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Terriez

Description

CHAPITRE III STATIQUE DES FLUIDES 1. Le concept de particule Pour étudier un fluide, on isole une partie du fluide limitée par une surface S qui constitue une particule. A la particule, on applique les lois de la Mécanique : - principe fondamental, - conservation de la masse, - conservation de l’énergie. Les dimensions de la particule sont très grandes à l’échelle moléculaire (elle contient donc un grand nombre de molécules). Elles dépendent du phénomène étudié : de plusieurs km en météorologie à quelques mm dans un circuit hydraulique. Entre deux instants t et t , on considère que les molécules contenues dans la particule 1 2sont les mêmes. Cette modélisation donne de bons résultats, même si elle ne correspond pas à la réalité physique : en général, s’opèrent des transferts de masse, de mouvement, de chaleur ... 2. Pression L’état de contrainte qui règne en un point d’un fluide parfait (µ = 0) ou d’un fluide réel au repos (v = 0) est tel que tous les vecteurs contraintes sont perpendiculaires aux facettes, dirigés vers la facette et indépendants de son orientation. Aucun cisaillement ne s’exerce : r∀nr rrσσ(,Mn)= .n σ ≤ 0______________________________________________________________________ JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3 page 1 Il s’agit donc d’un état de contrainte isotrope. Les trois contraintes principales sont égales : σ = σ = σ = σ < 0 ...

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• Publié par: Machug
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

CHAPITRE III

STATIQUE DES FLUIDES

1. Le concept de particule

Pour étudier un fluide, on isole une partie du fluide limitée par une surface S qui

constitue une particule.

A la particule, on applique les lois de la Mécanique :

- principe fondamental,

- conservation de la masse,

- conservation de l’énergie.

Les dimensions de la particule sont très grandes à l’échelle moléculaire (elle contient

donc un grand nombre de molécules). Elles dépendent du phénomène étudié : de

plusieurs km en météorologie à quelques mm dans un circuit hydraulique.

Entre deux instants t

1

et t

2

, on considère que les molécules contenues dans la particule

sont les mêmes. Cette modélisation donne de bons résultats, même si elle ne correspond

pas à la réalité physique : en général, s’opèrent des transferts de masse, de mouvement,

de chaleur ...

2. Pression

L’état de contrainte qui règne en un point d’un fluide parfait (

µ

= 0) ou d’un fluide réel

au repos (v = 0) est tel que tous les vecteurs contraintes sont perpendiculaires aux

facettes, dirigés vers la facette et indépendants de son orientation. Aucun cisaillement

ne s’exerce :

∀

=

≤











r

r

r

r

n

M

n

n

σ

σ

σ

(

,

)

.

0

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 1

Il s’agit donc d’un état de contrainte isotrope. Les trois contraintes principales sont

égales :

σ

1

=

σ

2

=

σ

3

=

σ

< 0

(Pour toutes ces notions, voir le chapitre sur la mécanique des milieux continus du

cours de dimensionnement des structures)

La pression en un point du fluide est définie par :

p = -

σ

.

La force élémentaire exercée par la pression sur une surface ds, de normale n,

s’exprime donc par :

dF

p ds n

r

r

=

−

.

.

La pression est homogène à une contrainte (M L

-1

T

-2

).

Unités : Pa (N/m

2

), MPa (N/mm

2

), bar (10

5

Pa), 1 atm ~~ 1 bar (1,013)

Recherche personnelle

La pression atmosphérique (découverte, techniques de mesure, propriétés)

3. Equation fondamentale de la statique des fluides

Soit un fluide au repos. On considère la particule fluide de volume (dx.dy.dz) au

voisinage d’un point M(x,y,z) où règne la pression p.

En ce point s’exerce une force volumique F

v

, exprimée par unité de masse du fluide, de

composantes (f

x

, f

y

, f

z

).

En écrivant l’équilibre de la particule (principe fondamental), on démontre que :

ρ

∂

∂

ρ

∂

∂

ρ

∂

∂

.

.

.

f

p

x

f

p

y

f

p

z

x

y

z

−

=

−

=

−

=



















0

0

0

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 2

Soit, vectoriellement :

ρ

.

