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Journée d’étude du groupe de mathématiques du 14 avril 2005

De
12 pages
ème9 – Proportionnalité (p 60) ème ème9 A, B niv. F 9 B n iv. N- pour reconnaître des suites ou des grandeurs proportio nnelles :- vérifier l’existence du coefficient de proportion nalité dans un tableau de v aleurs1. P armi ces tableaux, trouver ce ux qui repr ésentent des situatio ns de prop ortionnalité et do nner le coefficient de pro portionnalité. tableau 1 tableau 3 5 10 15 2030 33 36 39 10 15 20 2510 11 12 13 tableau 4 tableau 2 7 14 21 35 1,5 2 2,5 3 1 2 3 4 4,5 6 7,5 9 tableau 5 10 15 30 45 9 6 3 2 - pour reconnaître des suites ou des grandeurs proportio nnelles :- vérifier que le tableau des valeurs répond aux propriétés de la linéarité1. Une base de plein air offre la possibilité de faire du saut à l’é lastique. On a mesuré l’allongement de l’é lastique en fonction de la masse de la personne qui saute. Ces données sont représentées dans l e tableau des valeurs ci-desso us.a) Vérifier q ue ces deux gra ndeurs so nt pro portionnelles en util isant les propr iétés de la li néarité. Mass e de la 40 50 80 120personne (en kg)Allongement de 60 7 5 120 180l’él astique (e n m)b) A l’a ide de ces pro priétés, compléter l e tableau ci-desso us : Mass e de la 16 40 50 56 80 120personne (en kg) Allongement de 60 7 5 120 180 135l’él astique (e n m)Commiss ion « connaissances essen tielles » mathématiques CO – Page 1 /12 ...
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
ème 9 A, B niv. F
ème 9 B niv. N
- pour reconnaître des suites ou des grandeurs proportionnelles : -vérifier l’existence du coefficient de proportionnalité dans un tableau de valeurs 1. Parmi ces tableaux, trouver ceux qui représentent des situations de proportionnalité et donner le  coefficient de proportionnalité. tableau 1tableau 35 10 15 20 30 33 36 39 10 15 20 25 10 11 12 13
1,5 4,5
tableau 22 2,5 6 7,5
3 9
7 1
10 9
tableau 414 21 2 3
tableau 515 30 6 3
35 4
45 2
- pour reconnaître des suites ou des grandeurs proportionnelles : -vérifier que le tableau des valeurs répond aux propriétés de la linéarité 1. Une base de plein air offre la possibilité de faire du saut à l’élastique. On a mesuré l’allongement de l’élastique en fonction de la masse de la personne qui saute. Ces données sont représentées dans le tableau des valeurs ci-dessous. a) Vérifier que ces deux grandeurs sont proportionnelles en utilisant les propriétés de la linéarité. Masse de la 40 50 80 120 personne (en kg)
Allongement de l’élastique (en m)
60
75
120
180
b) A l’aide de ces propriétés, compléter le tableau ci-dessous :
Masse de personne (en kg) Allongement de l’élastique (en m)
la
16
40
60
50
75
56
80
120
120
180
135
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
2. Compléter le tableau des valeurs associé à la2. __________________________ 1 fonction linéaire :f:xax. 3 nombres x%31 9 %6
images
f(x)
Calculer : f(-1) ; f(9) ; f(-1)+f(9)
1
6 %
Différenciation :En 9 B, on soulignera et utilisera les propriétés de la linéarité, sans parler de fonction linéaire.
- pour reconnaître des suites ou des grandeurs proportionnelles : -interpréter une situation donnée graphiquement
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
1.
a) Construire le tableau des valeurs pour chaque graphique. Un de ces graphiques représente-t-il une situation de proportionnalité ?
20
0
20
0
1
1
b) Observer et donner les caractéristiques du graphique d'une situation de proportionnalité.
c) Pour chacun de ces graphiques imaginer une situation lui correspondant.
1.
Construire le tableau des valeurs pour chaque graphique. Un de ces graphiques représente-t-il une situation de proportionnalité ?
20
0
20
0
1
1
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2. Parmi ces graphiques quel est celui qui peut représenter une situation de proportionnalité ?
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
-pour reconnaître des suites ou des grandeurs proportionnelles : -reconnaître l’expression algébrique d’une fonction linéaire 1. a) Les fonctionsf, g, h, et isont données par leurs images ci-dessous. Indiquer celles qui sont linéaires. f(x)13x#1 2 g(x) 6x 1 h(x)=5,5xi(x)12px b) Imaginer pour chaque fonction linéaire une situation pouvant lui correspondre.
2.La série ci-dessous exprime des nombres et leurs images par une fonction linéaire. Donner l’expression algébrique de cette fonction linéaire et retrouver l’intrus.
