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Passage du microscopique au macroscopique dans les plasmas chauds
Mécanique statistique et entropie Yves Elskens
umr6633 CNRS — univ. Provence Marseille
Ecole d'Aquitaine Ondes & Matière (septembre 2004) Mécanique
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Microscopique et macroscopique 1. Dynamique et équilibre 2. Contraintes près de l’équilibre 3. Loin de l’équilibre (fluides)
Entre micro- et macroscopique 4. Approche cinétique 5. Vlasov 6. Boltzmann, Landau, Balescu-Lenard 7. Limite quasilinéaire
Conclusion
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Microscopique et macroscopique 1. Dynamique et équilibre 2. Contraintes près de l’équilibre 3. Loin de l’équilibre (fluides)
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1. Dynamique et équilibre
Modèle microscopique : dxi/dt= [H,xi] H=H(x1,...,xN),N>> 1 Constantes du mouvement (globales) : n=N/V,e=E/V,p P/V,... =
Thermodynamique : équation d’état ??
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Distribution statistique : équilibre
Mesuremicrocanonique(loi de probabilité) dµ(x) =δ(H(x)-E)δ(P(x)-pN) ... dNx /C ...t esn bo! ahcélitnnnol ega ils (approximation ergodique) ... grâce auchaos dynamique Escande, Kantz, Livi & Ruffo,J. Stat. Phys. 76(1994)605-626 Firpo & Doveil, 65Phys. Rev. E(2002) 016411 ... pour de “bonnes variables” ... pour un système isolé
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Distribution statistique : équilibre
Normalisation des probabilités : ln [C/ (N!h3N)] = ln=S/kB entropie extensive :s=S/N+ O(N-a) (si forces assez régulières) Equation d’état :S=S(N,V,E, ...) Sest variable d’état : dS=βdE+βpdV+ ... T= 1/β
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Distribution statistique : équilibre
Dans la limite thermodynamiqueN→∞: lois des grands nombres, théorèmes de limite centrale et de grandes déviations, ...
Convexité : 1/CN,V= -T2(E2S)N,V> 0
(l’entropie se mesure, par exemple, via les chaleurs spécifiques)
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Equilibre entre sous-systèmes
Pour deux parties comparables d’un système isolé, assimilées à deux systèmes isolés :V=VA+VB,N=NA+NB, E=EA+EB, ... alorsS=SA+SB,s=sA=sB, n=nA=nB,e=eA=eB, p=pA=pB,T=TA=TB, ... et cecimaximiseSA+SB(potentiel)
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Equilibre avec un réservoir
Système fermé isotherme : distributioncanonique dµ(x) =e-βH(x)dNx /(N!h3NZ) Z(T,N,V,...) e-βF=e-βE(E) dE = potentiel :F= -kBTlnZ dF= -SdT-pdV+ ... entropie :S= (TF)N,V énergie interne :E=F+TS
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((LLeagpelancder)e)
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Equilibre avec un réservoir
Stabilité :E2-E2=kBT2CN,V> 0 Equivalencedes ensembles pourN→∞si : - forces à courte portée (équilibre “local”) - pas de transition de phase (équation d’état bijective)
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Equilibre avec un réservoir
Système isotherme isobare : Zdµ(x) = e-βH(x) -βpV(x)dNx/ (N!h3N) G= -kBTlnZ=F+pVSystème isotherme, vitessev: Zdµ(x) = e-βH(x) +βvP(x)dNx/ (N!h3N)
...
Equivalence sous conditions analogues
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