(

r

r

F

g

r

a

d

p

v

−

=

0

)

4. Fluide incompressible soumis à l’action de la pesanteur

Soit l’axe z selon la verticale ascendante. Dans ce cas, on a :

r

r

F

g

v

=

−

.

z

Alors :

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ρ

p

x

p

y

p

z

g

=

=

=

−



















0

0

.

La pression est donc indépendante des coordonnées x et y : elle ne dépend que de la

cote z.

Si la cote est constante, la pression est constante et inversement : la surface libre d’un

fluide (p = p

atm

= cste) est une surface plane horizontale.

Si la cote est constante, la masse volumique est constante et inversement : la surface de

séparation de deux fluides non miscibles est plane et horizontale.

Si la masse volumique est constante (fluide incompressible), alors on a :

p +

ρ

g z = constante

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 3

La quantité p +

ρ

gz définit la pression motrice (ou piézométrique), alors que p constitue

la pression absolue.

z

y

M (fluide)

A (surface libre)

O

(atmosphère)

p

M

+

ρ

g z

M

= p

A

+

ρ

g z

A

= p

A

(z

A

= 0)

p

M

+

ρ

g z

M

= p

atm

p

M

- p

atm

= -

ρ

g z

M

p

M

- p

atm

constitue la pression effective.

On a :

p

g

z

effective

ρ

=

−

La pression peut donc s’exprimer en « hauteur de fluide » (unité SI : le mètre).

Cas du vide

Faire le vide signifie abaisser la pression à une valeur inférieure à la pression

atmosphérique. La pression effective est alors négative. Le vide peut être plus ou moins

poussé, c’est à dire que l’atmosphère gazeuse est plus ou moins raréfiée. Le vide total

correspond à une pression absolue nulle.

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 4

5. Applications

- Vases communicants : les surfaces libres différentes d’un même fluide sont à la même

cote.

- Variation de pression entre deux points d’un fluide : p

B

- p

A

=

ρ

g h (z

A

- z

B

= h > 0)

- Principe de Pascal : toute variation de pression est intégralement transmise en tous

points. Application à la presse hydraulique.

- Principe du tube piézométrique : la mesure de la hauteur du fluide dans le tube permet

de déterminer la pression effective.

Les TD n° 3 et 4 portent sur les 5 premiers paragraphes de ce chapitre.

Exercices

Quelle est la pression dans l’océan à une profondeur de 1500 m ?

On prendra

ρ

= 1005 kg/m

3

(eau salée).

Le tube en U contient du mercure (densité 13,57). Densité de l’huile : 0,75.

Pression au manomètre ?

3 m

23 cm

air

huile

manomètre

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 5

6. Poussée hydrostatique sur une paroi

Rappel

Le fluide est incompressible, au repos et soumis au seul champ de pesanteur :

ρ

= cste et p +

ρ

g z = cste.

Paroi horizontale

Soient G le centre de surface de la paroi, M un point quelconque de la paroi et A un

point de la surface libre.

S note l’aire de la paroi horizontale.

h

A

G

M

(atm)

(atm)

(S)

z

O

En M, côté fluide, on a :

p

M

+

ρ

g z

M

= p

A

+

ρ

g z

A

, z

A

= 0, p

A

= p

atm

, h = - z

M

d’où :

p

M

= p

atm

+

ρ

g h

Toujours en M, mais du côté de l’atmosphère, on a :

p

M’

= p

atm

Alors :

df

g h ds z

r

r

=

−

ρ

.

.

.

.

Le torseur des actions exercées par le fluide sur la paroi est donc :

r

r

r

r

r

r

F

d

f

g

h

S

M

G

G

M

d

f

=

=

−

=

∧











∫

∫

ρ

.

.

.

.

(

)

0

z

=

La force totale est égale au poids d’une colonne de fluide de base S et de hauteur h.

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 6

Paroi verticale

Soit la paroi AB, symétrique par rapport à l’axe Gz, d’aire S.

A

B

G

z

x

surface libre

fluide

(atm)

h

G

En un point M de la paroi, situé à la profondeur h et à la cote z, on a :

df

g h x ds

g h

z ds x

F

d

f

g

h

S

x

M

G

G

M

d

f

g

I

y

G

G

Gy

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

=

=

−

=

=

=

∧

=

−











∫

∫

ρ

ρ

ρ

ρ

.

.

.

.

.

(

)

.

.

.

.

.

(

)

.

.

.