1a2% %2a43a9% %4a8 510
3. En navigation maritime ou aérienne, on utilise le nœud comme unité de vitesse. a) Compléter ce tableau de proportionnalité
vitesse (en km/h)
vitesse (en nœuds)
92,6
50
10
1
 1
b) Exprimer les deux fonctions linéaires qui permettent : 1. de transformer les nœuds en km/h ; 2. de transformer les km/h en nœuds.
Merm : 9 (a-f-h)
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
Différenciation :En B, l’expression algébrique d’une fonction linéaire nous paraît trop abstraite.
-pour reconnaître des suites ou des grandeurs inversement proportionnelles :
 - vérifier que le produit des grandeurs correspondantes est constant
1. On place des briques sur le piston d’un cylindre contenant un gaz. Chaque fois qu’une brique est déposée, le piston s’enfonce réduisant ainsi le volume du gaz. Voici la table des valeurs obtenue :
Nombre de briques
3 Volume (en cm )
1
240
2
120
3
80
4
60
5
48
6
40
8
30
10
24
a) Ces deux grandeurs sont-elles proportionnelles ou inversement proportionnelles ?
b) Exprimer la relation qui lie ces deux grandeurs
b) Que remarques-tu dans ce tableau ?
Différenciation : En B, on demandera seulement de vérifier que le produit des grandeurs est constant.
-pour reconnaître des suites ou des grandeurs avec proportionnalité des écarts :  - interpréter une situation donnée graphiquement Un loueur de VTT affiche les tarifs suivants :
1.
Tarif 1 : 10 euros l’heure Tarif 2 : abonnement forfaitaire de 40 euros pour la semaine, auquel il faut ajouter 5 euros de l’heure. Le maître donne la représentation de ces deux tarifs sur le même graphique. (en abscisse : 1 cm pour 2 heures ; en ordonnée : 1 cm pour 10 euros) En utilisant le graphique, indiquer quel est le tarif le plus avantageux selon le nombre d’heures de location.
2. Lequel de ces deux tarifs représente une situation de proportionnalité des écarts ?
CM : location de cassettes (p.5)
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
-pour reconnaître des suites ou des grandeurs avec proportionnalité des écarts :
 - reconnaître l’expression algébrique d’une fonction affine
1. Pour louer une voiture, Monsieur Multicartes hésite entre deux formules
Formule A - Payer un forfait de 250 francs puis 2,50 francs par kilomètre. Formule B - Payer un forfait de 100 francs puis 4 francs par kilomètre.
Les fonctionsf, g, h, i, j, k,définies par leurs images ci-dessous, expriment la dépense en fonction du nombre de kilomètres parcourus. Parmi celles-ci, lesquelles correspondent aux formules A et B ?
f ( x )1250#2,5x g( x )1250x#2,5 h( x )14x#100 i( x )1100x#4 j( x )14x k( x )12,5x
2. Une société de téléphone propose comme abonnement mensuel, un versement de 20 euros, auquel on ajoute 0,20 euros par minute de communication. Compléter le tableau suivant
Minutes consommées 200 dans le mois prix à payer en euros ... pour le mois
340
...
400
...
...
295
Si on désigne parn le nombre de minutes consommées en un mois, exprimer le prixpde la facture mensuelle en fonction du nombren.
Différenciation : En B, on abordera la proportionnalité des écarts sans faire le lien avec l’expression algébrique de la fonction affine.
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
ème 9 A, B niv. F
ème 9 B niv. N
- établir un tableau de valeurs ou un graphique à partir d’un énoncé
1.
Une société de location de voitures propose, pour un week-end de location, un versement de 110 euros, auquel on ajoute 0,25 euros par kilomètre parcouru. a) Compléter le tableau suivant
kilomètres parcourus 200 340 400 ... prix de la location en ... ... ... 295 euros b) Construire un graphique représentant cette situation.
2. En supposant que l'essence est vendue 1,75 CHF le litre. a) Etablir le tableau des prix à payer en fonction de la quantité d’essence servie, pour les quantités en litres suivantes : 10 ; 20 ; 30 ; 32; 40 ; 50 ; 60. b) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? c) Construire le graphique illustrant ce tableau : quantités en abscisse (1 cm pour 5 litres), prix en ordonnée (1 cm pour 10 CHF). CM page 13 Différenciation : en B on donne les unités pour la représentation graphique, en A on laisse les élèves les trouver.
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
- trouver la “quatrième proportionnelle”: -par une des méthodes vues en 8ème -riéatéTableaudevlauesretallniCompléter ce tableau de proportionnalité en utilisant les propriétés de linéarité.
