Modélisation et résolutions numérique et symbolique de problèmes via les logiciels Maple et MATLAB

Stef Graillat

Description

Modélisation et résolutions numérique et symboliquede problèmes via les logiciels Maple et MATLAB(MODEL)oCours n 6 : Introduction à MATLABStef GraillatUniversité Pierre et Marie Curie (Paris 6)S. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 1 / 43Objectifs du coursObjectifs :Concept mathématique : définition mathématique de concepts et dequantitésAlgorithme : comment calculer efficacement ces quantités surordinateur (via l’utilisation de MATLAB et Maple)?Résolution de problème : utiliser les concepts et les algorithmes pourrésoudre des problèmes concretsS. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 2 / 43Références principalesScientific Computing with Case Studies, Dianne P. O’Leary, SIAM,2009Numerical Computing with MATLAB, Cleve Moler, SIAM, 2004MATLAB Guide, Desmond J. Higham, Nicholas J. Higham, 2ndédition, SIAM, 2005Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and MATLAB,Walter Gander, Jiri Hrebicek, 4e édition, Springer, 2004Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, William Press,Saul Teukolsky, William Vetterling et Brian Flannery, 3rd Edition,Cambridge University Press, 2007S. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 3 / 43Champs d’applicationLes notions vues dans ce cours interviennent dans :la robotiquele traitement du signalle d’imagela géométrie algorithmiquela biologieetc.S. Graillat (Univ. Paris 6) MODEL (cours n˚6) 4 / 43Plan du coursIntroduction à l’arithmétique à virgule flottante et présentation ...

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• Langue: Français

Extrait

.S

Modélisation et résolutions numérique et symbolique de problèmes via les logiciels Maple et MATLAB (MODEL)

Gralilat(Univ.

Cours n o 6 : Introduction à MATLAB

aPris6)

Stef Graillat

Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

OMEDL(cours˚n6)1/43

Objectifs du cours

Objectifs:

S.

Concept mathématique: définition mathématique de concepts et de quantités Algorithme: comment calculer efficacement ces quantités sur ordinateur (via l’utilisation de MATLAB et Maple) ? Résolution de problème: utiliser les concepts et les algorithmes pour résoudre des problèmes concrets

GraillatU(in.vaPirs6)OMEDL(coursn˚6)2/34

Références principales

.S

Scientific Computing with Case Studies, Dianne P. O’Leary, SIAM, 2009

Numerical Computing with MATLAB, Cleve Moler, SIAM, 2004

MATLAB Guide, Desmond J. Higham, Nicholas J. Higham, 2nd édition, SIAM, 2005

Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and MATLAB, Walter Gander, Jiri Hrebicek, 4e édition, Springer, 2004

Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling et Brian Flannery, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2007

Graillat(Univ.Paris6)OMEDLc(uosrn˚6)3/43

Champs d application ’

Les notions vues dans ce cours interviennent dans :

.S

la robotique

le traitement du signal

le traitement d’image

la géométrie algorithmique

la biologie

etc.

rGalialtU(inv.Paris)6MODEL(cours˚n)64/34

Plan du cours

.S

Introduction à l’arithmétique à virgule flottante et présentation de MATLAB Décomposition en valeurs singulières, application à la compression d’image Calcul de vecteurs propres, valeurs propres, application à l’algorithme PageRank de Google Transformée de Fourier discrète, application en traitement du signal et en calcul formel Méthode de Monte-Carlo, application au pricing doption en finance

rGaillat(Univ.Paris)6MODELc(uosr˚n6)5/43

Calcul formel / calcul numérique

Algorithmes symboliques: fournissent une représentation exacte du résultat mais peuvent être lents Algorithmes numériques: exécutés en précision finie, ils sont plus rapides en général mais fournissent des résultats approchés

→calcul symbolique-numérique: utiliser quand cela est possible des algorithmes numériques (au sein d’algorithmes symboliques) en contrôlant la précision des résultats

.SGraillatU(niv.aPirs)6OMDEL(cours˚n6)6/43

Maple

Sage

Maxima

Magma

Calcul formel

MATLAB

Calcul numérique

Logiciels utilisés

Mathematica

FreeMat

Octave

SciLab

.StalliarGv.Pa(Uni)MODris6uosrLEc(/734˚n)6

1.

S.

Arithmétique

Graillat

(Univ.

Paris

6)

à

MODEL

virgule

(cours

˚6) n

flottante

8

/

43

ru?va6ànuceidroetannc-optomjueru’sqePtu DEL(coursn˚6)9/43

2−1  cos(100 tca π 1 n( + 10 π 0 /4 ) )  ) 2 3 tan(0a0r 01000      ∙ ∙ ∙ r
q ∙∙∙ √ 4 ! 2 ∙ ∙ ∙   2    2

00 )−1) 5 g × (e  6 ( ( 0 1 0 1 0 ) + + e e − −0 1 01 )−1)  lo 1000

4.000000004349260

(20 fois)

1.000000000000000 2.111000000000000

2.999999719999926

Inf

NaN

Sra.GlailnU(tP.visiraOM)6

Nombres à virgule flottante

Un nombre flottant normaliséx∈Fest un nombre qui s’écrit sous la forme

x=±x 0 .x 1 . . .x p−1 ×b e ,0≤x i ≤b−1,x 0 6=0 | {z } mantisse

b: la base,p: précision,e: exposantvérifiante min ≤e≤e max

Précision machine=b 1−p ,|1 + −1|=

Approximation deRparF, arrondi fl:R→F Soitx∈Ralors fl(x) =x(1+δ),|δ| ≤u.

L’ nité d’arrondiuvautu=/2 pour l’arrondi au plus près. u

S.Graillat(Univ.aPirs)6OMEDL(cours˚n6)01/43

Modèle standard de l’arithmétique à virgule flottante

Norme IEEE 754(1985) Les opérations arithmétique ops(+,−,×, /, √ )sont effectuées comme si elles était calculées en précision infinie puis arrondies ensuite Par défault : arrondi au plus près

Type Taille Mantisse Exposant Unité d’arrondi Intervalle Simple 32 bits 23+1 bits 8 bitsu=2 −24 ≈5,96×10 −8 ≈10 ±38 Double 64 bits 52+1 bits 11 bitsu=2 −53 ≈1,11×10 −16 ≈10 ±308

Soientx,y∈F,

S.Graillat

fl(x◦y) = (x◦y)(1+δ),|δ| ≤u,◦ ∈ {+,−,∙, /}

U(in.vaPirs)6OMEDL(coursn˚6)11/34