Il s’agit donc d’un torseur-vecteur. L’axe central détermine le centre de poussée G

0

de

cote z

0

, situé toujours sous G :

z

I

h

S

Gy

G

0

=

−

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 7

Paroi plane inclinée

z

O

h

G

(fluide)

(atm)

surface libre

G

x

n

x

y

G

(S)

(S)

α

(atm)

r

r

r

F

g

h

S

M

G

G

=

=











ρ

.

.

.

.

(

)

0

0

n

G

0

note le centre de poussée, toujours situé sous G, avec :

x

S

h

I

G

G

Gy

0

0

=

sin

.

α

≥

y

S

h

I

G

G

Gx

0

=

sin

.

α

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 8

Paroi quelconque

O

z

y

x

M

n

(ds)

(atm)

(atm)

(atm)

surface

libre

(fluide)

h

df

g h ds n

r

r

= ρ

.

.

.

.

Les forces élémentaires ne sont plus parallèles entre elles. Le torseur est quelconque. Le

résultat dépend de la forme de la surface.

Les TD n° 5 et 6 portent sur ce paragraphe du chapitre 3.

7. Poussée d’Archimède

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 9

Rappel

Le fluide est incompressible, au repos, et soumis au seul champ de pesanteur.

Soit un volume de fluide V. On isole un volume V

1

, de centre de gravité G

1

.

On a : V = V

1

+ V

2

.

G

1

V

2

V

1

surface libre

(S)

L’action sur V

1

se décompose en l’action de la pesanteur et l’action de V

2

. V

1

est en

équilibre : la somme des deux torseurs est un torseur nul. Le torseur associé à l’action

de V

2

sur V

1

est opposé au torseur de pesanteur sur V

1

.

r

r

r

F

V

M

G

12

1

12

1

0

=

−

=











ρ

.

.

(

)

g

Si le volume V

1

est occupé par un solide immergé, les forces de pression sur le contour

S sont les mêmes.

D’où le principe d’Archimède : tout corps immergé dans un fluide en équilibre est

soumis à une poussée représentée par un torseur opposé à l’action de la pesanteur sur le

fluide déplacé. Le centre de poussée est confondu avec le centre de gravité du fluide

déplacé.

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JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

page 10

Pour un corps submergé, on a 3 situations d’équilibre (soit G le centre de gravité du

corps).

Si le corps est homogène, G et G

1

sont confondus : l’équilibre est indifférent.

Si G est au-dessus de G

1

: l’équilibre est instable.

Si G est au-dessous de G

1

: l’équilibre est stable.

Pour un corps flottant (un navire, par exemple), G est en général au-dessus de G

1

et

l’équilibre est instable. Cependant l’équilibre peut être stable à condition que G reste

sous un point M, appelé métacentre, point d’intersection, pour une inclinaison donnée,

de l’axe du navire et de l’axe de poussée. On démontre :

MG

I

V

1

=

avec I = moment quadratique de la section horizontale du fluide à

l’équilibre, à la surface libre et V = volume du fluide déplacé.

Le TD n° 6 porte en partie sur ce paragraphe du chapitre 3.

Exercices

Un barrage sépare un lac à niveau constant (h=20 m) d’un réservoir dont le niveau, variable, se

situe sous le niveau du lac (différence de niveau: H). Au pied du barrage une galerie de section

carrée (hauteur: 1 m, largeur: 1 m) est fermée par une vanne rectangulaire AB, articulée en A et

inclinée à 45°, selon la paroi à l’aval du barrage. La vanne est immergée, son poids apparent est

de 11 000 N. Lorsque la différence de niveau entre le lac et le réservoir augmente, la vanne va

s’ouvrir pour laisser passer l’eau du lac.

Déterminer le torseur associé aux efforts de poussée, par ses éléments de réduction au centre

géométrique de la vanne G. A partir de quelle valeur de H, la vanne s’ouvrira-t-elle ? On

prendra g = 10 m/s

2

et

ρ

eau

= 1000 kg/m

3

.

A

B

h=20 m

h-H

1 m

Un iceberg de masse volumique

ρ

= 912 kg/m

3

flotte dans l’océan (masse volumique de l’eau

salée : 1025 kg/m

3

), avec, hors de l’eau, un volume de 600 m

3

. Quel est le volume immergé ?

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.3

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