-
a) b)
2
3 2,25
4 3
Retouràlunité
5
7
10
12
13
Echelle: Un terrain bâti a la forme d’un carré dont le côté mesure 50 mètres. Sur un plan, ce terrain est représenté par un carré de 20 centimètres de côté. Quelle est l’échelle de ce plan ? La façade de la maison, construite sur ce terrain, mesure 12 m de long. Quelle est sa longueur sur le plan ?
Vitesse: Un cycliste parcourt 46 km en 2 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?
-ixrocentuiodPr 1. Actuellement la banque achète des Francs suisses contre des Euros au taux suivant::  1,6125 CHF pour 1€.  Elle achète des Euros contre des Francs suisses au taux suivant::  1,5625 CHF pour 1 € a) Pour partir en voyage en France, je vais changer 2000 CHF. Combien d’euros la banque va-t-elle me donner? b) Au retour, il me reste 123 €, si le taux de change est le même, combien la banque m'en donnera-t-elle en Francs Suisses ?
 2. Une voiture consomme en moyenne 5 L d’essence pour parcourir 80 km. a) Combien de litres d’essence lui faut-il pour faire 100 km ? b) Quelle distance peut-elle parcourir avec 24 L d’essence ?
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
-Coefficient de proportionnalité En utilisant une photocopieuse on copie une feuille de format A4 (21cm-29,7cm) sur une feuille de format A3 (29,7cm-42cm). Le tableau ci-dessous traduit cette situation :
A4 A3
largeur 21 29,7
longueur 29,7 42
a) Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer du format A4 au format A3 ? Exprimer ce coefficient en pour-cent.
b) Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer du format A3 au format A4 ? Exprimer ce coefficient en pour-cent.
c) Que représente chacun de ces pourcentages?
CM page 4 (le nœud marin) Différenciation : pour les B ce dernier exercice contient trop de difficultés (format, pour-cent, coefficient)
- trouver la “quatrième proportionnelle”: - à l’aide d’une formule du type y = ax (où a peut aussi être exprimé en %) 1 Avec la carte client d’un grand magasin, j’ai droit à un bon d’achat représentant le 2% du montant de mes achats. Si on appelle x le montant de mes achats et y la valeur du bon obtenu. a) Exprimer y en fonction de x b) Quelle sera la valeur du bon pour des achats d’un montant de 1 833 CHF ? c) Quel doit être le total de mes achats pour obtenir un bon de 35 CHF ?
Différenciation :En 9 BN on abandonne ce qui est algébrique.
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ème 9 – Proportionnalité (p 60)
- trouver le quatrième terme dans un problème de proportionnalité inverse au moyen de l’égalité des  produits 1. Quinze camions peuvent transporter une 1. Quinze camions peuvent transporter une certaine quantité de marchandises en 5 jours. certaine quantité de marchandises en 5 jours. Combien faut-il de jours à 12 camions pour a) Combien faut-il de jours à 1 camion pour transporter la même quantité de marchandises ? transporter la même quantité de marchandises ? b) Combien faut-il de jours à 5 camions pour 2. Trois robinets qui ont le même débit transporter la même quantité de marchandises ? remplissent un bassin en 8 heures. a) Combien d’heures faut-il à 4 robinets, ayant ce 2. Deux tracteurs labourent un champ en 9 jours. même débit, pour remplir ce bassin ? a) Combien faut-il de jours à un seul tracteur pour b) Combien faut-il de ces mêmes robinets pour labourer ce champ ? remplir ce bassin en 12 heures ? b) Combien faut-il de tracteurs pour labourer ce champ en 6 jours ?
CM page 7 (le piston)
Différenciation : En B, on guide l’élève
-trouver un terme dans un problème de proportionnalité des écarts en se ramenant à une situation de proportionnalité
1. Un paysan vend ses pommes dans des caisses, la caisse vide est facturée 2 CHF et peut contenir jusqu'à 10 kg de pommes. Pour l’achat de 6 kg de pommes je paie 14 CHF, combien devrai-je payer pour acheter 9 kg de pommes ?
CM page 6 (eau qui chauffe) ; page 7 (la pelouse) ; page 5 (location de cassettes)
Différenciation :aucune
-appliquer ou calculer un pourcentage
1. Un objet coûte 360 CHF, au début de mois il subit une augmentation de 10%. A la fin du mois les prix sont baissés de 10%. Quel est le nouveau prix de cet objet ?
2. Quelle est, en %, la pente de la diagonale d’un carré ?
3. Quelle est, en %, la pente de la diagonale d’un rectangle dont la longueur vaut le double de la largeur ?
CM : ex 1 et 3 page 8 ; 3 page 9 ; page 13 (rectangle et cube)
Différenciation :en BN exemples plus simples.
1. On a obtenu un rabais de 25% sur un congélateur qui coûtait 1200 CHF. Quel sera le prix à payer ?
2. Dans une école il y a 274 filles et 265 garçons. Quel est le pourcentage de filles dans cette école ?
CM 1 page 8
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