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ma201-cours-12

51 pages
Schémas numériques pour les équationshyperboliques non linéaires 1D.Patrick JolyINRIA-RocquencourtSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.1/20Approximation numérique.Le problème à résoudre s’écrit:8+Trouveru(x;t) : IR IR ! IR tel que:>><@u @+ f(u) = 0; x2 IR; t> 0;> @t @x>:u(x; 0) =u (x); x2 IR:0Schemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.2/20Approximation numérique.Le problème à résoudre s’écrit:8+Trouveru(x;t) : IR IR ! IR tel que:>><@u @+ f(u) = 0; x2 IR; t> 0;> @t @x>:u(x; 0) =u (x); x2 IR:0On se donne un pas de discrétisation en espace x> 0,un pas de discrétisation en temps t> 0 et on va calculer:n n nu u(x ;t ); x =jx; t =nt:j jjSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.2/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Schemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.3/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Cas particulier : schémas conservatifsSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.3/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Cas particulier : schémas conservatifsPrincipe de base : méthode des volumes finisZx1j+12u (t) = u(x ...
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hce´S´eumsnmapoesquriqe´selruhsnoitauuqseonlnpyreobils1D.–p.1in´eaire02/
INRIA-Rocquencourt
Patrick Joly
Schémas numériques pour les équations hyperboliques non linéaires 1D.
cS´he´selruosnoitauqm´nuasemspueiqeraeriil´n–..pseD1rbolhypesnonique02/2
xIR >, t0, xIR.
Le problème à résoudre s'écrit: Trouveru(x, t) :IR×IR+−→IRtel que: ufx(u) = 0, ∂t+ u(x,0) =u0(x),
Approximation numérique.
´sqeruelnohsauitum´emasnesporique´hcS/20
Approximation numérique.
Le problème à résoudre s'écrit: Trouveru(x, t) :IR×IR+−→IRtel que: tu+fx(u) = 0, u(x,0) =u0(x),
On se donne unpasde discrétisation enespaceΔx >0, unpasde discrétisation entempsΔt >0et on va calculer:
ujnu(xj, tn), xj=jΔx, tn=nΔt.
xIR, t >0,
xIR.
e´nieria.D1s2.p–erypliboesqunlno
203/
Cadre général à trois pas en espace: Schémas
ujn+1=H(ujn1,unj,ujn+1)
Schémas à un pas en temps.
1Desp..–cS´hun´mmesauesperiqes´eourlsnoitauqlobrepyhonsnueiqirean´li
3/20.–p.es1Deair
Cas particulier: schémasconservatifs
Schémas à un pas en temps.
ujn+1=H(unj1,ujn,unj+1)
Cadre général: Schémas à trois pas en espace
iqerm´nurlouspuesame´hcSiquerbollin´snonuqtasee´yhepoisn
Cadre général: Schémas à trois pas en espace
n ujn+1=H(uj1,ujn,unj+1)
Cas particulier: schémasconservatifs
Principe de base : méthode desvolumes nis
uj(t) =h1Zxj2+1u(x, t)dx xj1 2
/3.p
Schémas à un pas en temps.
02seri–.D1lionean´iqolsnueepbrsnyhtaoie´uqrlesspouiquem´erunsame´hcS
res1D.–pnlin´eaiiluqseonhspyreob2/4.
On intégre l'équation entrexj21etxj21: dj(t 1) +hZxjxj2+1f(u)dx= 0 u dt1x 2
Schémas à un pas en temps.
0Shc´selruopnoitauqeumsnma´eesquri´e
cS´heriquespemasnum´snoitauqe´selruoonsnueiqolrbpehy–..pseD1aeriil´n
Schémas à un pas en temps.
On intégre l'équation entrexj12etxj21: d1 dtuj(t) +hZxjxj+1212xf(u)dx= 0
ce qui donne: ddtuj(t1)hhfu(xj+21, t)f(uxj12, t)i= 0 +
4/20
itnoqeauel´sopruesnoliquerboshyphcSesquri´eumsnma´e1serp–.Dnilniae´
ce qui donne: dduj(t) +h1hfu(xj+21, t)f(uxj12, t)i= 0 t Problème: Approcherfu(xj+12, t)à partir desu`(t)...
/2.4
Schémas à un pas en temps.
x1: On intégre l'équation entrexj12etj2 ddtuj(t 1) +hZxjxj21+1fx(u)dx= 0 2
0
(u,v)g(u,v) :uxnumériquedu schéma.
Schémas à un pas en temps.
1 Choix naturel:f(u(xj+2, t))g(uj(t),uj+1(t))
ce qui donne: ddtuj(t 1) +hhfu(xj+12, t)f(uxj21, t)i= 0 Problème: Approcherfu(xj+12, t)à partir desu`(t)...
On intégre l'équation entrexj12etxj12: hZxj12 ddtuj(t 1) +xj+21fx(u)dx= 0
–p.4/20.D1seriae´nilnonesquliboerypshonauit´sqeruelseopriquum´emasnch´eS
Schémas à un pas en temps. Discrétisation en temps: schémaexplicite unj+1unj1Δx(ujn,ujn+1)g(unj1,ujn)= 0. Δt+g Sch´emasnum´eriquespourles´equationshyperboliquesnonline´aires1D.–p.5/20