IN101 - cours 04 - 8 octobre 2010

Matthieu Finiasz

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IN 101 - Cours 0430 septembre 2011pr´esent´e parMatthieu FiniaszUn probleme concretLaquelle de ces deux fonctions est la meilleure?1 int factoriel(int n) {2 int i, res;3 res = 1;4 for (i=2; i

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Extrait

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2011

3PTVQ:CMNC?QP?VCa

Laquelle de ces deux fonctions est lameilleure?

0 nidP(AcN<iF[aindS$ f 1 ind9b*iFa 2 aFb /9 3 N[a (i=09 i:S)/9 i))$ f 4 aFb (= i9 5 } 6 aFcdaS aFb9 7 } 9 nidS[=i(R/indS*ind]$ f 00 dcFa<NSaa[cA9]$](-$<NcAa[Fi(P+SiFP(S$-N<Ac[aiFP 00 }

0 ind(R0S[=inidSnid]$ f * 1 iN(]=.$ gg (S=]$$ f 2 aFcdaS /9 3 } FPbF f 4 [RiSS+0(]+/*)=/$R[Si+S(0cFa=Sad*/$]9 5 } 6

} 1

-4PQaiQPAC ?QNTMCciCa

Lacomplexietd’unalgorithmemesuresonenteictaeciqu`ensri enfonctiondelatailledesdonenes`atraiter, asymptotiquement, dans le pire cas, ou en moyenne.

En pratique, pour une entere de tailleS: on compte le nombre d’erpoabessnedtaoi,iresessance on regarde comment ce nombreevolue asymptotiquement.

Ils’agitenegenraldecomplexiet temporelle ons’inetressesouventaussia`lacomplexiet spatiale.

2

:

NQ?4MCbUC?-aˆC'b iQQa4P ? - CiaCcTMQ CC4PIMVQ?PPCVaM4iaLNiUbC

bdR_[N_b_d<aFb( bdR = .9

0 nu*ideng nid 1 u*digne ind 2 nidi9 3 N[a =i(/9 i:S)/9 i))$ f 4 bdR )= i(i9 5 } 6 aFcdaS bdR9 7 }

un deing nid *

3PTVCNiCVCcCNTMCˆiNTMC

S$ f

Pour une simple boucleN[ar:lecualcali`ecatieseftacomplexl latailledel’entereestS la fonction faitSmultiplications etSadditions _ la complexiet estrieliean’entree.elntaialldele Unpeudeerflexionpermetdecalculercelaentempsconstant: bdR [N b_d<aFb(S) = S(S+1)(2S+1) 6 _ 2 additions, 3 multiplications, une division.

3

Definitios: n N(S) =O(g(S)si 9A>0,9S 0 2N  ,∀SS 0 ,0N(S)Ag(S). N(S) =(g(S)si 9A,A 0 >0,9S 0 2N∀S S 0 ,Ag(S)N(S , 

A

(S).

S 2 2

S S

N

SSSlog(S)S 2 S 3 2 S exp(S)S

Q

log(S

Exemples :   S 2 +S+ 1 =S 2 log(S(S S (S log(S)

 
2000S 2 + 1000000

aia4ˆAQP UbCiaQaTNdˆ4PQˆi4V4NTCQ CiaCcTMQNC? ! 4  ) ) p O=) O= )
= g 0 )

 p ) 9 9 _ QNCcTMQNC?ˆAQPaia4 Qˆ4PV4i4QCTN aiC UbCaQaiˆdNT !)

log(S

5 

Complexietdoublement exponentielle 2 S . par exemple :N(S) = 2 Complexietsous-exponentielle p par exemple :N(S) = 2 S .

souvent eralisable

Definitios: n Complexietpolynomiale _ O>0,N(S) =O(S O ). Complexietexponentielle 1,: S =O(N(S). :>

enegenralireralisable

S 2 2

S S

S

SSSlog(S)S 2 S 3 2 S exp(S

QbCMUbCˆQVAVCˆACIV4PACbV

UnPCstandardfaitdel’ordrede2 30 dneocesrapserianibsontiraeop 2 40 ssimplespoearitno _ eralisable par tout le monde.

Lesrecordsactuelssontunpeuau-dela`de2 60 eraopnibsnoitseria eralisable par des gens ≪ motievs _ SANmoh@...eloF,gnid



Encryptographieonconside`reque2 80 nabinsioaterpotnosseri ireralisables(aujourd’hui) Clefs de 128 bit _ uruopleuqesquzadiesinand’nee.s s s^res

6

1VCNiCVˆ

3P

CcCNTMCˆ

-

TVQ:CMNCUb4aVC 4MIQViaLNCˆ

:

4-ˆbia - C C A T CiF V : Q Q :C P M 4 N ??i C

Oncherchea`calculer, S , leSccanobiF:iedelombrtedeasuimene-`i , 0  et= 0, 1 = 1 , S =, S   1 +, S   2 pourS>1 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

On sait faire le calcul direct : suiteercurrentedoublea`coecientsconstants nersoute 2 =e+ 1 o p = 1 ( ) etb= 1   _ b 1 =' 51 + 2 2 S . , S = p 5 1 (' S   (1   ') )

'=

1 (1   2

p

5)

b'0.62 donc pourS>1,, S est l’entier le plus proche de 2

p '

S . 5

7

) = 8

, 1  et= 1, 0 = 0 donc il y a au moins, S appels ercursifs _ la complexiet est(, S ) =(' S ) .

Ici,lacomplexietestlenombred’appelsa`Ni=[/ leersultatseedcomposeenunesommede, 1 et, 0 : + , 4 =, 3 , 2 + + + = (, 2 , 1 ) (, 1 , 0 + + + + (, 1 , 0 ), 1 , 1 , 0

S$ f

0 un*dengi nidNi=[/(un giden ind * 1 iN (S : 0$ f 2 aFcdaS S9 3 } 4 aFcdaS Ni=[/(S+/$ ) Ni=[/(S+0$9 5 }

CCa:^vCˆibVC? AMIQ??i{:QP4Fi PQVVCiˆ CN V `iVLa