Avertissement Certaines démonstrations et certains compléments"hors programme"Þgurent dans le présent fascicule. Lorsque cest le cas nous le signalons. Précisons quil y a trois sortes de sujets "hors programme" : 1- ceux qui sont supposés assimilés et bien connus (les quatre opérations par exemple),
iv
Avertissement
2- ceux qui relèvent dune nécessaire anticipation sur le programme dune autre unité denseignement (lutilisation des différentielles pour le calcul des petites va-riations). 3- ceux qui sont mentionnés pour être complet mais qui relèvent de la maî-trise dune technique qui sera éventuellement développée plus tard et ailleurs (certaines démonstrations). Les développements "hors programme" apparaissent comme nécessaires à la com-préhension du programme lui même, il en va de même des nombreux exemples et exercices proposés. A lévidence un sujet "hors programme" peut discrètement sinviter à lexamen (sauf ceux de la troisième catégorie).
Intro
Première
partie
duction : lunivers physique
de
la
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Chapitre 1 LUNIVERS MICROSCOPIQUE
Les milieux matériels, lair environnant, un bloc de glace ou de leau liquide, apparaissent comme des milieux continus. Nous savons quà léchelle microscopique(de lordre de quelques angströms ou moins) il nen est rien car la matière est constituée de molécules imperceptibles à léchelle macroscopique(∼millimètre ou plus). De la même manière, à hauteur dhomme, une plage apparaît comme une nappe continue de sable, alors quelle est formée en réalité de grains qui deviennent perceptibles de plus près. LUnivers, à léchelle astronomique¡∼108−1010km¢,est constitué dun vide dans lequel errent quelques rares objets, étoiles ou planètes. A léchelle cosmologique ¡∼1020km¢,lUnivers peut être considéré comme un milieu continu de faible densité. Il est impossible de décrire le comportement dun système à léchelle macrosco-pique en décrivant le comportement de chacune des molécules qui le composent. Il y en a trop ! Dans1 cm3deau il y a3·1022molécules deau (H2O). Cest un nombre gigan-tesque à léchelle humaine. Cest le nombre de battements dun coeur humain pendant huit mille milliards (8000×109= 8·1012) de vies dont chacune durerait100ans. Pour étudier les systèmes physiques à léchelle macroscopique il est donc nécessaire dutiliser des concepts et des lois spéciÞques. La relation entre lunivers macroscopique et lunivers microscopique peut cependant être établie par les méthodes statistiques concer-nant les populations nombreuses. Ainsi, la théorie cinétique des gaz permet dexpliquer la loi des gaz parfaits. Pour faciliter la description des objets macroscopiques on introduit"le nombre dAvogadro":NA v'6,02·1023(la déÞnition précise est donnée ci-dessous page 5). Une collection dobjets en nombre égal au nombre dAvogadro est appelé "une mole dobjets". Ainsi une mole datomes est constituée de6,02·1023atomes, de même une mole dions. Cependant on ne dit pas "une mole de molécules" mais tout simplement "une mole"(dans les unités, mole admet "mol" pour abréviation) . Une mole deau est constitué deNA v molécules ; cest un système macroscopique dont la masse est18 g.
1.1 Les constituants élémentaires La matière est formée de molécules. Celles-ci sont constituées dun atome unique (gaz rares tel lhélium ou largon) ou de plusieurs atomes (H2,CO2...). Ils peuvent être en petit nombre (quelques unités)ou en grand nombre dans les polymères ou les molécules biologiques (plusieurs centaines de milliers ou même beaucoup plus). Un monocristal de dimensions macroscopiques peut aussi être considéré comme une molécule unique formée dun nombre datomes qui peut atteindre1015ou plus. Les atomes sont constitués dun noyau (formé de nucléons) dont les dimensions sont de lordre de quelques femtomètres ( = 101 fm−15m;cette grandeur est parfois appe-lée "un fermi").Le noyau est entouré dun nuage délectrons. Les dimensions de latome sont donc celles de son nuage électronique. Ces dimensions varient dun atome à lautre
