus . A f . S f  . s . a . 0 V . V CG . A s . S a    (( X 0.25)( X X ' fus ). A f . S f A a S a ).(1 M %. C L F ) ( X F M % 0.25) ( X % M % % X ' ). A S AS  . C za = F F F fus f f a a    % # V F % (1 # M %. C L F ) A s # % %% V F .1 # # M %. C L F A s    1 X CG fus f . f a a a +     % % X V ' CG . A A s S S .     . 0 % V C C G m . 0 A s + X CG V % CG X . ' A fu s s . S . a A f . S f . b         Soit la formule complète :

    F F F fus F M      1 # ( X % 0.25) C L # (1 # ( X % X ' ). C L ) A A f S S f     + Vlongi =  % V . a a . C za CG A s    ' .     1 % X CG V % X A fus S A f S f     . a a 0 % V C C G m . 0 A s + X CG V % CG X . ' A fu s s . S . a A f . S f . b      CG . s . a         Au final cette formule peut s’écrire sous une forme relativement simple :         Vlongi 1 k . V . C M G . % A s . C za   % V C C G m . 0 A s + a a 0 + k '. b % a a 0 !  (8)       Avec : 1 1 # % 0.25 # 1 # %   k ( X F ! C F   X F X ' fus C F   A f a S S a f L  L  A   A s » C z 0 a . l s l s # 2  et A a » C z 0 a . l a l a # 2   ' G . X C % X fus A f S f   k ' 1    V CG . A s S a    V CG 1 V .    1 # ( 0.25 % X CG ! . C L          On peut ainsi considérer que le Vlongitudinal nécessaire à l'équilibre du planeur en vol horizontal comporte 4 composantes dépendant respectivement :   - du centrage associé au Cz de vol, k . V . M . % A s . C za   CG - du Cm de la voilure,     % C m 0   V CG . A s - de l’incidence à portance nulle de l’aile, a a 0  

(6)

- de la portance du fuselage, k '. b % a a 0 !     La première composante est variable et dépend du Cz de vol choisi par le pilote et du centrage. Les autres composantes ne dépendent que du profil de l’aile et de la géométrie du planeur.   Sauf à vouloir spécialiser le planeur pour un Cz de vol spécifique, le Vlongitudinal à adopter lors de la construction d’un planeur est a priori celui qui correspond au centrage neutre (M%=0). Celui-ci est donc indépendant du Cz de vol. Ce Vlongitudinal est donné par la formule :   Vconstruction = % C m 0 + a a 0 + k '. b a a 0 !   % V CG . A s   Nota1 : Cette méthode de calcul du Vlongitudinal est plus précise que la méthode initialement présentée dans l’article sur le centrage (avril 2007) car celle-ci négligeait la portance du fuselage. La formule ci-dessus montre que les termes en C m 0 et en a a 0 sont généralement du même ordre de grandeur et se compensent partiellement, ce qui fait que le terme k '. b % a a 0 ! lié à la portance fuselage devient significatif et ne doit pas être négligé. Dans le cas du Ventus de Laurent Vidal, le Vlongi mesuré sur le planeur centré parfaitement neutre est Vlongi = 0.7° : - la formule initiale donne Vlongi = 1.4° la formule ci-dessus donne Vlongi = 0.6° - En fait la précision du résultat est essentiellement liée à la représentativité d’Xfoil pour déterminer les paramètres C m 0 et a a 0     Nota 2 : on notera que cette formule du Vlongitudinal en vol rectiligne est également valable pour une aile volante.   En multipliant chaque membre de l’équation par V CG on obtient l’égalité % C m 0 + V   Vlongi. V CG    1 k . . M A s % . C za  . A s a a 0 . CG + k '. b % a a 0 ! . V CG   Pour une aile volante on a X F 1 0.25 donc k 0 et V CG =0, d’où la relation :   M %. C za   C m 0     On reconnaît là l’équation classique d’équilibre d’une aile volante         Vlongitudinal pour une trajectoire courbe     La formule (8) peut aussi s’écrire sous la forme :  

C za 1 V . CG . A % s    V longi % a 0 # C m 0 % k '. ( b % a 0 !      k M V CG . A s    Sur un planeur n’utilisant pas la courbure variable a 0 , et C m 0 sont des constantes indépendantes du Cz de vol (au moins en première approximation). Les variations de Cz sont ainsi uniquement liées aux variations de la profondeur, c’est à dire au Vlongitudinal, par la relation :   D C za » V k C . G . A % s D V longi        Le fait que la marge statique M% figure au dénominateur peut laisser croire qu’un planeur centré neutre ou quasiment neutre ( M % 0 ) est totalement impilotable (la moindre action sur la profondeur semble devoir se traduire par une énorme variation de Cz et donc un facteur de charge qui devrait pulvériser le planeur). On entend parfois ce genre d’affirmation sur les pentes (quand on ne les voit pas écrites !). Or l’expérience nous démontre tous les jours qu’il n’en est absolument rien. Nos planeurs sont souvent centrés parfaitement neutre, et parfois même un peu trop arrière, mais n’explosent jamais en vol ! Ce paradoxe apparent vient du fait que la formule ci-dessus n’est valable que pour un vol stabilisé en ligne droite. Or dès que nous touchons à la profondeur, la trajectoire du planeur n’est plus une ligne droite et cette formule n’est plus applicable. Pour mieux d’écrire la réalité il convient donc d’analyser ce qui se passe pour une trajectoire courbe.   En vérité lorsque notre planeur à profondeur pendulaire intégrale suit une trajectoire courbe son Vlongitudinal comporte 2 composantes :   -   la première V longi .1 correspond au Vlongi calculé à l’aide de la formule ci-dessus (8). Cette composante est celle qui permet d’équilibrer les efforts qui s’exercent sur le planeur.   ement liée à la -   la seconde V longi .2 est uniqu géométrie de la trajectoire et plus précisément à son rayon de courbure R considéré dans le plan longitudinal. Cette composante du Vlongitudinal correspond à la courbure du flux aérodynamique entre aile et stab dans un repère lié au planeur. Elle est égale à l'angle sous lequel on voit le bras de levier arrière (distance foyer aile - foyer stab) depuis le centre de la trajectoire ramené dans le plan longitudinal du planeur.            

 

        Pour bien comprendre cet aspect on peut s’appuyer sur l'expérience fictive suivante :   Supposons que le planeur soit monté sur un manège au bout d'un long bras métallique qui le relie au centre du manège. Le planeur est ainsi en virage à vitesse constante. On suppose par ailleurs que les profils aile et stab sont symétriques. Si je souhaite que dans cette expérience ni l'aile ni le stabilisateur ne soient porteurs, il faut qu'ils aient tout deux une incidence nulle par rapport au flux aérodynamique local. Compte tenu la courbure de la trajectoire ceci implique que le Vlongitudinal entre aile et stab ne soit pas nul (contrairement au vol rectiligne). Ce V doit être et égal à l'angle sous lequel on voit la distance aile-stab depuis le point C’ situé à la fois sur l’axe du manège et dans le plan longitudinal du planeur. La seule différence par rapport au vol réel est que dans la vraie vie il n’y a pas de bras métallique, c’est le Cz de vol qui incurve la trajectoire du planeur.   R étant le rayon de courbure de la trajectoire et l’angle entre ce rayon de courbure et le plan longitudinal du planeur, la distance R’ entre le point C’ et le planeur est :   R ' 1 R   cos Κ     L étant très inférieur à R’ et en exprimant les angles en radians, on peut écrire : V longi .2 1 2 Arc sin    2 L R '       » L '  = L .cos   ( V longi .2 exprimé en radians) ou encore V longi .2 » 57.3 ' * L 1 57.3 * L * cos  ( si V longi .2 est exprimé en degrés )  

Au final le Vlongitudinal total est la somme de ces 2 composantes   V longi . = V longi .1 + V longi .2     Ce qui nous donne la formule ci-dessous que l’on pourrait appeler formule du « Vlongitudinal généralisé » :           Vlongi 1 L .cos Κ + k . V . M . % A . C za % V C C G m . 0 A s + a a 0 + k '. b % a a 0 !   CG s  (9)         Il peut être pratique de considérer cette même équation sous la forme ci-dessous qui établit un lien direct entre trajectoire (rayon de courbure) et commande de profondeur (Vlongitudinal) pour un planeur à l’équilibre (donc hors transitoire dynamique):         1 V lo k . . M C za a a C m k b a a  (10) cos  =  L    ngi % V CG . % A s . % 0 # V CG . 0 A s % '. ( % 0 !            Quelle que soit la forme choisie nous ne saurions trop insister sur le caractère tout à fait fondamental de cette formule. Elle décrit parfaitement le comportement longitudinal de nos planeurs et mériterait à ce titre d’être beaucoup mieux connue des modélistes. Son analyse est d’une très grande richesse et permet notamment :   -   d’évaluer l’influence des différents paramètres géométriques sur le comportement longitudinal du planeur (et entre autre de décrire la trajectoire dans le test du piqué) -   de comprendre le lien entre centrage et calage -   de calculer les débattements profondeur - de prévoir les changements d’équilibre liés à l’utilisation des volets et de calculer la   correction profondeur correspondante -   de calculer des courbes de mixage snapflap -   d’analyser l’influence de la charge alaire sur les réglages -   etc…. On trouvera ci-après quelques exemples pratiques d’utilisation de la notion de Vlongitudinal généralisé.