4Lunivers microscopique mais restent de lordre de quelques angströms (1Å= 10−10m). Pour assurer une liaison chimique entre les atomes, les électrons des divers nuages se mettent en commun ou séchangent ; les nuages électroniques se recouvrent. La consé-quence en est que la distance inter-atomique est de lordre de langström. Léchelle "ésosmquecopi" correspond à des dimensions intermédiaires entre léchelle microscopique ("atomique" serait plus correcte) et léchelle macroscopique. Elle concerne, par exemple, les agrégats datomes. Les constituants élémentaires sont le nucléon et lélectron. En réalité les nucléons sont eux mêmes composés de quarks, quant à lélectron ce nest que lun des représentants de la famille des "leptonsmatière ordinaire étant constituée de nucléons". Cependant, la et délectrons nous limitons nos considérations à ces deux types de particules. Lélectron :La masse de lélectron estme'0,9·10−30kg. Il possède une charge électrique négative :qe=−e'−1,6·10−19C. Un atome dune espèce donnée contient un nombre bien déÞni délectrons, appelé "numéro atomique"et notéZ.Le nuage électronique (et doncZ)déÞnit les propriétés chimiques de latome. On compte un peu plus dune centaine datomes despèces différentes. Certains dentre-eux, associés à de grandes valeurs deZ,ont été obtenus artiÞciellement et nexistent pas à létat naturel. Les nucléons :Les nucléons sont de deux sortes : leprotonet leneutron.Le proton possède une chargee'+1,6·10−19Ctandis que le neutron est neutre. La masse dun nucléon,mn,varie peu selon quil est proton ou neutron :mn'1,67·10−27kg. Le noyau :de nucléons. Le nombre de nucléons est leLe noyau atomique est formé "nombre de masse", il est notéA. Latome étant neutre, les protons y sont en nombreZ,égal au numéro atomique de latome. Par contre le nombre de neutrons est variable selon lisotopeconsidéré dune espèce donnée. La notation employée pour désigner un noyau estAZXoùXdésigne lespèce (redondance avecZ).Lorsquon considère seulement un noyau,Zest appelé"nombre de charge"("numéro atomique" est une expression réservée auxatomes). Ainsi le noyau de deutérium (hydrogène lourd) est21H;il contient1proton (Z= 1) et1neutron (A−Z= 1). 28026P bet204P bdésignent deux isotopes du plomb (Z= 82protons), le premier 82 possède124neutrons (124 + 82 = 206)tandis que le second en possède122. Les propriétés de radioactivité sont liées au noyau. Ainsi28602P bet621Csont stables tandis que48202P bet164Cse désintègrent après un certain temps. Remarques :mn>> meetA≥Z.On en déduit quela masse dun atome est pratiquement égale à celle de son noyau. Par conséquent un calcul approximatif donnem'A mn. Lunité de masse atomique(u.m.a) est déÞni comme1/12de la masse de latome de carbone dont le noyau est216C.Elle vaut1,66·10−27kg.Par déÞnition la masse dun atome de carbone621C,est donc12u.m.a. La formule précédente donne une valeur,Amn,légèrement supérieure (la différence relative est(1,167,−661,66)'6·10−3). masse du proton :1,673·10−27kg du neutron :, masse1,675·10−27kg.
Les interactions5 Un calcul plus précis qui tient compte de la masse des électrons, de celle des proton et des neutron donne encore le même résultat : la somme des masses des constituants est supérieure à la masse de latome. La différence est le "défaut de masse"∆m,qui représente lénergie de liaison,E,des constituants :E=∆m c2oùcest la vitesse de la lumière dans le vide etElénergie quil faut dépenser pour disperser les électrons et séparer le noyau en ses divers constituants. Cest pratiquement lénergie de liaison du noyau seul (énergie de liaison des nucléons entre eux) car lénergie de liaison des électrons au noyau est beaucoup plus petite. Rappelons enÞn la déÞnition dunombre dAvogadrodéjà mentionné : NA v×1u.m.a.:= 1 g. 1.2 Les interactions A léchelle sub-atomique (qui ne nous concerne pas ici), les interactions fortes as-surent la liaison entre quarks tandis que les interactions faibles expliquent les phénomènes de radioactivité. A léchelle atomique, ce sont les interactions électromagnétiques qui dominent, plus précisément les interactions coulombiennes. Entre deux charges ponctuellesQetQ0,sexercent des forcesFportées par la droiteQQ0comme lindique laÞgure ci-dessous.
Þg. 1 1 :−→1Q Q0→− .FQ/Q0=4πε0·r2uQ-Q0 −→1 La force quexerceQsurQ0estFQ/Q04πε0·rQ2Q0−u→Q-Q0où−→uQ-Q0est le = vecteur unitaire deQversQ0.Le coefficientε0est la permittivité diélectrique du vide. KC 1= 4'9·109SIest parfois appelé "constante de Coulomb". πε0 Les forces coulombiennes expliquent les liaisons noyau-électrons et les liaisons entre atomes dans les molécules. Dans les liquides, elles expliquent également lexistence dattractions faibles entre molécules neutres, forces de van der Waals par exemple. Une molécule est neutre globalement mais la répartition des charges positives et négatives nest pas uniforme. LaÞgure 1.2 montre lexistence de deux pôles électriques dans la molécule deau.
ÞLa molécule est neutre mais les charges ne sont pas réparties uniformément.g. 1.2 :